tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省信阳高中2015-2016学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年河南省信阳高中高一(上)12 月月考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={x|x =x},N={x|lgx≤0},则 M∪N=( ) A.[0,1] B. (0,1] C.[0,1) D. (﹣∞,1] 2.如表是函数值 y 随自变量 x

变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型( x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x +1 D.y=lg|x| )
2 2





4.用与球心距离为 2 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为(

A.

B.

C.20

π

D.

5.已知函数 f(x)的定义域为[0,2],则 A.{x|0<x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|0<x≤1}

的定义域为( D.{x|0≤x≤1} )



6.函数 f(x)=log3x﹣8+2x 的零点一定位于区间( A. (5,6) B. (3,4) C. (2,3) D. (1,2)

7.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为(



A.

B.

C.

D.

8.函数 f(x)=

的图象如图所示,则下列结论成立的是(



A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 9.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 ①BM 与 ED 成 45°角 ②NF 与 BM 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60°角 ④DM 与 BN 是异面直线 以上四个结论中,正确结论的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 ﹣1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53) ,b=f (log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 11.已知偶函数 y=f(x)在区间[﹣1,0]上单调递增,且满足 f(1﹣x)+f(1+x)=0,下列 判断: ①f(5)=0; ②f(x)在[1,2]上是减函数; ③f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ④f(x)在 x=0 处取得最大值; ⑤f(x)没有最小值. 其中判断正确的序号是( ) A.②③④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①②④
|x﹣m|

12.已知符号函数 sgnx=

,f(x)是 R 上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax) C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D. sgn[g

(a>1) ,则( ) A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx (x)]=﹣sgn[f(x)]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.已知长方体的全面积为 11,所有棱长之和为 24,则这个长方体的体对角线的长 为 .

14.已知函数 f(x)=alnx+blgx+2,且

,则 f(2009)的值为



15.若函数 f(x)= 范围是 .

(a>0 且 a≠1)的值域是[4,+∞) ,则实数 a 的取值

16. 已知 ( f x) 是定义在 R 上的偶函数, 且当 x≥0 时, ( f x) = 都有 f(t+a)﹣f(t﹣1)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

, 若对任意实数 .



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分) (2012?信阳一模)记函数 f(x)= ﹣1) (2a﹣x)](a<1)的定义域为 B. (1)求 A; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围.

的定义域为 A,g(x)=lg[(x﹣a

18. (12 分) (2015 秋?信阳月考)已知函数 f(x)=lg(1﹣x)+lg(1+x)+x ﹣2x . (Ⅰ)判断函数 f(x)的奇偶性; 2 (Ⅱ) 设 1﹣x =t,把 f(x)表示为关于 t 的函数 g(t)并求其值域. 19. (12 分) (2013 秋?宜昌期末)现有 A,B 两个投资项目,投资两项目所获得利润分别是 P 和 Q(万元) ,它们与投入资金 x(万元)的关系依次是:其中 P 与 x 平方根成正比,且 当 x 为 4(万元)时 P 为 1(万元) ,又 Q 与 x 成正比,当 x 为 4(万元)时 Q 也是 1(万元) ; 某人甲有 3 万元资金投资. (Ⅰ)分别求出 P,Q 与 x 的函数关系式;

4

2

(Ⅱ)请帮甲设计一个合理的投资方案,使其获利最大,并求出最大利润是多少? 20. (12 分) (2015 秋?成都期中)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y= x+a 没有交点,求 a 的取值范围; f(x)+{\;}^{\frac{1}{2}}x x (3)若函数 h(x)=4 +m?2 ﹣1,x∈[0,log23],是否存在实数 m 使得 h (x)最小值为 0,若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由. 21. (12 分) (2014 秋?邢台期末) 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x+4) =f (x) , 当 x∈[0, 4]时,f(x)=2 +n,且 f(2)=6. (1)求 m,n 的值; (2)当 x∈[0,4]时,关于 x 的方程 f(x)﹣a?2 =0 有解,求 a 的取值范围. 22. (12 分) (2015 秋?信阳月考)设 f(x)=x +bx+c(b、c∈R) . (Ⅰ)若 f(x)在[﹣2,2]上单调,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)≥|x|对一切 x∈R 恒成立,求证:b +1≤4c;
2 2 x |x﹣m| x

(Ⅲ)若对一切满足|x|≥2 的实数 x,都有 f(x)≥0,且 b、c 满足的条件是 3b+c+8=0 且﹣5≤b≤﹣4.

的最大值为 1,求证:

2015-2016 学年河南省信阳高中高一 (上) 12 月月考数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1.设集合 M={x|x =x},N={x|lgx≤0},则 M∪N=( ) A.[0,1] B. (0,1] C.[0,1) D. (﹣∞,1] 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求解一元二次方程化简 M,求解对数不等式化简 N,然后利用并集运算得答案. 2 【解答】解:由 M={x|x =x}={0,1}, N={x|lgx≤0}=(0,1], 得 M∪N={0,1}∪(0,1]=[0,1]. 故选:A. 【点评】本题考查了并集及其运算,考查了对数不等式的解法,是基础题. 2.如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 【考点】根据实际问题选择函数类型. 【专题】压轴题;图表型. 【分析】利用表格中的自变量与函数值的对应关系,发现自变量增加一个单位,函数值是均 匀增加的,可以确定该函数模型是一次函数模型. 【解答】解:随着自变量每增加 1 函数值增加 2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即 一次函数模型. 故选 A. 【点评】 本题考查给出函数关系的表格法, 通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的 变化而变化的规律.从而确定出该函数的类型. 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(
2



A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x +1 D.y=lg|x| 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递减, D 在区间(0,+∞)上单调递增,可得结论. 【解答】解:根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递 减,D 在区间(0,+∞)上单调递增, 故选:C.

【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 4.用与球心距离为 2 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为( )

A.

B.

C.20

π

D.

【考点】球的体积和表面积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】求出小圆的半径,利用球心到该截面的距离为 2,小圆的半径,通过勾股定理求出 球的半径,即可求出球的体积. 【解答】解:用一平面去截球所得截面的面积为 π,所以小圆的半径为 1. 已知球心到该截面的距离为 2,所以球的半径为 r= ,

所以球的体积为:



故选 B. 【点评】本题考查球的小圆的半径、球心到该截面的距离、球的半径之间的关系,考查计算 能力,是基础题.

5.已知函数 f(x)的定义域为[0,2],则

的定义域为(



A.{x|0<x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据复合函数定义域之间的关系,即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)的定义域为[0,2],

∴要使函数

有意义,则







解得 0<x≤1, 即函数的定义域为{x|0<x≤1}, 故选:C 【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解, 根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的 关键. 6.函数 f(x)=log3x﹣8+2x 的零点一定位于区间( A. (5,6) B. (3,4) C. (2,3) D. (1,2) 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题. )

【分析】根据函数零点存在定理,若 f(x)=log3x﹣8+2x 若在区间(a,b)上存在零点, 则 f(a)?f(b)<0,我们根据函数零点存在定理,对四个答案中的区间进行判断,即可得 到答案. 【解答】解:当 x=3 时,f(3)=log33﹣8+2×3=﹣1<0 当 x=4 时,f(4)=log34﹣8+2×4=log34>0 即 f(3)?f(4)<0 又∵函数 f(x)=log3x﹣8+2x 为连续函数 故函数 f(x)=log3x﹣8+2x 的零点一定位于区间(3,4) 故选 B 【点评】本题考查的知识点是零点存在定理,我们求函数的零点通常有如下几种方法:① 解方程; ②利用零点存在定理; ③利用函数的图象, 其中当函数的解析式已知时 (如本题) , 我们常采用零点存在定理. 7.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥,求出各个面的 面积,相加可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥, 半圆锥的底面半径为 2,半圆锥的高为 3, 故半圆锥的母线长 l= 故半圆锥的底面面积为: 半圆锥的曲侧面面积为: 半圆锥的平侧面面积为: 故半圆锥的表面积为: =6, , = , =2π, = ,

故选:B 【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体 的形状是解答的关键.

8.函数 f(x)=

的图象如图所示,则下列结论成立的是(



A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】分别根据函数的定义域,函数零点以及 f(0)的取值进行判断即可. 【解答】解:函数在 P 处无意义,由图象看 P 在 y 轴右边,所以﹣c>0,得 c<0,

f(0)=

,∴b>0,

由 f(x)=0 得 ax+b=0,即 x=﹣ , 即函数的零点 x=﹣ >0, ∴a<0, 综上 a<0,b>0,c<0, 故选:C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数图象的信息,结合定义域,零点以 及 f(0)的符号是解决本题的关键. 9.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 ①BM 与 ED 成 45°角 ②NF 与 BM 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60°角 ④DM 与 BN 是异面直线 以上四个结论中,正确结论的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【考点】棱柱的结构特征;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 把正方体的平面展开图还原成如图的正方体 ABCD﹣EFMN, 由正方体的结构特征, 能求出结果. 【解答】解:把正方体的平面展开图还原成如图的正方体 ABCD﹣EFMN, 由正方体的结构特征,得: ①BM 与 ED 成 90°角,故①错误; ②由异面直线判定定理得 NF 与 BM 是异面直线,故②正确; ③∵CN∥BE,∴∠EBM 是 CN、BM 所成角, ∵BE=BM=EM,∴△BEM 是等边三角形, ∴∠EBM=60°,∴CN 与 BM 成 60°角,故③正确; ④由异面直线判定定理得 DM 与 BN 是异面直线,故④正确. 故选:C.

【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 10.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 ﹣1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53) ,b=f (log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 【考点】函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据 f(x)为偶函数便可求出 m=0,从而 f(x)=2 ﹣1,这样便知道 f(x)在[0, +∞) 上单调递增, 根据 ( f x) 为偶函数, 便可将自变量的值变到区间[0, +∞) 上: a=f (|log0.53|) , b=f(log25) ,c=f(0) ,然后再比较自变量的值,根据 f(x)在[0,+∞)上的单调性即可比 较出 a,b,c 的大小. 【解答】解:∵f(x)为偶函数; ∴f(﹣x)=f(x) ; ∴2 ﹣1=2 ﹣1; ∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|; 2 2 (﹣x﹣m) =(x﹣m) ; ∴mx=0; ∴m=0; |x| ∴f(x)=2 ﹣1; ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且 a=f(|log0.53|)=f(log23) ,b=f(log25) ,c=f(0) ; ∵0<log23<log25;
|﹣x﹣m| |x﹣m| |x| |x﹣m|

∴c<a<b. 故选:C. 【点评】考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将 自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.对数的换底公式的应用, 对数函数的单调性,函数单调性定义的运用. 11.已知偶函数 y=f(x)在区间[﹣1,0]上单调递增,且满足 f(1﹣x)+f(1+x)=0,下列 判断: ①f(5)=0; ②f(x)在[1,2]上是减函数; ③f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ④f(x)在 x=0 处取得最大值; ⑤f(x)没有最小值. 其中判断正确的序号是( ) A.②③④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①②④ 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】先根据偶函数 y=f(x) (x∈R)在区间[﹣1,0]上单调递增,以及 y=f(x)关于点 (1,0)对称,画出示意图,然后根据示意图进行逐一进行判定,从而得到结论. 【解答】解:∵f(1﹣x)+f(1+x)=0 ∴y=f(x)关于点(1,0)对称 画出满足条件的图形 结合图形可知(1) (2) (4)正确 故选:D.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性、对称性等有关的基础题知识,同时考查了 画图,识图的能力,属于基础题.

12.已知符号函数 sgnx= (a>1) ,则( )

,f(x)是 R 上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)

A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] (x)]=﹣sgn[f(x)] 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用特殊法,设出函数 f(x) ,以及 a 的值,判断选项即可.

D. sgn[g

【解答】解:由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数 sgnx= 是 R 上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax) (a>1) , 不妨令 f(x)=x,a=2, 则 g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x, sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以 A 不正确,B 正确, sgn[f(x)]=sgnx,C 不正确;D 正确; 对于 D,令 f(x)=x+1,a=2, 则 g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,

,f(x)

sgn[f(x)]=sgn(x+1)=



sgn[g(x)]=sgn(﹣x)=



﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=

;所以 D 不正确;

故选:B. 【点评】本题考查函数表达式的比较,选取特殊值法是解决本题的关键,注意解题方法的积 累,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上. 13. 已知长方体的全面积为 11, 所有棱长之和为 24, 则这个长方体的体对角线的长为 5 . 【考点】棱柱的结构特征. 【专题】计算题. 【分析】设出长方体的长、宽、高,表示出长方体的全面积为 11,十二条棱长度之和为 24, 然后可得对角线的长度. 【解答】解:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,由题意可知,

由①的平方减去②可得 a +b +c =25, 这个长方体的一条对角线长为:5, 故答案为:5.

2

2

2

【点评】本题考查长方体的结构特征,面积和棱长的关系,考查计算能力及方程思想,是基 础题.

14.已知函数 f(x)=alnx+blgx+2,且 ,则 f(2009)的值为 0 . 【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】计算题;函数思想;解题方法;函数的性质及应用. 【分析】直接利用函数的奇偶性的性质化简求解即可. 【解答】解:函数 y=alnx+blgx 是奇函数, 所以函数 f(x)=alnx+blgx+2,且 可得 aln + +2=4, ,

f(2009)=﹣(aln + )+2=﹣2+2=0. 故答案为:0. 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用,考查计算能力.

15.若函数 f(x)= 范围是 (1,2] . 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数的性质及应用.

(a>0 且 a≠1)的值域是[4,+∞) ,则实数 a 的取值

【分析】 当 x≤2 时, 满足 f (x) ≥4. 当 x>2 时, 由f (x) =3+logax≥4, 即 logax≥1, 故有 loga2≥1, 由此求得 a 的范围.

【解答】解:由于函数 f(x)= 故当 x≤2 时,满足 f(x)≥4.

(a>0 且 a≠1)的值域是[4,+∞) ,

当 x>2 时,由 f(x)=3+logax≥4,∴logax≥1,∴loga2≥1, ∴1<a≤2, 故答案为: (1,2]. 【点评】本题主要考查分段函数的应用,对数函数的单调性和特殊点,属于基础题.

16. 已知 ( f x) 是定义在 R 上的偶函数, 且当 x≥0 时, ( f x) =

, 若对任意实数



都有 f(t+a)﹣f(t﹣1)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣3)∪(0,+∞) . 【考点】函数恒成立问题. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由分离常数法化简解析式,并判断出函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,由偶函 数的性质将不等式化为:f(|t+a|)>f(|t﹣1|) ,利用单调性得|t+a|>|t﹣1|,化简后转化为:

对任意实数 t∈[ ,2],都有(2a+2)t+a ﹣1>0 恒成立,根据关于 t 的一次函数列出 a 的不 等式进行求解.

2

【解答】解:∵当 x>0 时,f(x)=

=1﹣



∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, 由 f(t+a)﹣f(t﹣1)>0 得,f(t+a)>f(t﹣1) , 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(|t+a|)>f(|t﹣1|) ,则|t+a|>|t﹣1|, 2 两边平方得, (2a+2)t+a ﹣1>0, ∵对任意实数 t∈[ ,2],都有 f(t+a)﹣f(t﹣1)>0 恒成立, ∴对任意实数 t∈[ ,2],都有(2a+2)t+a ﹣1>0 恒成立,
2



,化简得



解得,a>0 或 a<﹣3, 则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3)∪(0,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪(0,+∞) . 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,以及恒成立的转化问题,二次不等式 的解法,属于中档题 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分) (2012?信阳一模)记函数 f(x)=

的定义域为 A,g(x)=lg[(x﹣a

﹣1) (2a﹣x)](a<1)的定义域为 B. (1)求 A; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数的定义域及其求法;集合的包含关系判断及应用;对数函数的定义域. 【专题】综合题. 【分析】 (1)令被开方数大于等于零,列出不等式进行求解,最后需要用集合或区间的形式 表示出来; (2)先根据真数大于零,求出函数 g(x)的定义域,再由 B?A 和 a<1 求出 a 的范围.

【解答】解: (1)由 2﹣

≥0,得

≥0,

解得,x<﹣1 或 x≥1,即 A=(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞) , (2)由(x﹣a﹣1) (2a﹣x)>0,得(x﹣a﹣1) (x﹣2a)<0, ∵a<1,∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1) ,

∵B?A,∴2a≥1 或 a+1≤﹣1,即 a≥ 或 a≤﹣2, ∵a<1,∴ ≤a<1 或 a≤﹣2, 故当 B?A 时,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[ ,1) . 【点评】 本题是有关集合和函数的综合题, 涉及了集合子集的运算, 函数定义域求法的法则, 如:被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等. 18. (12 分) (2015 秋?信阳月考)已知函数 f(x)=lg(1﹣x)+lg(1+x)+x ﹣2x . (Ⅰ)判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ) 设 1﹣x =t,把 f(x)表示为关于 t 的函数 g(t)并求其值域. 【考点】对数函数的图像与性质;函数的值域. 【专题】函数思想;换元法;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)先确定函数的定义域,再根据奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性; (2)先化简函数式,判断函数的单调性,并运用单调性确定函数的值域.
2 4 2

【解答】解: (1)根据题意,由 所以,函数 f(x)的定义域为(﹣1,1) .

,解得,﹣1<x<1,
4 2

由 f(﹣x)=lg(1+x)+lg(1﹣x)+(﹣x) ﹣2(﹣x) 4 2 =lg(1﹣x)+lg(1+x)+x ﹣2x =f(x) , 所以,函数 f(x)是偶函数. 4 2 2 4 2 (2)f(x)=lg(1﹣x)+lg(1+x)+x ﹣2x =lg(1﹣x )+x ﹣2x , 2 设 t=1﹣x ,由 x∈(﹣1,1) ,得 t∈(0,1]. 2 则 g(t)=lgt+(t ﹣1) ,其中 t∈(0,1], 2 ∵y=lgt 与 y=t ﹣1 在 t∈(0,1]均是增函数, 2 ∴函数 g(t)=lgt+(t ﹣1)在 t∈(0,1]上为增函数, 所以,函数 f(x)的值域为(﹣∞,0]. 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断和证明,对数函数的图象与性质,以及运用函数 的单调性求函数的值域,属于中档题. 19. (12 分) (2013 秋?宜昌期末)现有 A,B 两个投资项目,投资两项目所获得利润分别是 P 和 Q(万元) ,它们与投入资金 x(万元)的关系依次是:其中 P 与 x 平方根成正比,且 当 x 为 4(万元)时 P 为 1(万元) ,又 Q 与 x 成正比,当 x 为 4(万元)时 Q 也是 1(万元) ; 某人甲有 3 万元资金投资. (Ⅰ)分别求出 P,Q 与 x 的函数关系式; (Ⅱ)请帮甲设计一个合理的投资方案,使其获利最大,并求出最大利润是多少? 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (I)设 P,Q 与 x 的比例系数分别是 k1,k2,则 ,Q=k2x,根据当 x 为 4

(万元)时,P、Q 为 1(万元) ,可求出 P,Q 与 x 的函数关系式;

(Ⅱ)甲投资到 A,B 两项目的资金分别为 x(万元) , (3﹣x) (万元) (0≤x≤3) ,获得利润 为 y 万元,根据(I)可得利润函数,利用配方法可求最大利润. 【解答】解: (I)设 P,Q 与 x 的比例系数分别是 k1,k2,则 1)…(1 分) ,Q=k2x 且都过(4,

所以:

…(2 分) ,

…(2 分)

(Ⅱ)设甲投资到 A,B 两项目的资金分别为 x(万元) , (3﹣x) (万元) (0≤x≤3) ,获得利 润为 y 万元…(1 分)

由题意知: 所以当

=

…(1 分)

=1,即 x=1 时,ymax=1…(2 分)

答:甲在 A,B 两项上分别投入为 1 万元和 2 万元,此时利润最大,最大利润为 1 万元..(1 分) 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,正确确定函 数解析式是关键. 20. (12 分) (2015 秋?成都期中)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y= x+a 没有交点,求 a 的取值范围; f(x)+{\;}^{\frac{1}{2}}x x (3)若函数 h(x)=4 +m?2 ﹣1,x∈[0,log23],是否存在实数 m 使得 h (x)最小值为 0,若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由. 【考点】函数奇偶性的性质;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】函数的性质及应用. x 【分析】 (1)若函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数,则 f(﹣x)=f(x) ,可得 k 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y= x+a 没有交点,方程 log4(4 +1)﹣x=a 无解,则
x x

函数 g(x)=
x x

的图象与直线 y=a 无交点,则 a 不属于函数 g(x)值域;
x 2

(3)函数 h(x)=4 +m?2 ,x∈[0,log23],令 t=2 ∈[1,3],则 y=t +mt,t∈[1,3],结合二 次函数的图象和性质,分类讨论,可得 m 的值. x 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 即 log4(4 +1)﹣kx=log4(4 +1)+kx 恒成立.
﹣x

x

∴2kx=log4(4 +1)﹣log4(4 +1)=

﹣x

x

=

=﹣x,

∴k=﹣

…(3 分)

(2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y= x+a 没有交点, 则方程 log4(4 +1)﹣ x= x+a 即方程 log4(4 +1)﹣x=a 无解.
x x

令 g(x)=log4(4 +1)﹣x= y=a 无交点.…(4 分)

x

=

,则函数 g(x)的图象与直线

∵g(x)在 R 上是单调减函数. ∴g(x)>0. ∴a≤0 …(7 分)



(3)由题意函数 h(x)=4 +m?2 ﹣1=4 +m?2 ,x∈[0,log23], x 2 令 t=2 ∈[1,3],则 y=t +mt,t∈[1,3],…(8 分) ∵函数 y=t +mt 的图象开口向上,对称轴为直线 t=﹣ , 故当﹣ ≤1,即 m≥﹣2 时,当 t=1 时,函数取最小值 m+1=0,解得:m=﹣1,
2

f(x)+{\;}^{\frac{1}{2}}x

x

x

x

当 1<﹣ <3,即﹣6<m<﹣2 时,当 t=﹣ 时,函数取最小值 去) ,

=0,解得:m=0(舍

当﹣ ≥3,即 m≤﹣6 时,当 t=3 时,函数取最小值 9+3m=0,解得:m=﹣3(舍去) , 综上所述,存在 m=﹣1 满足条件.…(12 分) 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的值域,函数的单调性,二次函数的图象 和性质,难度中档. 21. (12 分) (2014 秋?邢台期末) 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x+4) =f (x) , 当 x∈[0, 4]时,f(x)=2 +n,且 f(2)=6. (1)求 m,n 的值; x (2)当 x∈[0,4]时,关于 x 的方程 f(x)﹣a?2 =0 有解,求 a 的取值范围. 【考点】函数的周期性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据函数的周期性以及 f(2)=6.建立方程即可求 m,n 的值; x (2)当 x∈[0,4]时,根据指数函数的性质解关于 x 的方程 f(x)﹣a?2 =0 即可求 a 的取值 范围. 【解答】解: (1)由已知 f(0)=f(4) , 可得 2 +n=2 ∴|m|=|4﹣m|, ∴m=2
|m| |4﹣m |x﹣m|

|+n,

又由 f(2)=6 可知 2 ∴n=5
|x﹣2

|2﹣2

|+n=6,
x

(2)方程即为 2 |+5=a×2 在[0,4]有解. 2﹣x x 当 x∈[0,2]时,2 +5=a?2 ,

则 a= 令 则 a=4t +5t 在
2



单增,

∴a∈[ ], x﹣2 x 当 x∈(2,4]时,2 +5=a?2 ,

则 a= 令 则 a= ∴a





综上:a∈[ ,9]. 【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质,利用条件求出 m,n 是解决本题的关键,本 题综合性较强,运算量较大. 22. (12 分) (2015 秋?信阳月考)设 f(x)=x +bx+c(b、c∈R) . (Ⅰ)若 f(x)在[﹣2,2]上单调,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 f(x)≥|x|对一切 x∈R 恒成立,求证:b +1≤4c;
2 2

(Ⅲ)若对一切满足|x|≥2 的实数 x,都有 f(x)≥0,且

的最大值为 1,求证:

b、c 满足的条件是 3b+c+8=0 且﹣5≤b≤﹣4. 【考点】二次函数的性质. 【专题】证明题;分类讨论;转化思想;分类法;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)若 f(x)在[﹣2,2]上单调,则﹣ ≤﹣2,或﹣ ≥2,解得 b 的取值范围; 2 2 (Ⅱ)若 f(x)≥|x|对一切 x∈R 恒成立,x +bx+c≥x 与 x +bx+c≥﹣x 同时成立,即

,进而可得结论;

(Ⅲ)若对一切满足|x|≥2 的实数 x,都有 f(x)≥0,且

的最大值为 1,分 f

(x)=0 有实根和 f(x)=0 无实根两种情况,求出 b、c 满足的条件,综合讨论结果,可得 答案. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)=x +bx+c 的图象是开口朝上,且以直线 x=﹣ 为对称轴的抛 物线, 若 f(x)在[﹣2,2]上单调, 则﹣ ≤﹣2,或﹣ ≥2, 解得 b≤﹣4 或 b≥4; 证明: (Ⅱ)若 f(x)≥|x|对一切 x∈R 恒成立, 2 2 须 x +bx+c≥x 与 x +bx+c≥﹣x 同时成立,
2


2



∴b +1≤4c; (Ⅲ)①当 f(x)=0 有实根时,f(x)=0 的实根在区间[﹣2,2]内,

所以

,即







∴ ∴c=﹣3b﹣8.

的最大值为 f(3)=1,即 9+3b+c=1,



,即



解得 b=﹣4,c=4. 2 ②当 f(x)=0 无实根时,△ =b ﹣4c<0, 2 由二次函数性质知,f(x)=x +bx+c 在(2,3]上的最大值只能在区间的端点处取得,

所以,当 f(2)>f(3)时,

无最大值.

于是,

存在最大值的等价条件是 f(2)≤f(3) ,即 4+2b+c≤9+3b+c,

∴b≥﹣5.



的最大值为 f(3)=1,即 9+3b+c=1,

从而 c=﹣3b﹣8. 2 2 由△ =b ﹣4c<0,得 b +12b+32<0,即﹣8<b<﹣4. 所以 b、c 满足的条件为 3b+c+8=0 且﹣5≤b<﹣4. 综上:3b+c+8=0 且﹣5≤b≤﹣4. 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是 解答的关键.

2016 年 1 月 14 日


推荐相关:

河南省信阳高中2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷(文科) Word版含解析

河南省信阳高中2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河南省信阳高中高二 (上) 12 月月考数学...


2015-2016学年河南省信阳高中高二(上)12月月考数学试卷(文科)(解析版)

(共 15 页) 2015-2016 学年河南省信阳高中高二(上)12 月月考数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分...


河南省信阳市2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

河南省信阳市2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河南省信阳市高一(上)期中数学试卷一、选择题(共 12 ...


河南省信阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

河南省信阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河南省信阳市高二(上)期中数学试卷(理科) 一、...


河南省信阳市高级中学2015-2016学年高二上学期第二次月考物理试卷 Word版含解析

河南省信阳市高级中学2015-2016学年高二上学期第二次月考物理试卷 Word版含解析_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河南省信阳市高级中学高二(上)第二次月考物理...


2015-2016学年河南省信阳高中高一12月月考数学试题(解析版)

2015-2016学年河南省信阳高中高一12月月考数学试题(解析版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016学年河南省信阳高中高一12月月考数学试题(解析版) ...


河南省信阳高中2015-2016学年高一上学期12月月考数学试卷

2015-2016 学年河南省信阳高中高一 (上) 12 月月考数学 试卷参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的...


河南省信阳高级中学2015-2016学年高二12月月考语文试题 Word版含答案

河南省信阳高级中学2015-2016学年高二12月月考语文试题 Word版含答案_语文_高中教育_教育专区。信阳高中高二 12 月月考语文试题命题人:孙欣 审题人:余祖海 第Ⅰ...


河南省信阳高级中学2015-2016学年高一12月月考数学试卷

河南省信阳高级中学2015-2016学年高一12月月考数学试卷_高中教育_教育专区。2018 届高一第三次大考数学试题注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com