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江西省新余市2015届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


命题人:郭永平 审题人:龚小铭 考试时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、复数

3 ?( ) 2 ( 1 - i)
B. i C.

A. ? i

2.已知 M ? y y ? x 2

, N ? ? x A. {( ?1,1), (1,1)} 3、已知函数 f ( x) ? ax A. 0
2009

?

?

? ? x2 ? y 2 ? 1? , 则 M ? N ? ? ? 2
C. [0, 2]

3 i 2

D. -

3 i 2

B. {1}

D. [0,1] )

? b sin x ? 1, 且 f (m) ? 2, 则 f (?m) ? (
C. 4 D. ? 1

B. 1

4.等差数列{an}的前 n 项和 Sn,若 a3+ a7-a10=8,a11-a4=4,则 S13 等于 A.152 B.154 C.156 D.158 )

5.函数 f ( x) ? log 2 x ? A. (0,1)

1 的一个零点落在下列哪个区间( x
C. (2,3)

B. (1,2)
2

D. (3,4) )

6、要得到函数 y ? 2 cos x 的图像,需要把函数 y ? sin 2 x 的图像( A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向左平移 D. 向右平移

?
4

个单位,再向上平移 1 个单位 个单位,再向上平移 1 个单位 个单位,再向下平移 1 个单位

?
4

?
4

?
4

个单位,再向下平移 1 个单位

第 - 1 - 页 共 11 页

7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 s 值为( A.102 B.410 C.614



D.1638

8. 若 直 线 l : ax ? by ? 1 ? 0 始 终 平 分 圆 M : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的 周 长 , 则

? a ? 2? ? ?b ? 2?
2

2

的最小值为( B.5

) C. 2 5 D.10

A. 5

9.从抛物线 y2= 4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且 PM ? 5 ,设抛物线的焦点 为 F,则△PMF 的面积为 A.5 B.10 C.20 , =( ) D. 15

10.已知函数 f ( x) ? log a x ? 1 (a ? 0, a ? 1) ,若 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则

A.2 B.4 C.8 D.随 a 值变化 11.假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机,若这两条短 信进人手机的时间之差小于 2 秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为 A.

4 25

B.

8 25

C.

24 25

D.

16 25
,则称函数 f ( x) 在 (1, ??) 上

12.若存在正实数 M ,对于任意 x ? (1, ??) ,都有 是有界函数.下列函数:

f ( x) ? M

f ( x) ?


1 x ?1;

f ( x) ?


x x ?1;
2

f ( x) ?
③ )

ln x x ;

④f ( x) ? x sin x

其中“在 (1, ??) 上是有界函数”的序号为(

A. ② ③ B. ① ② ③ C. ② ③ ④ D. ③ ④ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、某企业共有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一般职 称 90 人,现采用分层抽样来抽取 30 人,则抽取高级职称人数为 14. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
2 2 15.已知直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? a 交于 A 、 B 两点, O 是原点,C 是圆

上一点,若 OA ? OB ? OC ,则 a 的值为_______ . 16.设 n 是正整数,由数列 1,2,3,…,n 分别求相邻两项的和,得到一个有 n-1 项的新数列:
第 - 2 - 页 共 11 页

1+2,2+3,3+4,…,(n-1)+n 即 3,5,7,…,2n-1.对这个新数列继续上述操作,这样得到一系列数 列,最后一个数列只有一项. (1)记原数列为第一个数列,则第三个数列的第 j ( j ? N*且1 ? j ? n ? 2) 项是______; (2)最后一个数列的项是________________________. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且
2a cos A ? b cos C ? c cos B .

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 6, b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积. 18.(本题满分 12 分)从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高全部介 于 155cm 和 195m 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 [ 155 , 160 ) ,第二组 [ 160 , 165 ),…,第八组[ 190 , 195 ],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分, 已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (1)求第七组的频率并估计该校 800 名男生中身高在 180 cm 以上 (含 180 cm)的人数; (2)从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生,记他们的身 高分别为 x, y ,事件 E ? {

x? y ?5

},求 P ( E ) .

19. (本小题 12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD ,

AB ? AD ,且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 .现以 AD 为一边向梯形外 2

作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直,

M 为 ED 的中点,如图 2.
(1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求点 D 到平面 BEC 的距离.
E
D
C

E M F

D

C

A

F

A

B

图2

B

图1 20(本题满分 12 分)

x2 y2 3 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点到直线 y ? x 的距离为 3 . 2 a b
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(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )已知点 M (2,1) ,斜率为

1 的直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A, B ,设直线 MA 与 MB 的斜率分别为 2

k1 , k2 ;
① 若直线 l 过椭圆的左顶点,求 k1 , k2 的值; 21(本题满 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x 2 ? 3 x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ )证明:存在 m ? (0, ??) ,使得 f (m) ? f ( ) ; (Ⅲ) 记函数 y ? f ( x) 的图象为曲线 ? . 设点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 是曲线 ? 上的不同两点. 如果在曲线 ? 上 存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ? ② 试猜测 k1 , k2 的关系,并给出你的证明.

1 2

x1 ? x2 ;②曲线 ? 在点 M 处的切线平行于直线 AB,则称函数 f ( x) 2

存在“中值伴随切线”,试问:函数 f ( x) 是否存在“中值伴随切线”?请说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4, C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过 点 A 作 AD ? CD 于 D ,交半圆于点 E , DE ? 1. (1)求证: AC 平分 ?BAD; (2)求 BC 的长.

1 ? ? x ? cos ? 23 .( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 曲 线 C1 : ? ( ? 为 参 数 ), 曲 线 2 ? ? y ? 3 sin ?
C 2 : ? sin(? ?
线 C3 . (1)求曲线 C 3 的普通方程,曲线 C 2 的直角坐标方程;

?

1 ) ? 2 ,将 C1 的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标缩短为原来的 得到曲 4 3

第 - 4 - 页 共 11 页

(2)若点 P 为曲线 C 3 上的任意一点,Q 为曲线 C 2 上的任意一点,求线段 求此时的 P 的坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5,不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | (1)若 a=1,解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)若 a ? 1, ?x ? R, f ( x)? | x ? 1|? 2 ,求实数 a 的取值范围。

PQ

的最小值,并

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毕业年级期末考试数学试卷(文) 答案
1. 【答案解析】C 解析 :解:

3

( 1 - i)

2

=

3 3i 3 = = i .故选:C. - 2i - 2i i 2

2 . 【答案解析】C 解析:由 M 中 y=x ≥0,得到 M=[0,+∞) ,

2

x2 ? y 2 ? 1 ,得到﹣ 2 ≤x≤ 2 ,即 N=[﹣ 2 , 2 ], 2 则 M∩ N=[0, 2 ].故选:C.
由N中 3.【答案解析】A 解析 :解:令 g ( x) = ax
2009

+ b sin x ,通过观察可知 g ( x) 为奇函数,

f(m)=g(m)+1=2,∴ g(m)=1,∴ f(﹣m)=g(﹣m)+1=﹣g(m)+1=0, 故选:A. 4.【答案解析】C 解析:∵ {an}为等差数列,设首项为 a1,公差为 d, ∴ a3+a7﹣a10=a1+2d+a1+6d﹣a1﹣9d=a1﹣d=8① ;a11﹣a4=a1+10d﹣a1﹣3d=7d=4② , 联立① ② ,解得 a1= ,d= ;∴ s13=13a1+ d=156.故选 C.

5【答案】B【解析】 试题分析:∵ f () 1 ? ?1 ? 0, f () 2 ? 1? 得到函数 f ( x) ? log 2 x ?

1 1 ? ,∴f(1)?f(2)<0.根据函数的实根存在定理 2 2

1 的一个零点落在(1,2)上故选 B. x
2

6【答案解析】B 解析 :解:∵ 函数 y ? 2 cos x =cos2x+1=sin(2x+ ∴把函数 y=sin2x 的图象向左平移 象,故选:B. 7.【答案解析】B 解析: 故选 B 8.B ? ? ? ?

)+1=sin2(x+
2

)+1,

个单位,再向上平移 1 个单位,可得函数 y=2cos x 的图

,输出 s=410

9.【答案解析】B 解析 :解:根据题意得点 P 的坐标为: ? 4, 4 ? 所以

S ?PMF ?

1 1 y p PM ? ? 4 ? 5 ? 10 ,所以选B. 2 2

10.【答案】B 【解析】试题分析:如图是函数 y ? log a x ? 1 的简图,其图象关 于直线 x ? 1 对称,由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )

第 - 6 - 页 共 11 页

? f ( x4 ) 得: x2 ? x3 ? 2 , x1 ? x4 ? 2 ,所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 4 .
11.【答案解析】D 解析:分别设两个互相独立的短信收到的时间为 x,y.则所有事件集可表 示为 0≤x≤5,0≤y≤5.由题目得,如果手机受则到干扰的事件发生,必有|x﹣y|≤2.三个不等式 联立,则该事件即为 x﹣y=2 和 y﹣x=2 在 0≤x≤5,0≤y≤5 的正方形中围起来的图形: 即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积 5 =25, 阴影部分的面积 25﹣2×
2

1 2 (5﹣2) =16, 2 16 . 25

所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为 故选:D. 12.【答案解析】A 解析:①f ( x) ? 故① 在(1,+∞)上不是有界函数; ②f ( x) ?

1 在(1,+∞)上是递减函数,且值域为(0,+∞) , x ?1

x 1 1 (x>1)即 f(x)= ,由于 x ? >2(x>1) ,0<f(x)< ,故|f(x) 1 x ?1 x x? x
2

|

,故存在 M= ,即 f(x)在(1,+∞)上是有界函数;

1 ? x ? ln x 1 ? ln x ln x ? ③f ( x) ? ,导数 f′ (x)= x ,当 x>e 时,f′ (x)<0,当 0<x<e 时, 2 x x2 x
f′ (x)>0,故 x=e 时取极大值,也为最大值且为 ,故存在 M= ,在(1,+∞)上有|f(x) |≤ ,故函数 f(x)在(1,+∞)上是有界函数; ④f ( x) ? x sin x 导数 f′ (x)=sinx+xcosx 在(1,+∞)上不单调,且|f(x)|≤x,故不存在 M, 函数 f(x)在(1,+∞)上不是有界函数. 故选 A. 13.【答案解析】3 解析 :解:由 = ,

所以, 高级职称人数为 15× =3 (人) ; 中级职称人数为 45× =9 (人) ; 一般职员人数为 90× =18 (人) . 所以高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为 3,9,18. 故答案为:3, 14.【答案解析】 12 ? 3 解析:由三视图可知,几何体是一个五面体, 五个面中分别是:一个边长是 2 的正方形;一个边长是 2 的正三角形;

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两个直角梯形,上底是 1,下底是 2,高是 2;一个底边是 2,腰长是 做出五个图形的面积 故答案为: 12 ? 3 . 15.【答案】2

的等腰三角形, = 12 ? 3 .

【解析】试题分析:由 OA ? OB ? OC 得四边形 OACB 是菱形,则 OC ? 2 ?

1 ? 2 ,所 2

以 a ? ( 2) 2 ? 2 16.【答案解析】4j+4;(n+1)?2n-2(n∈N*) 第三个数列的第 j 项是:4j+4;

an an ?1 1 ? ? 2n 2n ?1 4 a a 1 1 1 1 n ?1 所以数列{ n }是首项为 ,公差为 的等差数列;则 n = + (n-1)= , n n 2 2 4 2 2 4 4
由题意可知最后一个数列的项 a n =2a n-1 +2 n-2 (n≥2,n∈N*),即 所以 an=(n+1)?2n-2(n∈N*),即最后一个数列的项是 (n+1)?2n-2(n∈N*). 故答案为 4j+4;(n+1)?2n-2(n∈N*). 17 解(1)由 2a cos A ? b cos C ? c cos B 及余弦定理或正弦定理可得 ? 所以 A ? ??5 分 3

cos A ?

1 2

28 (2) 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36.又 b+c=8,所以 bc= . 3 1 7 3 由三角形面积公式 S=2bcsin A,得△ABC 的面积为 3 . ??12 分 18【答案】 (1) 0.06 , 144 (2) 【解析】 (1)第六组的频率为

7 . 15

4 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50

1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ;
由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以 800 名男生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人 6分

(2) 第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为 A, B , 则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况, 因事件 E ? {

x? y ?5

}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基本

事件为 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故 P ( E ) ?

7 . 15

12 分

第 - 8 - 页 共 11 页

19. ( 12 分) 解: (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中 点,

1 1 CD . 由已知 AB ∥ CD , AB ? CD , 2 2 所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC ,所以 AM ∥平面 BEC . 6分
所以 MN ∥ CD ,且 MN ?

BE ? 平 面 BDE , 所 以 1 1 S ?BCD ? BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2 1 1 6 S ?BCE ? BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2 又 V E ? BCD ? V D ? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h.
( 2 ) : 则

BC ? BE

所 以

S ? DE 1 1 1 6 S ?BCD ? DE ? ? S ?BCE ? h ,所以 h ? ?BCD ? ? 3 3 S ?BCE 3 6 2

20. 解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点 (c, 0) ,由右焦点到直线 y ? x 的距离为 3 ,解得 c ?

6

又由椭圆的离心率为

c 3 3 2 2 ,? ? ,解得 a ? 8, b ? 2 , a 2 2
2分

所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 8 2

(Ⅱ) ①若直线 l 过椭圆的左顶点,则直线的方程是 l : y ?

1 x? 2 , 2

1 ? y ? x? 2 ? ? ? ? 2 ? x1 ? 0 ? x2 ? ?2 2 联立方程组 ? 2 ,解得 , 或 ? ? 2 x y y ? 2 y ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ?8
故 k1 ? ?

2 ?1 2 ?1 . ???6 分 , k2 ? 2 2
1 x?b. 2

②设在 y 轴上的截距为 b ,所以直线 l 的方程为 y ?

1 ? y ? x?b ? ? 2 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

得 x 2 ? 2bx ? 2b 2 ? 4 ? 0 .

第 - 9 - 页 共 11 页

设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2b, x1 x2 ? 2b 2 ? 4 . 又 k1 ?

8分

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) . ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

故 k1 ? k2 ? 又 y1 ?

1 1 x1 ? b, y2 ? x2 ? b , 2 2 1 1 所以上式分子 ? ( x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) 2 2
? x1 x2 ? (b ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(b ? 1) ? 2b 2 ? 4 ? (b ? 2)(?2b) ? 4(b ? 1) ? 0 ,
故 k1 ? k2 ? 0 . ???12 分

21.解: (I) f '( x) ?

1 ?4 x 2 ? 3 x ? 1 ?( x ? 1)(4 x ? 1) ? 4x ? 3 ? ? ( x ? 0) , f '( x) ? 0 ? x ? 1 , x x x

x ? (0,1) 时 f '( x) ? 0, x ? (1, ??) 时 f '( x) ? 0, 故 x ? 1 时 f ( x) 有极大值 1,无极小值. ???2 分
(Ⅱ)构造函数:

1 1 3 F ( x) ? f ( x) ? f ( ) ? ln x ? 2 x 2 ? 3 x ? ( ? ln 2 ? ? ) ? ln x ? 2 x 2 ? 3 x ? ln 2 ? 1 , 2 2 2 1 2 由(I)知 f (1) ? f ( ) ,故 F (1) ? 0 ,又 F (e) ? ?2e ? 3e ? ln 2 ? e(3 ? 2e) ? ln 2 ? 0 ,所以函数 F ( x) 在 2 1 区间 (1, e) 上存在零点.即存在 m ? (1, ??) ,使得 f (m) ? f ( ) . ???6 分 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ln x1 ? ln x2 ? ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 3 (Ⅲ) k AB ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x ?x 1 2 f '( x0 ) ? ? 4 x0 ? 3 ? ? 4 1 2 ?3, x0 x1 ? x2 2 假设存在“中值伴随切线” ,则有 k AB ? f '( x0 ) ,可得 x1 ?1 ln x1 ? ln x2 x1 x1 ? x2 x1 x2 2 ? ? ln ? 2 ? ? ln ? 2 ? , x1 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x2 ?1 x2 x t ?1 t ?1 令 1 ? t 不妨设 x2? x1? 0 则 0?t ?1 ,则 ln t ? 2 ? ,构造 g (t ) ? ln t ? 2 ? , t ?1 t ?1 x2

第 - 10 - 页 共 11 页

1 4 (t ? 1) 2 ? ? 0 恒成立,故函数 g (t ) 单调递增,且 g(1)=0 无零点, t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 所以函数 f ( x) 不存在“中值伴随切线” . ???12 分 22【答案解析】(1)见解析(2) BC = 2
有 g '(t ) ? ? 解析 :解:(1)连接 OC ,? OA ? OC ,? ?OAC ? ?OCA, 又? CD 为半圆的切线,? OC ? CD,? AD ? CD,

? OC // AD,? ?OCA ? ?CAD, ?OAC ? ?CAD,
? AC 平分 ?BAD;
5分 (2)连接 CE , 由(1)知 BC ? CE ,

? A, B, C , D 四点共圆, ?B ? ?CED,? cos B ? cos ?CED
10 分

?

DE CB ? ,? BC ? 2. CE AB

23【答案】 (1)曲线 C 3 : x ? y ? 1 ,曲线 C 2 : x ? y ? 2 ; (2) 2 ? 1 , P (
2 2

2 2 , ). 2 2

【解析】 (1)曲线 C 3 : x ? y ? 1 ,曲线 C 2 : x ? y ? 2
2 2

5分

(2)设 P( cos ? , sin ? ) ,则线段

PQ

的最小值为点 P 到直线 x ? y ? 2 的距离。

? PQ min ?

0?0?2 1?1

?1 ? 2 ?1

p(

2 2 , ) 2 2

10 分

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