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2000年全国高中数学联赛试题2


二○○二年全国高中数学联赛试卷
(10 月 13 日上午 8:00?9:40) 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 函数 f(x)= log 1 (x -2x-3)的单调递增区间是
2
2

(A)(-∞,-1)
2

(B)(-∞,1)
2 2 2

/>(C)(1,+∞)
2

(D)(3,+∞)

2. 若实数 x,y 满足(x+5) +(y-12) =14 ,则 x +y 的最小值为 (A)2 3. 函数 f(x)=
x 1? 2
x

(B)1
? x 2

(C) 3

(D)

2

(A)是偶函数但不是奇函数 (C)既是偶函数又是奇函数 4. 直线
x 4 ? y 3

(B)是奇函数但不是偶函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数
y
2

=1 与椭圆

x

2

?

? 1 相交于

A、 两点,该椭圆上点 P,使得△PAB 面积等于 3, B

16

9

这样的点 P 共有 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 5. 已知两个实数集合 A={a1,a2,…,a100}与 B={b1,b2,…,b50},若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中 每个元素都有原象,且 f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100) 则这样的映射共有
50 (A) C 100
2 2

50 (B) C 99

49 (C) C 100

49 (D) C 99

6. 由曲线 x =4y, x =?4y, x=4, x=?4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体 的体积为 V1, 满足 x +y ≤16, x +(y?2)
2 2 2 2 2 2

y 4

y 4

≥4, x +(y+2) ≥4 的点(x,y)组成的图 形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2,则 (A)V1=
1 2 2 3
?4
O

4 x

?4

O

4

x

V2

(B)V1=

V2

?4

?4

(C)V1=V2

(D)V1=2V2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 已知复数 Z1、 满足|Z1|=2, 2|=3, Z2 |Z 若它们对应的向量的夹角为 60?, 则
| Z1 ? Z 2 | | Z1 ? Z 2 |

=_____.

8. 将二项式 ( x ?
2

1
4

) x

n

的展开式按 x 的降幂排列,若前三
P1

项系数成等差数列,则该展开式中 x 的幂指数是整数的项 共有_______个. 9. 如图,点 P1、P2、…、P10 分别是四面体顶点或棱的中点, 那么在同一平面上的四点组(P1、 i、 j、 k)(1<i<j<k≤10) P P P 有_______个. 10. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1 且对任意 x?R 都有 f(x+5)≥f(x)+5 f(x+1)≤f(x)+1 若 g(x)=f(x)+1?x, 则 g(2002)=__________. 11. 若 log4(x+2y)+log4(x?2y)=1,则|x|?|y|的最小值是__________. 12. 使不等式 sin x+acosx+a ≥1+cosx 对一切 x?R 恒成立的负数 a 的取值范围是________. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 已知点 A(0,2)和抛物线 y =x+4 上两点 B、C 使得 AB ⊥BC,求点 C 的纵坐标的取值范围. 14. 如图,有一列曲线 P0,P1,P2,…….已知 P0 所围成的 图形是面积为 1 的正三角形, k+1 是对 Pk 进行如下操作得 P 到:将 Pk 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边, 向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉( k= 0,1,2,…). 记 Sn 为曲线 Pn 所围成图形的面积. (1)求数列{Sn}的通项公式; (2)求 lim Sn.
n? ?
2 2 2

P2 P3 P10 P5 P8 P7

P4

P9 P6

y

A (0 ,2 ) B (? 4 ,0 ) C O

x

………… P0
2

P1

P2

15. 设二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足条件: (1)当 x?R 时,f(x?4)=f(2?x), 且 f(x)≥x; (2)当 x?(0,2)时,
? x ?1? f(x)≤ ? ? ? 2 ?
2

;

(3)f(x)在 R 上的最小值为 0; 求最大的 m(m>1),使得存在 t?R,只要 x?[1, m],就有 f(x+t)≤x.

二○○二年全国高中数学联赛加试试卷
(10 月 13 日上午 10:00-12:00)

题号 得分 评卷人 复核人







合计

考生注意:1、本试卷共三大题,全卷满分 150 分. 2、卷面的第 1 页、第 3 页、第 5 页印有试题, 第 2 页、第 4 页、第 6 页是空白页, 留作答题用. 3、用圆珠笔或钢笔作答. 4、解题书写不要超出装订线. 一. (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,∠A=60?, AB>AC, 点 O 是外心,两条高 BE、CF 交于 H 点.点 M、N 分别在线段 BH、HF 上,且满足 BM=CN.求
MH ? NH OH

的值.
A

F N O H M B C E

二. (本题满分 50 分) 实数 a,b,c 和正数?使得 f(x)=x +ax +bx+c 有三个实根 x1,x2,x3, 且满足 (1)x2?x1=? (2)x3> 求
2a
3
3 2

1 2

(x1+x2) 的最大值.

? 27 c ? 9 ab

?

3

三. (本题满分 50 分) 在世界杯足球赛前,F 国教练为了考察 A1,A2,…,A7 这七名队员,准备让他们在三场训练比 赛(每场 90 分钟)都上场.假设在比赛的任何时刻,这些队员中有且仅有一人在场上,并且 A1,A2,A3,A4 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 7 整除,A5,A6,A7 每人上场的总时间(以分 钟为单位)均被 13 整除.如果每场换人次数不限,那么按每名队员上场的总时间计算,共有多 少种不同的情况.


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