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江苏省梁丰高级中学2013届高三周日测试数学试卷2


20120916

江苏省梁丰高级中学 2013 届高三数学周日试卷二
. .
开始 k←1 S←0 k←k+2 S←S+k S<20 N Y

徐燕 编制 李萍校对 1. 已知集合 A={x|x2<3x+4, x∈R}, A∩Z 中元素的个数为 则 2+3i 2.已知 =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 ab

= i

2 3.已知集合 M ? y | y ? x ? 1, x ? R , N ? ? y | y ? x ? 1, x ? R? ,则

?

?

M ?N ?

4.已知 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x | ax ? 2 ? 0? ,且 A ? B ? A ,
2 2 5. 已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 10 ? 0 , 集合 B ? ?x | m ?1 ? x ? 2m ?1 , ?

?

?

. . . .

则实数 a 形成的集合 C =

?

?

6.已知集合 A 满足 ?1,2,3? ? A ? ?1,2,3,4? ,则集合 A 的个数为

且 B ? A ,则实数 m 的取值范围是

输出 k 结束

2 7.若集合 A ? 1, a , B ? ?2, 4? ,则“ A ? B ? ?4? ”是“ a ? 2 ”的

?

?

条件. (填充要关系) (第 9 题) 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点为 F 的抛物线 y2=2x 上的点 P 到 坐标原点 O 的距离为 15,则线段 PF 的长为 . 9.右图是一个算法的流程图,最后输出的 k= . 10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 C 的圆心在第一象限, C 与 x 轴交于 A(1, B(3, 圆 0), 0)两点,且与直线 x-y+1=0 相切,则圆 C 的半径为 . ?ex-k,x≤0, 11.已知函数 f(x)=? 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是 . ?(1-k)x+k,x>0 12.已知 α,β 为平面,m,n 为直线,下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ③若 α∩β=n,m∥α, m∥β,则 m∥n; ④若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n. 其中是真命题的有 .(填写所有正确命题的序号) 13.设 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ?2 x ? 4
2

x?0

若存在互异的三个实数 x1 , x2 , x3 , .

使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是

14.已知函数 f(x)=2x +m 的图象与函数 g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数 m 的取值 范围为 .
x 2 2 15.已知集合 A ? y | y ? ?2 , x ? ? 2,3? , B ? x | x ? 3 x ? a ? 3a ? 0 ,

?

?

?

?

(1)当 a ? 4 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围

1

16.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.

A1 B1

C1

A B (第 16 题)

C D

x 2 17.设有两个命题: p : 不等式 ( ) ? 4 ? m ? 2 x ? x 对 x ? R 恒成立,

1 3

q : f ( x) ? ?(7 ? 2m) x 是 R 上的减函数;如果“ p 或 q ”为假命题,
求实数 m 的取值范围.

2

18.经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为 E=kv3t,其中 v 为鲑鱼 在静水中的速度,t 为行进的时间(单位:h),k 为大于零的常数.如果水流的速度为 3 km/h,鲑鱼在河中逆流行进 100 km. (1)将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数; (2)v 为何值时,鲑鱼消耗的能量最少?

x2 y2 19.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,离 a b 1 心率为 ,右准线为 l:x=4.M 为椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 AM 与直线 l 交于 2 点 P. (1)求椭圆 C 的方程; ? ? (2)若AM=MP,判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上,并说明理由; (3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N,若直线 MN 垂直于 x 轴,求点 M 的坐标. y M A O N B P

x

(第 19 题)

3

20.设 t>0,已知函数 f (x)=x2(x-t)的图象与 x 轴交于 A、B 两点. (1)求函数 f (x)的单调区间; 1 (2)设函数 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率为 k,当 x0∈(0,1]时,k≥- 恒成立, 2 求 t 的最大值; (3)有一条平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 y=f(x)的图象有两个不同的交点 C,D,若 .. 四边形 ABCD 为菱形,求 t 的值.

4

答案: 1.已知集合 A={x|x2<3x+4,x∈R},则 A∩Z 中元素的个数为 2+3i 2.已知 =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 ab= i .-6 .1, ?? ? ? .4

2 3. 已知集合 M ? y | y ? x ? 1, x ? R ,N ? ? y | y ? x ? 1, x ? R? , M ? N ? 则

?

?

2 4 . 已知 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? ?x | ax ? 2 ? 0? , 且 A ? B ? A , 则实 数 a 形 成的 集合

?

?

C=

. ?0,1, 2?

2 5.已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 10 ? 0 ,集合 B ? ? x | m ?1 ? x ? 2m ?1 ,且 B ? A ,则 ?

?

?

实数 m 的取值范围是

.m ? 3 .8 条件. (填

6.已知集合 A 满足 ?1,2,3? ? A ? ?1,2,3,4? ,则集合 A 的个数为
2 7. 若集合 A ? 1, a ,B ? ?2, 4? , “ A ? B ? ?4? ” “ a ? 2 ” 则 是 的

?

?

充要关系)必要不充分 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点为 F 的抛物线 y2=2x 上的点 P 到坐标原点 O 的距 离为 15,则线段 PF 的长为 7 ▲ . 2 ▲ .11
开始 k←1

9.右图是一个算法的流程图,最后输出的 k=

10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 C 的圆心在第一象限, C 与 x 轴交于 A(1, B(3, 圆 0), S←0 0)两点,且与直线 x-y+1=0 相切,则圆 C 的半径为
x



. 2 1 .[ ,1) 2
S<20 N

k←k+2 S←S+k Y

?e -k,x≤0, 11.已知函数 f(x)=? 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是 ?(1-k)x+k,x>0

12.已知 α,β 为平面,m,n 为直线,下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;

输出 k 结束 (第 8 题)

③若 α∩β=n,m∥α, m∥β,则 m∥n; ④若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n. 其中是真命题的有
2



.(填写所有正确命题的序号) ②③④

13 . 设

? x ? 4 x ? 6, x ? 0 f ( x) ? ? 若 存 在 互 异 的 三 个 实 数 x1 , x2 , x3 , 使 x?0 ?2 x ? 4


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是

(3, 4)

14.已知函数 f(x)=2x2+m 的图象与函数 g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数 m 的取值 范围为 ▲ 1 . (-∞,- -ln2) 2

5

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
x 2 2 已知集合 A ? y | y ? ?2 , x ? ? 2,3? , B ? x | x ? 3 x ? a ? 3a ? 0 ,

?

?

?

?

(1)当 a ? 4 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围 解: A ? ? ?8, ?4? , a ? 4 时,B ? ? ??, ?7 ? ? ? 4, ??? , (1) 当 由数轴图得:A ? B ? ??8, ?7? (2)方程 x ? 3x ? a ? 3a ? 0 的两根分别为 a, ?a ? 3 ,
2 2

①当 a ? ? a ? 3 时, B ? ? ??, ? ? ? ? ? , ?? ? ,满足 A ? B ;

? ?

3? ? 3 2? ? 2

? ?

3 时, a ? ? a ? 3 , B ? ? ??, a ? ? ? ?a ? 3, ??? ,则 a ? ?4 或 ?a ? 3 ? ?8 , 2 3 得 ?4 ? a ? ? ; 2 3 ③当 a ? ? 时, a ? ? a ? 3 , B ? ? ??, ?a ? 3? ? ? a, ??? ,则 a ? ?8 或 ?a ? 3 ? ?4 2 3 得? ? a ?1 2
②当 a ? ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ?4,1? 16. (本小题满分 14 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1. 16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. C A D 因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, B 所以 AD⊥平面 BCC1B1. ???????5 分 (第 16 题) 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. ???????7 分 (2)(证法一) 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD//A1B. ???????11 分 ? 因为 OD?平面 ADC1,A1B/ 平面 ADC1, 所以 A1B//平面 ADC1. (证法二)
∥ 取 B1C1 的中点 D1,连结 A1D1,D1D,D1B.则 D1C1 = BD. A1 B1 C1

???????14 分

6

所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B// C1D. ? 因为 C1D?平面 ADC1,D1B/ 平面 ADC1, 所以 D1B//平面 ADC1. 同理可证 A1D1//平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1//平面 ADC1. ???????11 分 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B//平面 ADC1. ???????14 分
A1 B1 C1 A1 B1 D1 C1

O

A B

C D (第 16 题图) A B (第 16 题图) D

C

x 2 17.设有两个命题: p : 不等式 ( ) ? 4 ? m ? 2 x ? x 对 x ? R 恒成立,

1 3

q : f ( x) ? ?(7 ? 2m) x 是 R 上的减函数;如果“ p 或 q ”为假命题,
求实数 m 的取值范围. 解:表示 p 假而且 q 假 当 p 真: 1 ? m ? 4 ,则 p 假: m ? 1 或 m ? 4 ; 当 q 真: m ? 3 ,则 q 假: m ? 3 实数 m 的取值范围为 m ? 4

18. (本小题满分 14 分) 经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为 E=kv3t,其中 v 为鲑鱼 在静水中的速度,t 为行进的时间(单位:h),k 为大于零的常数.如果水流的速度为 3 km/h, 鲑鱼在河中逆流行进 100 km. (1)将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数; (2)v 为何值时,鲑鱼消耗的能量最少? 18. (本小题满分 14 分) 100 解: (1)鲑鱼逆流匀速行进 100km 所用的时间为 t= . v-3
7

???????2 分

100 100kv3 所以 E=kv3t=kv3 = (v∈(3,+?)). v-3 v-3 (2)E?=100k 3v2(v-3)-v3 2v2(v-4.5) =100k . (v-3)2 (v-3)2

???????6 分 ???????10 分

令 E?=0,解得 v=4.5 或 v=0(舍去). 因为 k>0,v>3,所以当 v∈(3,4.5)时,E?<0,当 v∈(4.5,+?)时,E?>0. 100kv3 故 E= 在(3,4.5)上单调递减,在(4.5,+?)上单调递增.????13 分 v-3 所以,当 v=4.5 时,E 取得最小值. 即 v=4.5km/h 时,鲑鱼消耗的能量最小. ???????14 分

19. (本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B, a b 1 离心率为 ,右准线为 l:x=4.M 为椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 AM 与直线 l 交于点 2 P. (1)求椭圆 C 的方程; ? ? (2)若AM=MP,判断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上,并说明理由; (3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N,若直线 MN 垂直于 x 轴,求点 M 的坐标. y M A 19. (本小题满分 16 分) O N B P

x

?a=2, ?a=2, 解: (1)由?a 解得? 所以 b =3. ?c=1. =4. ?c
c 1
2 2

(第 18 题)

x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3

???????4 分

? ? 3 3 (2)因为AM=MP,所以 xM=1,代入椭圆得 yM= ,即 M(1, ), 2 2 1 所以直线 AM 为:y= (x+2),得 P(4,3), 2

8

? 3 ? 所以BM=(-1, ), BP =(2,3). 2

???????8 分

?? 5 因为BM· = ≠0,所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上. ???????10 分 BP 2 (3)因为 MN 垂直于 x 轴,由椭圆对称性可设 M(x1,y1),N(x1,-y1). y1 6y1 直线 AM 的方程为:y= (x+2),所以 yp= , x1+2 x1+2 -y1 -2y1 直线 BN 的方程为:y= (x-2),所以 yp= , ???????12 分 x1-2 x1-2 6y1 -2y1 6 2 所以 = .因为 y1≠0,所以 =- .解得 x1=1. x1+2 x1-2 x1+2 x1-2 3 所以点 M 的坐标为(1, ? ). 2 ???????16 分

20. (本小题满分 16 分) 设 t>0,已知函数 f (x)=x2(x-t)的图象与 x 轴交于 A、B 两点. (1)求函数 f (x)的单调区间; 1 (2)设函数 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率为 k,当 x0∈(0,1]时,k≥- 恒成立, 2 求 t 的最大值; (3)有一条平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 y=f(x)的图象有两个不同的交点 C,D,若 .. 四边形 ABCD 为菱形,求 t 的值. 20. (本小题满分 16 分) 2t 解: (1)f ′(x)=3x2-2tx=x(3x-2t)>0,因为 t>0,所以当 x> 或 x<0 时,f ′(x)>0, 3 2t 所以(-∞,0)和( ,+∞)为函数 f (x)的单调增区间; 3 2t 2t 当 0<x< 时,f ′(x)<0,所以(0, )为函数 f (x)的单调减区间. ??????4 分 3 3 1 1 (2)因为 k=3x02-2tx0≥- 恒成立,所以 2t≤3x0+ 恒成立, 2 2x0 因为 x0∈(0,1],所以 3x0+ 1 ≥2 2x0 3x0× 1 = 6, 2x0 ???????6 分

1 6 即 3x0+ ≥ 6,当且仅当 x0= 时取等号. 2x0 6 所以 2t≤ 6,即 t 的最大值为 分 6 . 2 ???????8

9

2t 4t3 (3)由(1)可得,函数 f (x)在 x=0 处取得极大值 0,在 x= 处取得极小值- . 3 27 因为平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 y=f (x)的图象有两个不同的交点, .. 所以直线 l 的方程为 y=- 分 4t3 4t3 2t t 令 f (x)=- ,所以 x2(x-t)=- ,解得 x= 或 x=- . 27 27 3 3 2t 4t3 t 4t3 所以 C( ,- ) ,D(- ,- ) . 3 27 3 27 分 因为 A(0,0) ,B(t,0) .易知四边形 ABCD 为平行四边形. AD= t 4t3 (- )2+(- )2,且 AD=AB=t, 3 27 t 4t3 34 8 (- )2+(- )2=t,解得:t= . 3 27 2 ???????12 4t3 . 27 ???????10

所以 分

???????16

数学附加题
21.B.选修 4—2:矩阵与变换 设 a>0,b>0,若矩阵 A=? (1)求 a,b 的值; (2)求矩阵 A 的逆矩阵 A 1. B.选修 4—2:矩阵与变换 解(1) :设点 P(x,y)为圆 C:x2+y2=1 上任意一点, 经过矩阵 A 变换后对应点为 P′(x′,y′) ?a 0? ?x?=?ax?=?x′?,所以?x′=ax,. ? 则? ? ?? ? ? ? ? ?0 b? ?y? ?by? ?y′? ?y′=by.


2 2 ?a 0? 把圆 C:x2+y2=1 变换为椭圆 E:x +y =1. ? 4 3 ?0 b?

??????2 分

10

x2 y2 因为点 P′(x′,y′)在椭圆 E: + =1 上, 4 3 a2x2 b2y2 所以 + =1,这个方程即为圆 C 方程. 4 3
?a2=4, 所以? 2 ,因为 a>0,b>0,所以 a=2,b= 3. ?b =3.

??????6 分 ??????8 分

?2 (2)由(1)得 A=? ?0

0? 3?

?,所以 A

-1

?2 =? ?0
1

? ?. 3 3?
0

??????10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 在极坐标系中,已知圆 C:ρ=4cosθ 被直线 l:ρsin(θ- )=a 截得的弦长为 2 3,求实 6 数 a 的值. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:因为圆 C 的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4, 直线 l 的直角坐标方程为 x- 3y+2a=0. |2+2a| 所以圆心 C 到直线 l 的距离 d= =|1+a|. 2 因为圆 C 被直线 l 截得的弦长为 2 3,所以 r2-d2=3. 即 4-(1+a)2=3.解得 a=0,或 a=-2. ??????4 分 ??????6 分

??????10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域内作答.解 ........ 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,PA⊥平面 ABCD,AD//BC,∠ABC=90° ,AB=BC=PA=1,AD=3,E 是 PB 的 中点. (1)求证:AE⊥平面 PBC; (2)求二面角 B-PC-D 的余弦值.
P

E A D

B

C (第 22 题)

11

22. (1)根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), 1 1 D(0,3,0),P(0,0,1),E( ,0, ), 2 2 1 → → 1 → AE=( ,0, ),BC=(0,1,0),BP=(-1,0,1). 2 2
z P

→ → → → 因为AE·BC=0,AE·BP=0,
所以AE⊥BC,AE⊥BP. 所以 AE⊥BC,AE⊥BP. 因为 BC,BP?平面 PBC,且 BC∩BP=B, 所以 AE⊥平面 PBC.
x

E A B C D y

→ → → →

??????4 分

(2)设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n·CD=0,n·PD=0. 因为CD=(-1,2,0),PD=(0,3,-1),所以-x+2y=0,3y-z=0. 令 x=2,则 y=1,z=3. 所以 n=(2,1,3)是平面 PCD 的一个法向量. 因为 AE⊥平面 PBC,所以AE是平面 PBC 的法向量. AE·n 5 7 → 所以 cos<AE,n>= = . → ·|n| 14 |AE| 5 7 → 由此可知,AE与 n 的夹角的余弦值为 . 14 5 7 根据图形可知,二面角 B-PC-D 的余弦值为- . 14 ??????10 分 ??????8 分













23.在一个盒子中有大小一样的 7 个球,球上分别标有数字 1,1,2,2,2,3,3.现从 盒子中同时摸出 3 个球,设随机变量 X 为摸出的 3 个球上的数字和. (1)求概率 P(X≥7); (2)求 X 的概率分布列,并求其数学期望 E(X).
2 1 2 1 2 1

C3C2 + C2C2 8 C2C3 3 23.解(1)P(X=7)= = ,P(X=8)= 3 = . 3 35 C7 C7 35 11 所以 P(X≥7)= . 35
1 1 1 3 2 1 2 1

?????????4 分
2 1

C2C3C2 + C3 13 C2C2 + C3C2 8 C2C3 3 (2)P(X=6)= = ,P(X=5)= = ,P(X=4)= 3 = . 3 3 35 35 C7 C7 C7 35

12

所以随机变量 X 的概率分布列为 X P 4 3 35 5 8 35 6 13 35 7 8 35 8 3 35

????????????????8 分 3 8 13 8 3 所以 E(X)=4× +5× +6× +7× +8× =6. ?????????10 分 35 35 35 35 35

13


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