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高考数列专题复习:文科数学数列高考题精选


数列专题复习
一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列 { a n } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a 5 , a 2 =1,则 a 1 =
2

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

r />
2.(安徽卷)已知 A. -1

为等差数列, B. 1 C. 3

,则

等于 D.7

3.(江西卷)公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a 3与 a 7 的等比中项, S 8 ? 32 ,则 S 10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
.

4(湖南卷)设 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,已知 a 2 ? 3 , a 6 ? 11 ,则 S 7 等于【 A.13 B.35 C.49 D. 63



5.(辽宁卷)已知 ? a n ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a 3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-
1 2

(C)

1 2

(D)2

6.(四川卷)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项,则数列的前 10 项之 和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 {
5 ?1 2

7.(湖北卷)设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列

}= x -[ x ],则

},[

5 ?1 2

],

5 ?1 2

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

8.(湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来 研究数,例如:
.

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表

示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4, 9,16…这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又 是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378
2

9.(宁夏海南卷)等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a m ?1 ? a m ? 1 ? a m ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ?

(A)38

(B)20

(C)10

(D)9

.

10.(重庆卷)设 ? a n ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a 3 , a 6 成等比数列,则 ? a n ? 的前 n 项和 S n =
n
2

A.

?

7n 4

B.

n

2

?

5n 3

C.

n

2

?

3n 4

D. n 2 ? n

4

3

2

11.(四川卷)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a 1 =1, a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项,则数列的前 10 项 之和是 A. 90 二、填空题 B. 100 C. 145 D. 190

.

1(浙江)设等比数列 { a n } 的公比 q ?

1 2

,前 n 项和为 S n ,则

S4 a4

?



2.(浙江)设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 , S 8 ? S 4 , S 12 ? S 8 , S 16 ? S 12 成等差数列.类比以 上结论有:设等比数列 {b n } 的前 n 项积为 T n ,则 T 4 , , ,
T1 6 T1 2

成等比数列.

3.(山东卷)在等差数列 { a n } 中, a 3 ? 7 , a 5 ? a 2 ? 6 ,则 a 6 ? __________ __ . 4.(宁夏海南卷)等比数列{ a n }的公比 q ? 0 , 已知 a 2 =1, a n ? 2 ? a n ?1 ? 6 a n ,则{ a n }的前 4 项和

S4 =

.

三.解答题
1.(广东卷文)(本小题满分 14 分)已知点(1,
1 3

)是函数 f ( x ) ? a x ( a ? 0 , 且 a ? 1 )的图象上一点,

等 比 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 f ( n ) ? c , 数 列 {b n } ( b n ? 0 ) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足 S n -
S n ?1 = S n +
1000 2009
S n ?1 ( n ? 2 ).(1)求数列 { a n } 和 {b n } 的通项公式; (2)若数列{

1 b n b n ?1

} 前 n 项和为 T n ,

问 Tn >

的最小正整数 n 是多少?

.

2(浙江文) (本题满分 14 分)设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和, S n ? kn ? n , n ? N * ,其中 k 是常数.
2

(I) 求 a1 及 a n ;

(II)若对于任意的 m ? N * , a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,求 k 的值.

3.(北京文) (本小题共 13 分)设数列 { a n } 的通项公式为 a n ? pn ? q ( n ? N , P ? 0) . 数列 {b n } 定义如下: 对于正整数 m, b m 是使得不等式 a n ? m 成立的所有 n 中的最小值.(Ⅰ)若 p ?
1 2 ,q ? ? 1 3

?

,求 b3 ;

( Ⅱ ) 若 p ? 2, q ? ? 1 , 求 数 列 {bm } 的 前 2m 项 和 公 式 ; Ⅲ ) 是 否 存 在 p 和 q , 使 得 (
b m ? 3 m ? 2( m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不存在,请说明理由.
?

参考答案:
一、1.【答案】B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1 q 2 ? a1 q 8 ? 2 ? a1 q 4 ? ,即 q 2 ? 2 ,又因为等比数列 { a n } 的公
2

比为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 q

?

1 2

?

2 2

,选 B
? 105

2. 【答案】B【解析】∵ a 1

? a 3 ? a 5 ? 105

即 3a3

∴ a3

? 35

同理可得 a 4

? 33

∴公差 d

? a4 ? a3 ? ?2



a 20 ? a 4 ? ( 20 ? 4 ) ? d ? 1
2

.选 B。
2

3.答案:【解析】 a 4 ? a 3 a 7 得 ( a1 ? 3 d ) ? ( a1 ? 2 d )( a1 ? 6 d ) 得 2 a1 ? 3 d ? 0 ,再由 S 8 ? 8 a1 ? C 由 得 2 a1 ? 7 d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ? 3 ,所以 S 10 ? 10 a1 ? 4.解: S 7 ?
7 ( a1 ? a 7 ) 2 ? 7 (a2 ? a6 ) 2 ? 7 (3 ? 11) 2 90 2 d ? 60 ,.故选 C

56 2

d ? 32

? 49. 故选 C.

? a 2 ? a1 ? d ? 3 ? a1 ? 1 7 ( a1 ? a 7 ) 7 (1 ? 13) 或由 ? , a 7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. 所以 S 7 ? ? ? 49. 故选 C. ? ? 2 2 ?d ? 2 ? a 6 ? a1 ? 5 d ? 11

5.【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ?

d=-

1 2

【答案】B

6.【答案】B【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4 d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S 10 =100
? 5 ? 1? ? ? 7.【答案】B 可分别求得 ? ?? ? 2 ? ? ? 5 ?1 2

,[

5?1 2

] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比数列.

8.【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

n 2 n 2

( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数列

通项 b n ? n ,则由 b n ? n ( n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?
2 2

n

( n ? 1) 知 a n 必为奇数,故选 C.
2

9. C 因为 ? a n ? 是等差数列,所以,a m ?1 ? a m ? 1 ? 2 a m ,由 a m ?1 ? a m ? 1 ? a m ? 0 ,得:2 a m - a m =0,所以,
2

a m =2,又 S 2 m ?1 ? 38 ,即

( 2 m ? 1)( a 1 ? a 2 m ?1 ) 2

=38,即(2m-1)×2=38,解得 m=10,故选.C。
1 2

10. 【答案】 解析设数列 { a n } 的公差为 d , A 则根据题意得 (2 ? 2 d )2 ? 2 ? (2 ? 5 d ) , 解得 d ? 去) ,所以数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ?
n ( n ? 1) 2
2

或 d ? 0(舍

?

1 2

?

n

2

?

7n 4

4

11.【答案】B【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4 d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S 10 =100 二、1.对于 s 4 ?
a1 (1 ? q )
4

1? q

, a 4 ? a 1 q ,?
3

s4 a4

?

1? q
3

4

q (1 ? q )

? 15

.

2.答案:

T8 T1 2 , T 4 T8

a1 ? 2 d ? 7 ? ? a1 ? 3 3. 13.设等差数列 { a n } 的公差为 d ,则由已知得 ? 解得 ? ,所以 a 6 ? a1 ? 5 d ? 13 . ?d ? 2 ? a1 ? 4 d ? a1 ? d ? 6

4.【答案】

15 2

【解析】由 a n ? 2 ? a n ?1 ? 6 a n 得: q

n ?1

?q

n

? 6q

n ?1

,即 q ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得:q
2

1

=2,又 a 2 =1,所以, a1 ?

1 2

(1 ? 2 )
4

,S4 ? 2
1 3

1? 2



15 2



三、1.【解析】 (1) Q f ? 1 ? ? a ?
a1 ? f ? 1 ? ? c ? 1 3

,? f ? x ? ? ?

?1? ? ?3?

x

? c , a 2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1 ? ? c ? ? ? ? ? ? ?

2 9

, a3 ? ? f ? 3 ? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ?

2 27

.

4

又数列 ? a n ? 成等比数列, a1 ?

a

2 2

?

a3

81 ? ? 2 ? 1 ? c ,所以 c ? 1 ; 2 3 3 ? 27
n ?1

又公比 q ?

a2 a1

?

1 3

,所以 a n ? ?

2?1? ? ? 3?3?

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N

*



Q S n ? S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

??

Sn ?

S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

?n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? 数列

Sn ?

S n ?1 ? 1 ;
2

?

S n 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列, S n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? 1 ? n , S n ? n
2 2

?

当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ;? bn ? 2 n ? 1 ( n ? N * ); (2) T n ?
1 b1b 2 ? 1 b 2 b3 ? 1 b3 b 4
1 ? 3 ?1 ?? ?5

?L ?

1 b n b n ?1

?

1 1? 3

?

1 3? 5

?

1 5?7

?K ?

1 (2 n ? 1) ? ? 2 n ? 1 ?

?

1? 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? 2? 3? 2 ?

?1 1 ? 1 ? ? ??K ? ?2 5 ? 7

1 1 ? n ? 1 ?1 1? ? ; ? ? ? ?1 ? ?? n n? ? 1 2 2? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2?2

2009 9 2.解析: (Ⅰ)当 n ? 1, a 1 ? S 1 ? k ? 1 ,
n ? 2 , a n ? S n ? S n ?1 ? kn
2

由 Tn ?

n 2n ? 1

?

1000

得n ?

1000

,满足 T n ?

1000 2009

的最小正整数为 112.

? n ? [ k ( n ? 1) ? ( n ? 1)] ? 2 kn ? k ? 1 ( ? )
2

经验, n ? 1, ( ? )式成立,
2

? a n ? 2 kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,? a 2 m ? a m .a 4 m ,即 ( 4 km ? k ? 1) ? ( 2 km ? k ? 1)( 8 km ? k ? 1) , 整理得: mk ( k ? 1) ? 0 ,对任意的 m ? N ? 成立, ? k ? 0 或 k ? 1 3.(Ⅰ)由题意,得 a n ? ∴
1 2 n? 1 3 1 2 n? 1 3

,解

1 2

n?

1 3

? 3 ,得 n ?

20 3

.

.

? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 .

(Ⅱ)由题意,得 a n ? 2 n ? 1 ,对于正整数,由 a n ? m ,得 n ?

m ?1 2

.根据 b m 的定义可知

当 m ? 2 k ? 1 时, bm ? k ? k ? N * ? ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 ? k ? N * ? . ∴ b1 ? b2 ? ? ? b2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b2 m ?1 ? ? ? b2 ? b4 ? ? ? b2 m ?
? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1 ? ? ? ? ?

m ? m ? 1? 2

?

m ? m ? 3? 2

? m ? 2m .
2

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

m?q p

.

∵ b m ? 3 m ? 2( m ? N ) ,根据 b m 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有
3m ? 1 ? m?q p ? 3 m ? 2 ,即 ? 2 p ? q ? ? 3 p ? 1 ? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立.

?

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?
1 3

p?q 3p ?1

(或 m ? ?

2p?q 3p ?1

) ,

时,得 ?

2 3

?q?0??
?

1 3

? q ,解得 ?

2 3

?q??

1 3

.

∴ 存在 p 和 q,使得 b m ? 3 m ? 2( m ? N ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?
1 3

,?

2 3

?q??

1 3

.

.


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