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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标运算课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 4 章 第 2 节 平面向量的 基本定理及坐标运算课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 1. (2013·陕西高考改编)已知向量 a=(1, m), b=(m,2), 若 a∥b, 则实数 m=________. [解析] 由 a∥b? m =1×2? m= 2或 m=- 2. [答案] ± 2 2

. 已知向量 a=?8, ?, b=(x,1), 其中 x>0, 若(a-2b)∥(2a+b), 则 x=________. ? 2?
2

?

x?

? ? [解析] a-2b=?8-2x, -2?,2a+b=(16+x,x+1), 2 ? ?
x

? ? 由题意得(8-2x)·(x+1)=? -2?·(16+x), ?2 ?
x
整理得 x =16,又 x>0,所以 x=4. [答案] 4 → → → 3.如图 4?2?5 所示,在四边形 ABCD 中,AC 和 BD 相交于点 O,设AD=a,AB=b,若AB= → → 2DC,则AO=________(用向量 a 和 b 表示).
2

图 4?2?5 → → → → [解析] 由AB=2DC知,AB∥DC 且|AB|=2|DC|, → → 从而|BO|=2|OD|. → 2→ 2 → → 2 ∴BO= BD= (AD-AB)= (a-b), 3 3 3 → → → 2 2 1 ∴AO=AB+BO=b+ (a-b)= a+ b. 3 3 3 [答案] 2 1 a+ b 3 3

1

→ → 1 4. (2014·无锡质检)已知 A(7,1)、 B(1,4), 直线 y= ax 与线段 AB 交于 C, 且AC=2CB, 2 则实数 a 等于________. → → → → [解析] 设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y),∵AC=2CB, ∴?
?x-7=2?1-x?, ? ?y-1=2?4-y?, ?

解得?

?x=3, ? ?y=3, ?

∴C(3,3).

1 1 又∵C 在直线 y= ax 上,∴3= a·3,∴a=2. 2 2 [答案] 2 5.(2014·南京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥CD,AD∥BC, 已知 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为________. [解析] 由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行, 可以判断四边形 ABCD 是平行四边形, 设 D(x,y), → → 则有AB=DC,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y), 解得(x,y)=(0,-2). [答案] (0,-2) 6.已知向量 a=(-2,3),b∥a,向量 b 的起点为 A(1,2),终点 B 的坐标轴上,则 B 的坐标为________. [解析] 当 B 在 x 轴上时,设 B(x,0),则 b=(x-1,-2), 7 ?7 ? 因为 b∥a,所以 3(x-1)=(-2)×(-2),解得 x= ,即 B? ,0?. 3 ?3 ? 当 B 在 y 轴上时,设 B(0,y),则 b=(-1,y-2),因为 b∥a, 7 所以(-2)(y-2)=(-1)×3,解得 y= . 2

? 7? ? 7? ?7 ? 所以 B?0, ?,即 B 的坐标为?0, ?或? ,0?. ? 2? ? 2? ?3 ? ? 7? ?7 ? [答案] ?0, ?或? ,0? 2 3 ? ? ? ?
7.(2014·苏州调研)如图 4?2?6,定点 A(-1, 3),一小虫可以近似地看做一点,它 从单位圆周上 P0(1,0)处

2

图 4?2?6 → π 开始按逆时针方向运动, 且每秒运动的弧长为 , 在 t(t>0)s 时到达点 P, 记向量OQ= 5 → → OA+OP,则下列结论中正确的有________(把所有正确结论的序号都填上). → π ? ? π (1)OP=?cos t,sin t?; 5 5 ? ? → π π ? ? (2)OQ=?-1+cos t, 3+sin t?; 5 5 ? ? (3)当 P 点纵坐标第一次达到最大时,所需要的时间是 t=2 s; → (4)|OQ|的最大值是 2. π ? ? π [解析] 因为 P?cos t,sin t?, 5 5 ? ? → π ? ? π 所以OP=?cos t,sin t?, 5 5 ? ? → → → π π ? ? 则OQ=OA+OP=?-1+cos t, 3+sin t?,故(1)、(2)正确; 5 5 ? ? π 5 当 sin t=1 时,t=10k+ (k∈Z), 5 2 → 5 当 k=0 时,t= ,故(3)错;结合图形可知,向量OQ的模的最大值为 3,故(4)错. 2 [答案] (1)(2) 8.(2014·连云港模拟)函数 y=tan?

?π x-π ?(0<x<4)的图象如图 4?2?7 所示,A 为 2? ? 4 ?

→ → → 图象与 x 轴的交点, 过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 C、 B 两点, 则(OB+OC)·OA=________.

图 4?2?7 [解析] 因为 A 点是对称中心,且 A 点坐标是(2,0),所以点 A 是线段 BC 的中点,所以 → → → → → → → → → OC+OB=2OA,所以(OB+OC)·OA=2OA·OA=2OA2=2×4=8. [答案] 8
3

二、解答题 → → → 9.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP=OA+tAB(t∈R),问: (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在二、四象限的角平分线上? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. [解] (1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5), → → ∴OA=(1,2),AB=(3,3), → → →

OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).
2 若 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,t=- ; 3 若 P 在第二、四象限的角平分线上,则 1 1+3t=-(2+3t),t=- . 2 → → (2)OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t), → → 若 OABP 是平行四边形,则OA=PB,
? ?3-3t=1, 即? ?3-3t=2, ?

此方程组无解.

所以四边形 OABP 不可能为平行四边形. 10.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是 同向还是反向? [解] ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
法一:当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ 使 ka+b=λ (a-3b),由(k-3,2k +2)=λ (10,-4)得,
? ?k-3=10λ , ? ?2k+2=-4λ . ?

1 解得 k=λ =- . 3

1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 1 1 这时 ka+b=- a+b=- (a-3b). 3 3 1 ∵λ =- <0,∴ka+b 与 a-3b 反向. 3 法二:∵ka+b 与 a-3b 平行.

4

1 ∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得 k=- , 3 2 ? 1 ? 1 此时 ka+b=?- -3,- +2?=- (a-3b). 3 3 3 ? ? 1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3

[B 级 能力提升练] 一、填空题 1.若 i,j 是某平面一组基底,向量 r=xi+yj(x、y∈R),则称(x,y)为向量 r 在基 底 i、j 下的坐标,已知向量 α 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 α 在基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________. [解析] 由已知得 α =-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4). 设 α =λ m+μ n=λ (-1,1)+μ (1,2)=(-λ +μ ,λ +2μ ),
?-λ +μ =2, ? 则? ?λ +2μ =4, ? ?λ =0, ? ∴? ?μ =2, ?

∴α =0m+2n,

∴α 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). [答案] (0,2) → → → 2.(2014·南京质检)设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 1 2 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,则 + 的最小值为________.

a b

→ → → → → → [解析] AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2). → → ∵A,B,C 三点共线,∴AB∥AC. ∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1. 1 2 ?1 2? ∴ + =? + ?(2a+b)

a b ?a b? a b

b 4a =4+ + ≥4+2
当且仅当 =

b 4a · =8. a b

b 4a 时取等号. a b

1 2 ∴ + 的最小值是 8.

a b

[答案] 8 二、解答题
5

3.(2014·苏锡常镇调研)如图 4?2?8 所示,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 是以 → → →

A 为圆心,AB 为半径的圆弧上的任意一点,设向量AC=λ DE+μ AP,求 λ +μ 的最小值.

图 4?2?8 → [解] 以 A 为原点, 建立如图所示的直角坐标系, 不妨设正方形边长为 1, 则AC=(1,1), →

? ? DE=? ,-1?. 2
1

?

?

λ ? → ?1= +μ cos α , π? ? 2 设AP=(cos α ,sin α ),α ∈?0, ?,得? 2? ? ? ?1=-λ +μ sin α , = 3 . 2cos α +sin α

消去 λ 得 μ

而 λ =μ sin α -1,故 λ +μ =μ sin α -1+μ =3· 设 f(α )= 1+sin α ? π? ,α ∈?0, ?, 2? 2cos α +sin α ?

1+sin α -1. 2cos α +sin α

2+2sin α -cos α ? π ?上 则 f′(α )= 2,因为 f′(α )>0 恒成立,故 f(α )在?0, 2? ?2cos α +sin α ? ? ? 1 1 单调递增,故当 α =0 时,[f(α )]min=f(0)= ,所以(λ +μ )min= . 2 2

6


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