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两直线平行与垂直


两条直线的平行与垂直导学案
姓名 班级 主编:李潭潭 审编:李平原

学习目标
1. 掌握利用斜率判断两条直线平行和垂直的方法,感受用代数方法研究几何问题的思想; 2. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透,培养学生严谨、辩证的思维习惯.

学习重点与难点
本节课的重点是用斜率判断两直线平行与垂直的方法。

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教学过程
问题情境 斜率刻画了直线的倾斜程度,那么,能否用斜率刻画两条直线的位置关系呢? 首先看两直线平行的情况: ——两条直线(斜率存在)平行,即倾斜程度相同,那么它们的斜率如何? ——如果两条直线的斜率相等,那么它们平行吗? 一、 学生活动、建构数学
探究:两条直线平行,即倾斜程度相同,那么它们的斜率如何?

二、 数学理论、数学运用 两条直线平行的条件 一般地,设直线 l1,l2(不重合,斜率存在)所对应的斜率分别为 k1,k2,则

说明: (1)如果直线 l1,l2 的斜率都不存在,那么它们都与 x 轴垂直,从而 l1//l2; (2)在利用以上结论判断两直线的位置关系时,一定要注意前提条件,即斜率 存在,因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论. (3)若直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,A2,B1,B2 全不为零) 平行,那么两直线平行的等价条件为 . 两条直线重合的等价条件为

欢中高二数学导学案

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例 1(课本 P78 例 1) 求证:顺次连结 A(2,?3) ,B(5, ? 是梯形.

7 ) ,C(2,3) ,D(?4,4)四点所得的四边形 2

例 2(课本 P79 例 2) 求过点 A(2,?3) ,且与直线 2x+y?5=0 平行的直线的方程.

练习:课本 82 页:1,2

再看直线垂直的情况:若 l1⊥ l2(l1、l2 都不与 x 轴垂直) 一.学生活动 如图:作出两个直角三角形。 (直角边分别平行于坐标轴)

PQ ST = k2 设 l1、l2 的斜率为 k1、k2,则: = k1 , QR PS
由于 Rt⊿PST∽Rt⊿PQR(因为∠TPS=∠RPQ) 故

ST QR = PS PQ

从而 k1=-

1 k2

即 k1k2=-1

反过来,若 k1k2=-1,则 l1⊥ l2。

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二.数学理论: 因此,我们得到: 当两条直线的斜率都存在时,如果它们互相垂直,那么,它们的斜率的乘积等于-1。反 之;如果它们的斜率的乘积等于-1,那么它们互相垂直。即: 还有其他的证明方法吗?(运用三角函数解决) 思考题:若 l1、l2 其中一条直线的斜率不存在,那么这两条直线什么时候互相垂直?逆命 题成立吗? 若一条直线的斜率不存在,且 l1⊥ l2,则另一条直线的斜率为 0。 逆命题同样成立。 三.理论应用: 例 3: (1)已知四点 A(5,3), B(10,6) ,C(3,-4),D(-6,11) 求证:AB⊥CD (2) 已知直线 l1 的斜率 k 1 =
2

3 ,直线 l2 经过点 A(3a,-2) , 4

B(0,a +1) ,且 l1⊥ l2,求实数 a 的值

例 4.如图:已知三角形的顶点为 A(2,4), B(1, -2) ,C(-2,3),求 BC 边上的高 AD 所在的 直线方程。

练习:判断两条直线的是否垂直: (1) ?

?2 x ? 3 y ? 7 ?3 x ? 2 y ? 4

(2) ?

?5 x ? 2 y ? 5 ?2 x ? 5 y ? 3

(3) ?

?x ? 3 ?y ? 0

(4) ?

?2 x ? y ? 5 ?6 x ? 3 y ? 4

如果它们垂直,试分别计算 A1A2+ 结论: (若两直线斜率存在) 若 l1⊥ l2, 则 A1A2+

B1B2

对于两直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0,

B1B2=0

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例 5 在路边安装路灯,路宽 23m,灯杆长 2.5m,且与灯柱成 120°角,路灯采用锥形灯罩, 灯罩轴线与灯杆垂直,当灯柱高 h 为多少米时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线(精确到 0.01m)

四.课堂小结: 1.直线平行与垂直的条件(用斜率刻画) 2.直线平行与垂直的条件(在一般式下的表达) 五.课后反思: 六.课外作业 1、直线 mx+y?n=0 和直线 x+my+1=0 平行的条件是_

_.

2、分别求满足下列条件的直线方程: (1)经过点 A(3,2),且与直线 4x+y-2=0 平行 (2)经过点 C(2,-3), 且平行于过两点 M(1,2)和 N(-1,-5)的直线;

3.求与直线 3x+4y+9=0 平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是 24 的直线 方程。

4、已知直线 a 与直线 m:2x+3y-5=0 平行,且在两坐标轴上的截距之和为 1,求直线 a 的方 程

5、求经过点 M(-2,1)且与点 A(-1,2)、B(3,0)距离相等,又不与直线 AB 相交的直线方程

6. 1) ( 过原点 O 作直线 l 的垂线, 垂足为点 N -2, , ( 1)则直线 l 的方程为 2 (2)直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0 垂直,则 a=

. .

7.已知直线 l1 经过点 A(2, a), B(a ? 1,3) ,直线 l 2 经过点 C (2, 2), D(?2, a ? 2), (1)若 l1 // l2 , 求 a的值 ; (2) 若l1 ? l2 , 求a的值 。

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