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广东省云浮市新兴一中2013届高三上学期第五次月考数学理试题


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新兴一中 2013 届高三第五次月考数学理试题

命题:

校对:

审核:

2012.12.20

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目

要求) 1. i 为虚数单位,复数 A. 2 ? i

3?i = 1? i B. 2 ? i

C. i ? 2

D. ? i ? 2 )

2. 已知全集 U ? {0,1,2,3,4} ,集合 A ? {1,2,3} , B ? {2,4} ,则 (CU A) ? B 为( A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

3. 已知 p: m ? 1 , A.充分不必要条件 C.必要不充分条件
2

q: ?x ? R, x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 ,则 p 是 q 的( ) B.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,则 a =( 4. 若抛物线 y ? 2ax 的准线经过双曲线 3
A. 4 B. ?4 C. 2 D. ?2

5.在正项等比数列 ?an ? 中, a 2 a 4 ? 4 , S3 ? 14 ,数列 ?b n ? 满足 bn ? log2 an , 则数列 ?bn ? 的前 6 项和是( )A.0 B.2 C.3 D. 5

6. 如图,在 A、B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,而可能导致电路不通,如今发现 A、B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 A.10 B.12 C.13 D.15

7. 设 f ?x ? ? 2 ? 2
x

?x

. 若当 ? ? ?? ,0 ? 时, f ? m ? ? ? f (m ? 3) ? 0 恒成立, cos? ? 1 ? ? 2 ? ?
2

? ?

?

?

1

?

则实数 m 的取值范围是 A. ?? ?,?2? B. ?? ?,?2? ? [1,??) C. ?? 2,1? D. ?? ?,?2? ? ?1,???

8.已知集合 A ? {(a, c) | 0 ? a ? 2,0 ? c ? 2, a, c ? R} ,则任取(a,c)∈A,关于 x 的 方程 ax ? 2 x ? c ? 0 有实根的概率( )
2

A.

1 ? ln 2 2

B.

1 ? 2 ln 2 4

C.

1 ? ln 2 2

D.

3 ? 2 ln 2 4

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第Ⅱ卷(非选择题
? ?
? ?

共 110 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,考生答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. 已知向量 a ? (2,1), b ? ( x,?2) ,若 a // b ,则 a ? b = 10. 已知程序框图如右,则输出的 i = .
? ?

.

12. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3 f '(2) x ,令 n ? f '(2) ,则二项式 ( x ? 数项是第 项.
2

2 x

) n 展开式中常

13. 设非空集合 S ? {x | m ? x ? l} 满足:当 x ? S 时,有 x ? S 。则下列三个命题中: ①若 m ? 1 ,则 S ? {1} ;②若 m ? ? 正确命题是 14. (极坐标与参数方程选做题)若直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ?

1 1 1 2 ,则 ? l ? 1 ;③若 l ? ,则 ? ? m ? 0。 2 4 2 2

?
4

) ? 3 2 ,圆 C :

? x ? cos ? ( ? 为参数)上的点到直线 l 的距离为 d ,则 d 的最大值为 ? ? y ? sin ?
15.(几何证明选做题)如图圆 O 的直径 AB ? 6 ,P 是 AB 的延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C,
0 连接 AC,若 ?CPA ? 30 ,则 PC ?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分。 )
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16.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若已知 cos( ? ? ? ) ?

x x x 1 cos ? cos 2 ? , x ? R 2 2 2 2

4 4 ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) ,求 f ( ? ? ) 的值. 5 5 2 4

17. (本题满分 13 分)本着低碳、自由的生活理念,骑行的人越来越多。某市公益自行车

租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。有甲、乙两人独立来该租车点租车骑行(各租一车 一次) 。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 概率分别为

1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的 4 2

1 1 , ;且两人租车时间都不会超过四小时。 2 4

(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? ;

18. (本题满分 13 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,CE ∥AB,BC//AD。 (Ⅰ)求证:CE⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB=1,AD=3,且 CD 与平面 PAD 所成的角为 45°,求二面角 B—PE—A 的正 切值。

19. (本题满分 14 分) 已知数列 {an } 是递增的等差数列,且满足 a3 ? a5 ? 16, a2 ? a6 ? 10.

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(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ( a n ? 7) ?

2n ,求数列 ? n ?的前 n 项和 Tn . b 3

(Ⅲ) 令 c n ? (

Tn ? 2 2 1 1 1 4 n ) ? 3(n ? 2) c1 ? 1,求证 ? ? .......... ? ,且 .. ? 2n ? 2 c1 c2 cn 3

20. (本题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个 2 3 a b

端点到右焦点的距离为 3 ,直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于不同的两点 A , B (Ⅰ)求椭圆的方程. (Ⅱ)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值 2

21. (本题满分 14 分)已知数列 (1)求

?an ?的通项公式;
4 ? 4023 an

?an ?满足

an?1 ?

2an 1 a 2011 ? ? an ? 2 ( n ? N ) , 2011 .

bn ?

cn ?

(2)若

,且

2 2 bn ?1 ? bn ( n ? N* ) 2bn ?1bn

,求证: c1 ? c2 ? ? ? cn ? n ? 1

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新兴一中 2013 届高三阶段检测试题(五)答案(理数)
一、选择题:BCABC CDB 二、9、 (-2,-1) ;10、9;11、 9 3 ;12、5;13、①②③ 14、 3 2 ? 1 15、 3 3 三、解答题:

17(1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为

P? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? P2 ? ? ? 4 2 8 ,付 2 元为 2 4 8,

付 4 元为

P3 ?

1 1 1 5 ? ? P ? P ? P2 ? P3 ? 1 4 4 16 ,则所付费用相同的概率为 16 ………4 分
………………5 分

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4, 6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 分布列为 8 1 1 1 1 5 ? 0 2 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 5 1 1 1 1 1 1 5 P ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 8 16 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 ……10 分 5 5 9 1 ∴ E? ? ? ? ? 1 1 1 8 4 8 2 ? 8) ? ? ? 4 4 16

4

6
3 16

8
1 16

5 16

?

7 2

………13 分

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18.

…………………(5 分)

………………….(7 分)

…………….(10 分)

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…………….(11 分)

…………(13 分)

19.解: (1)根据题意: a2 ? a6 ? 10 ? a3 ? a5 ,又 a3 ? a5 ? 16 , 所以 a3 , a5 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,且 a3 ? a5 ,
2

解得 a5 ? 8, a3 ? 2 ,所以 d ? 3 , an ? 3n ? 7 . ……………………5 分

2n ? n ? 2 n ,则 (2) bn ? ( a n ? 7) ? 3

Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n

① ②…………7 分

2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
①一②,得 ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 3 n ?1

? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ,……9 分 1? 2

所以 Tn ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 . ……………………………10 分 (

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?c 6 ? ? 3 ?a ?a? 3 20.答案 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? ,解得 c ? 2 .
由a
2

? b2? c2 得b=1. ,
m 1? k 2 ?

x2 ? y 2 ? 1. ? 所求椭圆方程为 3

…………4 分

由已知

(Ⅱ)

3 3 , m 2 ? (k 2 ? 1) 2 可得 4 . …………………6 分

将y ? kx ? m 代入椭圆方程 , 整理得(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 .

? ? ? 6km ? ? 4 ?1 ? 3k
2

2

??3m

2

? 3? ? 0 (?)

? x1 ? x2 ?

?6km 3m2 ? 3 , x1 ? x2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

.

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2 ? (1 ? k 2 )[
2

36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ] (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 k 2) ( 9 1 ? 2 1) 1)

?

2 1 2 k 2 ? 1 ) k 23 ? 1 2 ( (? m ) k? ( 3 ? 2 2 ( 3 ? 1) k k 3? ( 2

? 3?

12k 2 12 12 ? 3? ? 3? ? 4 (k ? 0) 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k

…12 分

当且仅当9k 2 ?

1 3 3 即k ? ? 时等号成立 经检验,k ? ? 满足(*)式 2 k , 3 3 ., .
综上可知 AB m a x? 2


当k ? 0时, ? 3 . AB

1 3 3 ?当 AB 最大时,?AOB的面积取最大值S ? ? 2 ? ? 2 2 2 . ………14 分
21【解】 (1)由已知,得 1 1 1 1 1 1 ? ? (n ? N * ) , ,即 ? ? an ?1 an 2 a n ?1 2 a n
?1? 1 1 ? 数列 ? ? 是以 为首项, 为公差的等差数列. a1 2 ? an ? 2a1 1 1 1 (n ? 1)a1 ? 2 ? ? (n ? 1) ? ? ,? an ? …………4 分 (n ? 1)a1 ? 2 an a1 2 2a1

又因为 a2011 ? 解得 a1 ?

2a1 1 ? , 2010a1 ? 2 2011

1 , 1006
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