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成才之路·北师大版数学必修1-本章归纳总结4


成才之路· 数学
北师大版 · 必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章
函数应用

第四章

函数应用

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第四章
本章归纳总结

第四章

函数应用

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知 识 结 构

专题探究

知识梳理

即时巩固

第四章 本章归纳总结 第一章 §1

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知 识 结 构

第四章 本章归纳总结 第一章 §1

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第四章 本章归纳总结 第一章 §1

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知 识 梳 理

第四章 本章归纳总结 第一章 §1

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1.方程的根与函数的零点
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x) 的零点. 方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)的图像与x轴有交点? 函数y=f(x)有零点.

零点性质:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续
不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根.

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2.二分法 对于区间[a,b]上图像连续不断,且f(a)f(b)<0的函数y= f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区 间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作

二分法.

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3.用二分法求零点的近似值的步骤:
第1步:确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε; 第2步:求区间(a,b)的中点x1; 第3步:计算f(x1);

(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
(2)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1[此时零点x0∈(a,x1)]; (3)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1[此时零点x0∈(x1,b)]; (4)若满足精度ε时,a,b近似值相等,则其值为所求,否 则重复(2)~(4).
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4.函数应用题,就是指用数学的方法将一个表面上非数
学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学函数问 题. 求解函数应用问题的思路和方法,我们可以用示意图表示 为:

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5.解函数应用问题,一般地可按以下四步进行.
第1步:阅读理解、认真审题. 就是读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景, 领悟从背景中概括出来的数学实质.尤其是理解叙述中的新名 词、新概念,进而把握住新信息.

在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,
确定自变量与函数值的意义,尝试找出问题的函数关系.审题 时要抓住题目中关键的量,要勇于尝试、探索,敢于发现、归 纳,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.

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第2步:引进数学符号,建立数学模型.
一般地设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然 后根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及 其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问 题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.

第3步:利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模
型)予以解答,求得结果. 第4步:再转译成具体问题作出回答.

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专 题 探 究

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基本题型归纳 1.函数零点的判断 由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之 间有着内在的本质的联系,所以函数问题可转化为方程问题, 方程问题可转化为函数问题解决,根据函数的性质和方程根的

存在条件,我们常借助不等式来求解相关的问题,其间,要善
于结合函数图像,从中体会数形结合的作用.

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1 2 [例 1] 已知函数 f(x)=x +2x -2,试利用基本初等函
-1

数的图像判断 f(x)有几个零点,并利用判断区间内是否有零点 的方法确定各零点所在的范围(各区间长度不超过 1). 1 2 -1 [分析] 函数 f(x)=x +2x -2 的图像不易作出,而将方
1 2 1 2 -1 程 x +2x -2=0 变形为 x =-2x +2 后,函数 y=x-1 与 y
-1

1 2 - =-2x +2 的图像较容易作出,它们交点的横坐标就是方程 x
1

1 2 1 2 -1 +2x -2=0 的实数解,即函数 f(x)=x +2x -2 的零点.
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1 2 [解析] 由 f(x)=0,得 x =-2x +2.
-1

1 2 令 y1=x ,y2=-2x +2,在同一直角坐标系中画出它们
-1

的图像,如图所示.由图可知,它们有 3 个交点. 1 2 因此函数 f(x)=x +2x -2 有 3 个零点.
-1

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由 f(x)知 x≠0,f(x)图像在(-∞,0),(0,+∞)上分别是连 续曲线. 1 13 2 ∵f(-3)=(-3) +2×(-3) -2= 6 >0,
-1

1 1 2 f(-2)=(-2) +2×(-2) -2=-2<0,
-1

1 1 -1 1 1 2 1 f(2)=(2) +2×(2) -2=8>0, 1 1 2 f(1)=1 +2×1 -2=-2<0,
-1

1 1 2 f(2)=2 +2×2 -2=2>0,
-1

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1 即 f(-3)· f(-2)<0,f(2)· f(1)<0, f(1)· f(2)<0, 1 2 ∴函数 f(x)=x +2x -2 的 3 个零点分别在区间(-3,-
-1

1 2),(2,1),(1,2)内.

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[点评]

确定函数的零点所在的大致区间时,可以从形与

数两个方面共同考虑.先根据函数的图像,得到函数零点所在 的大致区间,再验证区间端点处的函数值是否反号,这需要函

数的图像要较准确.

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2.方程根的区间分布
[例2] 求实数m的取值范围,使关于x的方程x2+2(m-1)x +2m+6=0. (1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小; (2)有两个实根,且都大于1;

(3)有两实数根α、β,且满足0<α<1<β<4;
(4)至少有一个正根. [分析] 利用函数零点的性质和根的判别式求解.

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[解析] 设 f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,它的图像是一条 开口向上的抛物线. (1)如果函数在 x=2 时的值小于零, 那么抛物线就一定和 x 轴有两个不同的交点,而且交点的横坐标一个比 2 大,一个比 2 小,于是有 f(2)<0, 即 4+4(m-1)+2m+6<0,解得 m<-1.

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(2)两个根都比 1 大的条件是
2 Δ = 4 ? m - 1 ? -4?2m+6?≥0, ? ? ?f?1?=1+2?m-1?+2m+6>0, ? ? 2?m-1? - 2 >1, ? ? 2 m ? ? -4m-5≥0, ? 5 即?m>-4, ? ? ?m<0,

5 解得-4<m≤-1.
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(3)两实数根 α、β 满足 0<α<1<β<4 的条件是 ?f?0?>0, ? ?f?1?<0, ?f?4?>0, ? ?2m+6>0, ? 即?4m+5<0, ?10m+14>0, ?

7 5 解得-5<m<-4.

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(4)方程至少有一个正根有三种可能: ①有两个正根,此时应有 ? ?Δ≥0, ?f?0?>0, ? ? 2?m-1? - 2 >0, ? ? 即-3<m≤-1. ?m≥5或m≤-1, ? 即?m>-3, ?m<1, ?

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②有一个正根,一个负根,此时应有 f(0)<0, 解得 m<-3. ③有一个正根,另一根为零,此时有 ?2m+6=0, ? ? 2?m-1? 解得 m=-3. - 2 >0, ? ? 综合上述三种情况,得 m≤-1.

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[点评]

解决本题要注意与二次函数图像的结合,可以作

出各种情况的草图帮助解题,另外对于(4)的分类,要特别注 意一根为正、一根为零的情况.

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3.函数建模应用问题 [例3] 点P从点O出发,沿周长为l的图形运动一周,设 O、P的距离y与点P所走的路程x的函数关系如图所示,则点P 所走的图形是( )

图1
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[解析] 由图 A 可知在从 O 点到 B 点上,O、P 的距离是 逐渐变大的;在从 A 点到 B 点上,O、P 的距离是先变小后变 大,不符合图 1.图 B 在从 O 点到 B 点上,O、P 的距离是逐渐 变大的, 而从 O 点到 A 点上比 A 点到 B 点上变化的速率大, 不 符合图 1.
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图 C 在从 O 点运动到半个圆周时, 距离 y 与路程 x 是成正比的 关系,当运动后半个圆周时,随路程的变大,O、P 的距离逐 渐变小,也不符合图 1.图 D 从 O 点到 A 点(或从 O 点到 B 点) ︵ 上,距离 y 与路程 x 是成正比例线性关系,在APB 上,随路程 增大 O、P 距离不变,从 B 点到 O 点(或 A 点到 O 点上),距离 y 与路程 x 成反比例线性关系,与图 1 一样,故选 D 项.

[答案] D

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数学思想方法 1.逐渐逼近思想 事物的变化有渐变和突变之分,逼近思想是对渐变过程的 描述,逐步逼近就是逐步地去求愈来愈准确的近似值,使得误 差可以小到任意小,它是一种重要的数学思想.二分法就是充

分运用了这一思想,通过不断地把函数零点所在的区间一分为
二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值 (即方程的近似解).实际上,“逐步逼近”思想在数学许多知 识中都有很好的运用.例如,初中学过的圆面积公式就是由正 多边形“逐步逼近”圆而推导出的.
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[例4]

用二分法求方程x3-2=0的近似解,精确到0.01.

[分析] 借助函数的单调性可以判断函数零点的个数,再 利用二分法求出函数的零点,也就求出了方程的近似解.

[解析] 令 f(x)=x3-2. 易知函数 f(x)=x3-2 在(-∞, +∞)上是单调递增的函数. ∵f(1)=-1<0,f(2)=8-2=6>0, ∴f(x)=x3-2 仅有一个零点,且这个零点在[1,2]内.

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取[1,2]的中点1.5,经计算f(1.5)=1.375>0.
又f(1)<0, ∴方程x3-2=0在[1,1.5]内有解. 如此下去,得方程x3-2=0实数解所在的表:
左端点 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 1 1 1.25 1.25 1.25 1.25 右端点 2 1.5 1.5 1.375 1.3125 1.28125

第7次
第8次 第9次

1.25
1.2578125 1.2578125

1.265625
1.265625 1.26171875
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至此,可以看出区间[1.2578125,1.26171875]内的所有值, 若精确到0.01,都是1.26,所以1.26是方程x3-2=0精确到0.01 的近似解. [点评] 我们平时解题中的“特值验证(特殊值法)”“化

不等为相等”“考察极端”等都是“逐渐逼近”思想的具体体
现.

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2.数形结合思想
数形结合思想是重要的数学思想方法,它把数学关系的精 确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来,充分暴露问题 的条件与结论之间的内在联系,从而将问题转化为熟悉的问题 来解决.数形结合常用于解方程、不等式和求函数值域等问题

中.

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[例 5] 解不等式 x+2>x.

[分析]本题为无理不等式问题,我们还没有接触过,如果 我们借用函数,设 f(x)= x+2,g(x)=x,然后在同一坐标系中 分别画出它们的图像,其中 f(x)= x+2的图像在 g(x)=x 的图 像上方所对应的 x 的取值范围就是所求不等式的解集.

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[ 解析 ] 如图所示,在同一直线坐标系中分别画出 f(x) =
? ?y= x+2和 g(x)=x 的图像, 由? ? ?y=x

x+2

得两图像的交点 P(2,2),

由图像易知 f(x)= x+2的图像在 g(x)的图像上方时对应的 x 的 取值范围是-2≤x<2, ∴不等式的解集为{x|-2≤x<2}.
[点评]本题应用了数形结合的数学思想,这要求我们画图 要尽量准确体现数量关系.
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3.分类讨论思想 有些实际问题,在建立函数模型的过程中,可能会涉及多 种说不清楚的情况,此时,应运用分类讨论的思想,对它进行 分类讨论,从而顺利地建模.分类标准应视具体情况而定,但

要遵循“不重不漏”的原则.

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[例6]

我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价

格调控等手段来达到节约用水的目的.某市用水收费的方法 是:水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量am3,只付基本费8元和每 户每月定额损耗费c元;若用水量超过am3时,除了付以上的基

本费和损耗费外,超过部分按b元/m3支付超额费.已知每户每
月的定额损耗费不超过5元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所 示,根据表中的数据求a,b,c.

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月份 1月份 2月份 3月份

用水量/m3 9 15 22

水费/元 9 19 33

[分析] 易知2月份,3月份的用水量已超过了最低限量 am3,但1月份的用水量是否已超过最低限量,需要进行分类

讨论.

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[解析] 设每月用水量为 x(m3),支付费用为 y 元, 则
? ?8+c,0≤x≤a,① y=? ? ?8+b?x-a?+c,x>a.②

由题意知,8+c≤13. 由表知 2 月份,3 月份该户水费超过 13 元,用水量为 15m3,22m3 均大于最低限量 a m3,将 x=15,x=22 分别代入② 中,得
? ?19=8+b?15-a?+c, ? ? ?33=8+b?22-a?+c

可解出 b=2,

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所以 2a=c+19.



不妨设 1 月份用水量也超过最低限量,即 9>a,这时将 x =9 代入②中得 9=8+2(9-a)+c, 即 2a=c+17 与③矛盾,故 a≥9. 即可知 1 月份付款方式应选①式,则有 8+c=9. 所以,c=1,a=10. 从而,a=10,b=2,c=1.

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即 时 巩 固

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一、选择题 2 1.函数 f(x)=lgx-x的零点所在的区间应是( A.(1,2) C.(3,4) B.(2,3) D.(4,5) )

[答案] C

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[解析] 按照函数零点的概念, 2 3 3 f(3)=lg3-3=lg 27-lg 100<0, 1 f(4)=lg4-2=lg 16-lg 10>0, 故 f(3)· f(4)<0.其余三个区间均有 f(a)· f(b)>0,即 f(a)与 f(b) 同号,故选 C.

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2.某种细菌在培养过程中,每30分钟分裂一次(由一个分 裂成两个),这种细菌由1个繁殖成1024个需经过( A.5小时 C.7小时 B.6小时 D.8小时 )

[答案] A

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[解析] 因为细菌每 30 分钟分裂一次,一小时分裂两次, 所以细菌个数 y 与分裂时间 t 小时的函数关系式为 y=22t,把 y =1024 代入得 1024=22t,1024=22 5=22t,
×

所以 t=5(小时),故选 A.

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3.设函数 的取值范围是( A.[-1,2]

1-x ? ?2 , f(x)=? ? ?1-log2x,

x ≤1 则满足 f(x)≤2 的 x x>1,

) B.[0,2] D.[0,+∞)

C.[1,+∞)

[答案] D

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[解析] 本小题考查内容为分段函数中不等式的解法. ①当 x≤1 时,21-x≤2=21,∴1-x≤1,∴0≤x≤1, 1 ②当 x>1 时,1-log2x≤2,∴log2x≥-1=log22. 1 ∴x≥2,∴x>1, 综合①②知,x≥0.

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4.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值 范围是( ) B.a>1 A.a<-1

C.-1<a<1
[答案] B

D.0≤a<1

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[解析] 令 f(x)=2ax2-x-1, ∵f(x)=0 在(0,1)内恰有一解, ∴f(0)f(1)<0,即(-1)· (2a-2)<0,∴a>1. 若 a≠0 且 Δ=(-1)2-4×2a×(-1)=0, 1 可求出 a=-8,此时方程的解为 x=-2?(0,1). 故 a 的取值范围是 a>1.故选 B.

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二、填空题 5.已知二次函数f(x)=x2+x+a(a>0)有两个零点,若 f(m)<0,则在(m,m+1)上函数零点的个数是________.

[答案] 1

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[解析] 设函数 f(x)的两个零点为 x1,x2, 则 x1+x2=-1,x1· x2=a. ∵|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= 1-4a<1, 又 f(m)<0, ∴f(m+1)>0. ∴f(x)在(m,m+1)上零点的个数是 1.

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6.现有含盐7%的食盐水200g,要将它制成工业生产上需
要的含盐在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水,设需 加入4%的食盐水xg,则x的取值范围是________. [答案] (100,400)

14+0.04x [解析] 设溶液的浓度为 y,则 y= , 200+x 由 0.05<y<0.06,解不等式组为 100<x<400.

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7.某公司欲投资13亿元进行项目开发,现有以下6个项目
可供选择: 项目 投资额(亿元) 利润(亿元) A B C D E F

5 0.55

2 0.4

6 0.6

4 0.5

6 0.9

1 0.1

设计一个投资方案,使投资13亿元所获利润大于1.6亿 元,则应选的项目是______.(只需写出项目的代号)

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[答案]

A、B、E或B、D、E、F

[解析] 当投资为13亿元时,有以下两种投资选择方案: f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9=1.85(投资13亿元);

f(B,D,E,F)=0.4+0.5+0.9+0.1=1.9(投资13亿元).

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三、解答题
8.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤 可减少水中杂质20%. (1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系 式.

(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤
几次?(lg2≈0.3010) [分析] (1)利用归纳猜想的方法得函数关系式; (2)利用(1)的结论转化为解不等式.

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[解析]

(1)设刚开始水中杂质含量为1,

第1次过滤后,y=1-20%; 第2次过滤后,y=(1-20%)(1-20%)=(1-20%)2 第3次过滤后,y=(1-20%)2(1-20%)=(1-20%)3; ??

第x次过滤后,y=(1-20%)x.
∴y=(1-20%)x=0.8x,x≥1,x∈N.

(2)由(1)得 0.8x<5%, lg2+1 ∴x>log0.80.05= ≈13.4.∴至少需要 14 次. 1-3lg2
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