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数学奥林匹克高中训练题1


数学奥林匹克高中训练题(1)第一试
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) x |f ( x) xx ? , 1. 设 f ( x) ? kx ? b , 令 A ?{ 平面中,点 ( k , b) 组成的图形是 2.

3. 4. 5.

? } R ,B ? {x | f ( f ( x)) ? x, x ? R} . 若

A? B , 则在 xOy . 1 1 1 设 k 为常数,若对一切 x, y ? (0,1) ,有 x k ? y k ? x k y k ? k ? k ? k k ,则实数 k 的取值范 x y x y 围是 . 设 x, y, z ? 0, x ? y ? z ? 1 ,则 2011 x ? 1? 2011 y? 1 ? 2011 z ? 的最大值与最小值的和 1
为 . 设锐角 ? 满足 3 41 ? 40cos? ? 4 34 ? 30sin ? ? 25 ,则 sin ? ? . 在棱长为 1 的正方体 AC1 中, 点 P 、Q 分别是棱 AD 、 A1B1 上的动点. 若异面直线 BD1 、PQ 互相垂直,则 AP ? A1Q ?
2 2



6. 7.

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的过其左焦点 F 的一条弦,点 A 在 x 轴的上方.若 F 分 2 a b . AB 的比为 ? (? ? 1) ,则 AB 的斜率 k ? 给定大于 1 的正整数 n 、 p ,对任何正整数,若它的 p 进制表示中没有数字 0,则称其为“ p
设 AB 是椭圆 . ( [ x]

—充实的” .那么, 1,2, , p n 中 p —充实的自然数的个数为 . 8. 对正整数 x , 用 S ( x) 表示 x 的各位数字之和. 则 S ( x) ? 9[lg x] 的最大值为 表示不超过实数 x 的最大整数) 二、解答题(共 56 分)
n ?1 i ?1

9.

( 16 分)设 a1 ? a ? 0 ,对 n ? 2 ,有 an ? ? (1? ai ) .求常数 a ,使对一切正整数 n 有

?1? a
k ?1

n

1

?

k

n 1 1 1 ?c. ,而对任何 c ? ,都存在正整数 n ,使 ? 2011 2011 k ?1 1 ? ak

10. (20 分) 如图, 已知在四面体 ABCD 中, 棱 AB 、AC 、AD 两两垂直, BC ? CD ? 10, BD ? 12 .作平行于底面 BCD 的 截面 ? A ,使 ? A 与底面 BCD 的距离为 1,类似作其他三个截 面 ? B 、 ? C 、 ? D .求四个截面交成的小四面体的体积. B

A

D C

11. (20 分)设 A 是双曲线 y ?

x2 y2 2011 ? ? 1 引两切线 AP 、 AQ ,切 上一动点,自 A 向椭圆 25 9 x | AF |2 点分别为 P 、 Q .若椭圆的左焦点为 F ,求 的最小值. | PF || QF |
1

加 试 一、 ( 40 分)如图,在△ ABC 中, BC ? AB ? AC,在边 AB 、 AC 上分别取点 R 、 Q ,使 BR ? BC, AQ? AB.设 BQ 与 CR 交于点 A1 ,过 A 的直线与 BC 、 BQ 、 CR 分别交于点 P 、 C1 、

B1 ,且△ A1 RB ∽△ A1C1 B1 .求证:

A1 B ? B1C ? C1 A CP ? . AB ? BC ? CA CA
B1

A

R

Q P C1 B C

2[
二、 (40 分)求出所有正整数 n ,使 sin

n ?1 ]? n ?1 4 ? . n n

三、 (50 分)试证:对任何正整数 n ,存在唯一的正奇数对 ( x, y ) ,使得 2n? 2 ? x2 ? 7 y 2 .

四、 (50 分)甲乙两人作游戏,甲先在纸上任意写下一个由 L 、 R 构成的长为 n 的序列,然后乙 将 n 个质量互不相同的砝码逐一放在天平上,每放一个砝码(已放的砝码不再拿下) ,乙都在纸上 按顺序写一个字母:如果天平倾向左边则写 L ,否则写 R .当所有砝码都放在天平上时,乙也写 下一个由 L 、R 构成的长为 n 的序列. 规定: 当乙写的序列与甲写的序列相同时乙胜, 否则甲胜. 试 问:谁有必胜策略?

2


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