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黑龙江省哈尔滨市第六中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


哈尔滨市第六中学 2015-2016 学年度下学期期中考试 高二数学试题(文史类)
满分:150 分 时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知 i 是虚数单位,复数 A.

i 的虚部是( 1? i
C. ? 2i


<

br />1 2

B. ? 1 2

1 D. i 2


2. 点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) ,则点 P 的极坐标为( A . (2,

?
3

)

B . ( 2,

2? ) 3

C. (2,

4? ) 3

D. (2,

5? ) 3

3. 欲将曲线

x2 y 2 ? ? 1 变换成曲线 x?2 ? y?2 ? 1 ,需经过的伸缩变换 ? 为( 4 3
? ? 1 x ? x 2 B. ? ? ? ? y? ? 3 y ? 3 ?



? ? x? ? 2 x A .? ? ? y? ? 3 y
4.设曲线 y ? A. 2

? x? ? 4 x C. ? ? y? ? 3 y

? ? 1 x ? x ? 4 D. ? ? ? y? ? 1 y ? 3 ?

? 2 ? cos x 在点 ( ,2) 处的切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于( 2 sin x
B.



?2


C. 1

D.

?1

5. 给出下列结论, 其中正确的是 (

x2 y2 b A. 渐近线方程为 y ? ? x?a ? 0, b ? 0 ? 的双曲线的标准方程一定是 2 ? 2 ? 1 a a b
B.抛物线 y ? ?

1 2 1 x 的准线方程是 x ? 2 2

C.椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1?m ? 0, n ? 0? 的焦点坐标 是 F1 ? m2 ? n 2 ,0 , F2 2 m n x2 y2 ? ? 1 的离心率是 2 , 则它的渐近线为 y ? ? x a2 b2

?

? ?m

2

? n 2 ,0

?

D.双曲 线

6.执行右图程序框图,如果输入的 A.4 C.6 7. 若函数 h( x) ? 2 x ? B.5 D.7

x , t 均为 2,则输出的 S ? ( )

k 在 (1,??) 上是增函数,则实数 k 的取值 x
1

范围是( A. ?? 2,??? C.

) B. ?2,??? D.

?? ?,?2?

?? ?,2?


8. 设函数 f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如右图所示, 则函数 y ? f ?( x) 的图象可能是(

y

y

y

y

f ( x) y

o

x

x

o

x

o

x

o

x

o
A. B. ) D.0 ) C. D.

3 2 9. 方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是(

A.3

B.2

C.1

10. 如果圆 ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 上有且仅有两个点到原点的距离为 2,那么实数 a 的取值范围为( A. (?2 2,0) B. (0, 2 2) C. (?2 2,0) ? (0, 2 2) D. (?2 2, ?1) ? (1, 2 2)

11. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为( A. 8 ? 8 2 ? 4 6 C. 2 ? 2 2 ? 6 B. 8 ? 8 2 ? 2 6

)

D.

1 2

?

2 2

?

6 4

12. 已知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,若对于任意实数 x ,都有 f ( x) ? f ?( x) ,且 y ? f (x ) ?1 为 奇函数,则不等式 f ( x) ? e 的解集为 (
x

) C. (??, e )
4

A. ( ??, 0)

B. (0, ??)

D. (e , ??)
4

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. 如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥DB,垂足为 F,若 1,则 DF·DB=________. 14. 在平面几何中,若正三角形的内切圆面积为 S1 ,外接圆面积为 S 2 ,

AB=6, AE=

S1 1 ? ,类比上述命题,在空间中,若正四面体的内切球体积 V1 , S2 4 V 外接球体积为 V2 ,则 1 ? ___ __. V2 1 3 2 15. 若函数 f ( x) ? x ? x 在 (a,10 ? a ) 上有最小值,则 a 的取值范围为 3




2

? e x ? x ? 1, x ? 0 ? 16. 已知函数 f ( x) = ? 1 3 ? x ? 2 x, x ? 0 ? ? 3
① f ( x) 在 ( 2, ??) 上是减函数; ③函数 y ? f ( x) 有两个零点; 其中正确的命题有

给出如下四个命题:

② f ( x) 的最大值是 2; ④ f ( x) ≤

4 2 在 R 上恒成立. 3

.(把正确的命题序号都填上)

三、解答题: (本大题共 70 分,每小题写出必要的解题步骤或文字说明) 17. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ? 坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos? ) ? 3 3 ,射线 OM: ? ? 点为 Q ,求线段 PQ 的长.

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极 (? 为参数) ? y ? sin ?

?
3

与圆 C 的交点为 O, P ,与直线 l 的交

C1
18. (本题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 平面 ABC , ?ABC 为等 角形, ?BAC ? 90 且 AB ? AA 1 ? 1, E, F 分别是 CC1 , BC 的中点.
?

B1 A1
腰直角三

E C A B

(1)求证: B1F ? 平面 AEF ; (2)求三棱锥 E ? AB1F 的体积. 19. (本题满分 12 分)选修 4-1:几何证明选讲

F

如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长线于点 D ,过点 D 作 DE ∥ CA 交

BA 的延长线于点 E .
(1)求证: DE ? AE ? BE ;
2

F O . E A

B

(2)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF ? 4 , EA ? 2 , 求线段 AC 的长.

C D 20. (本题满分 12 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 设过点 A(1,0) 的直线 l 交抛物线 y 2 ? 2 x 于 B、C 两点, (1)设直线 l 的倾斜角为 ? ,写出直线 l 的参数方程; (2)设 P 是 BC 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并化为普通方程.

3

21. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ax ? b 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (1)求 a , b 值,并求 f ( x ) 的单调区间; (2)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 .

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 1(a ? R) . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,求所有实数 a 的值;

4

2017 届高二下学期文科数学期中试题答案

ADBDD 13. 5

BAACC AB 14.
1 27

15. [ ?2,1)

16. ①③④ (φ 为参数) .
2 2

17. 解:解: (1)圆 C 的参数方程

消去参数可得: (x﹣1) +y =1. 把 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 代入化简得:ρ =2cosθ , 即为此圆的极坐标方程. (2)因为 P (3, ? ), Q (1, ? ) ,所以 | PQ |?| ? ? ? |? 2 1 2

3

3

? 18.(1)证明: ?ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90 ,且 AB ? AA1 ? 1,

则 AC ? 1 ,又条件知 AF ? 平面 CC BB1 ,

? AF ? B1 F ,经计算得 B1 F ?

6 3 3 , EF ? , B1 E ? 2 2 2

? B1 E 2 ? B1 F 2 ? EF 2 ,即 B1 F ? EF ,又因为 EF ? AF ? F

? B1F ? 平面 AEF ;
(2)由条件知 AF ? 平面 CC BB1 则AF ? EF

? ?AEF 是直角三角形;? AF ?

2 3 , EF ? 2 2

1 3 2 6 ? S ?AEF ? ? ? ? 2 2 2 8 由(1)得 B1F ? 平面 AEF ; 1 6 6 1 ?VE ? AB1F ? VB1 ? AEF ? ? ? ? 3 8 2 8
. 19. (Ⅰ)证明:因为 AD 是⊙ O 的切线,所以 ?DAC ? ?B (弦切角定理) 因为 DE ? CA , 所以 ?DAC ? ?EDA .所以 ?EDA ? ?B . 因为 ?AED ? ?DEB (公共角) ,所以△ AED ∽△ DEB . 所以

F O . E A

B

DE BE

?

AE DE

.即 DE ? AE ?BE .
2

(Ⅱ)解:因为 EF 是⊙ O 的切线, EAB 是⊙ O 的割线, 所以 EF ? EA?EB (切割线定理) .
2

C D
5

因为 EF ? 4 , EA ? 2 ,所以 EB ? 8 , AB ? EB ? EA ? 6 . 由(Ⅰ)知 DE ? AE ?BE ,所以 DE ? 4 .
2

因为 DE ? CA ,所以△ BAC ∽△ BED .所以 20.解: (1)直线的参数方程为 ?

BA BE

?

AC ED

.所以 AC ?

BA ? ED BE

?

6? 4 8

? 3.

? x ? 1 ? t cos ? (t 为参数) ? y ? t sin ?

(2)设 P( x, y ) ,将 ?

? x ? 1 ? t cos ? (t 为参数)代入 y 2 ? 2 x 得 2 2 t sin ? ? 2t cos ? ? 2 ? 0 ? y ? t sin ?

则 P 点对应的参数 为

t1 ? t2 2cos ? ? 2 sin 2 ? 2cos ? 2 cos ? 2 cos 2 ? x ?1? cos ? ? 1 ? ;y? 2 2 sin ? sin ? sin ?

? 2cos 2 ? x ? 1 ? ? ? sin 2 ? (? 所以 P 点轨迹的参数方程为 ? 为参数) ? y ? 2cos ? ? sin ? ?

21. 解: (1) f ?( x) ? e x ? a , 由已知, f ?(0) ? ?1 , f (0) ? ?1 ,故 a ? ?2 , b ? ?2 ,

f ?( x) ? e x ? 2 ,当 x ? (??,ln 2) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (ln 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,
故 f ( x ) 在 (??,ln 2) 单调递减,在 (ln 2, ??) 单调递增; (2)不等式 f ( x) ? x ? 4 ,即
2

x2 ? 2 x ? 2 ? 1, ex

设 g ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 4 ? x2 ? g ( x ) ? , , ex ex

x ? [0, 2) 时, g ?( x) ? 0 , x ? (2, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,
所以 g ( x) 在 [0, 2) 递增,在 (2, ??) 递减, 当 x ? 0 时, g ( x) 有最大值 g ( 2) ?
2

6 ?1, e2

因此当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 .

a a?x ?1 ? ( x ? 0) . x x 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 减区间为 (0,??) , 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? a ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? a , ∴ f ( x) 递增区间为 (0, a) ,递减区间为 (a,??) . (2)由(1)知:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上为减函数,而 f (1) ? 0 , ∴ f ( x) ? 0 在区间 x ? (0,?? ) 上不可能恒成立; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a) 上递增,在 (a,??) 上递减,
22.解: (1) f ?( x) ?
6

f ( x)max ? f (a) ? a ln a ? a ? 1 ,令 g (a) ? a ln a ? a ? 1 ,
依题意有 g ( a ) ? 0 ,而 g ?(a) ? ln a ,且 a ? 0 , ∴ g ( a ) 在 (0,1) 上递减,在 (1,??) 上递增,∴ g ( a ) min ? g (1) ? 0 ,故 a ? 1 .

7


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