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2016年秋季新苏教版高中数学选修2-3 2.5 离散型随机变量的均值与方差(第1课时)离散型随机变量的均值教案


§2.5.1 离散型随机变量的均值 教学目标 1.了解离散型随机变量的期望的意义, 2.会根据离散型随机变量的分布列求出期望. 3.能计算简单离散型随机变量均值,并能解决一些实际问题. 教学重点:离散型随机变量的期望的概念. 教学难点:根据离散型随机变量的分布列求出期望. 教学过程 一、自学导航 1.情景: 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的,我们把这样的随机变量称为离散型随机

变 量.这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢? 甲、乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产 100 件产品所出的不合格 品数分别用 X1 , X 2 表示, X1 , X 2 的概率分布如下. X1 0 1 2 3 pk X2 0.7 0 0.1 1 0.1 2 0.1 3 pk 2.问题: 0.5 0.3 0.2 0 1 如何比较甲、乙两个工人的技术? 3.学生活动 ⑴直接比较两个人生产 100 件产品时所出的废品数.从分布列来看,甲出 0 件废品的概 率比乙大,似乎甲的技术比乙好;但甲出 3 件废品的概率也比乙大,似乎甲的技术又不 如乙好.这样比较,很难得出合理的结论. ⑵学生联想到“平均数” , ,如何计算甲和乙出的废品的“平均数”? ⑶引导学生回顾《数学 3(必修) 》中样本的平均值的计算方法. ①如果有 n 个数 x1,x2,? ,xn,那么 ②如果 n 个数中 x1,x2 ? xk 分别出现 f1,f2 ? ,fk 次(f1+ f2+? + fk=n)则 ③某人射击 10 次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均 环数是多少? ④某射手射击的环数ξ 的分布列为: 则他射击 n 次,射击环数的平均值为 . ξ 7 0.3 8 0.4 9 0.2 10 0.1 P 那么,再回到前面的情境问题中来,如何来比较两工人的技术呢? 二、探究新知 1.定义 在《数学 3(必修) 》 “统计”一章中,我们曾用公式 x1 p1 ? x2 p2 ? ... ? xn pn 计算样本的 平均值,其中 pi 为取值为 xi 的频率值. 2 类似地,若离散型随机变量 X 的分布列或概率分布如下: X P x1 x2 p2 ? ? xn pn p1 其中, pi ? 0, i ? 1, 2,..., n, p1 ? p2 ? ... ? pn ? 1 ,则称 x1 p1 ? x2 p2 ? ... ? xn pn 为随机变量 X 的均值或 X 的数学期望, 记为 E ( X ) 或 ? . 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.性质 (1) E (c) ? c ; (2) E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b . ( a, b, c 为常数) 三、例题精讲 例 1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个小口袋中装有 10 个红球,20 个 白球,这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出 5 个球,其中红球的个数为 X , 求 X 的数学期望. 分析:从口袋中摸出 5 个球相当于抽取 n ? 5 个产品,随机变量 X 为 5 个球中的红球的 个数,则 X 服从超几何分布 H (5,10,30) . 解:由 2.2 节例 1 可知,随机变量 X 的概率分布如表所示: X P 从而 0 1 2 3 4 5 2584 23751 8075 23751 8550 23751 3800 23751 700 23751 42 237

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