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3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 2


问题情境
引导提问: 1.复习平面坐标系中直线的倾斜角及斜率,直线的方向向量,直

线平行与垂直的判定;
2.如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的

位置关系?
3.在平面向量中,我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂 直等位置关系.如何用向量刻画空间的两条直线、直线与平面、平


面与平面的位置关系?
4.为了用向量研究空间的线面关系同,首先我们要用向量来表示直 线和平面的“方向”,那么,如何用向量来刻画直线和平面的“方向” 呢?

建构数学
1.直线的方向向量.

? ? ? ? 我们把直线 l 上的向量 e ( e ≠ 0 ) 以及与 e 共线的非零向量叫做直线 方向向量 . l 的__________
2.平面的法线. 与平面 垂直 的直线叫做平面的法线.
3.平面的法向量.

? ? 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α, 那么称向量 n 垂直 ? ? 于平面 α,记作 n ? ? .此时,我们把向量 n 叫做平面 α 的法向量. 一个平面的法向量有 无数 个,过一个定点作平面的法向量有无数个.

例1

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 求证: DB1 是平面 ACD1 的法向量.

D1 A1

z B1

C1

D A x B

C

练一练
变式: 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求平面 ACD1 的一个法向量.

例2

在空间直角坐标系内, 设平面 ? 经过点 P( x0,y0,z0 ) , 平面 ? 的

? M ( x,y,z ) 为平面 ? 内任意一点, 法向量为 e=( A,B,C ) , 求 x,y,z

满足的关系式.

练一练
已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 平 面 外 一 点 , 如 果 ??? ? ??? ? ???? AB=(2,- ??? 1, ???4) , AD=(4, 1, ???2,- ??? 1) ???2, ???0) , AP=(-
王新敞
奎屯 新疆

??? ? (1)求证: AP 是平面 ABCD 的法向量; (2)求平行四边形 ABCD 的面积.

回顾小结
本节课学习了以下内容: 1.直线的方向向量和平面的法向量; 2.会用待定系数法求平面的法向量.


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