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高中数学矩阵、行列式、平面向量题选1


高中数学矩阵、行列式、平面向量题选
题选 1、定义 a ? b 是向量 a 和 b 的“向量积” ,它的长度

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? | a * b |?| a | ? | b | ? sin ? , 其中? 为向量 a 和 b 的夹角,
若 u ? (2,

0), u ? v ? (1, ? 3) ,则 u *(u ? v) =

?

? ?

?

? ?

题选 2、已知 a ? e1 ? e 2 , b ? 4e1 ? 3e2 ,其中 e1 =(1,0),

e 2 =(0,1)。 (1)计算 a · b ,| a + b |的值;
(2)如果存在 n 个不全为零的实数 k1,k2,?,kn, 使 k1 a1 ? k 2 a 2 ? ? ? ? ? k n a n ? o 成立, 则称 n 个向量 a1 , a 2 ,?, a n “线性相关” ,否则为“不线性相关” , 依此定义,三个向量 a1 =(-1,1), a 2 =(2,1), a 3 =(3,2)是否为 “线性相关”的,请说明 为什么? 你的判断根据; (3)平面上任意三个互不共线的向量 a1 , a 2 , a 3 一定是线性相关的吗?

(1) a · b =1,| a + b |= 29

(2) (3)线性相关

? ? ? ? 题选 3、设函数 f ( x) ? a ? b ? c ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x) ,

? ? b ? (sin x, ?3cos x) , c ? (? cos x,sin x) , x ? R 。
? ?

?

?

(Ⅰ) 、求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ) 、将函数 f ( x) 的图像按向量 d 平移,使平移后得 到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的 d 。

? ?

题 4、共点力 f1 ? (lg 2, lg 2), f 2 ? (lg 5, lg 2) 作用在物体上,产生位移 s ? (2 lg 5,1) ,则共 点力对物体所做的功 W 为( D (A) lg 2 (B) lg 5 ) (C) 1 (D) 2

?? ?

?? ?

?

题 5、 将直角坐标系 xoy 的轴 oy 绕原点顺时针旋转至与 x 轴成 60 ,如图所示。新坐标系 称为斜坐标系,设 M 是斜坐标平面上任一点,通过 M 分别作 y 轴 x 的平行线,分别和 x 轴

?

y 轴相交于点 P 点 Q ,设点 P 对于 x 轴来说的坐标为实数 x ,点 Q 对于 y 轴的坐标为实数 y ,则有序数对 ? x, y ? 叫作点 M 对于斜坐标系 xoy 的斜坐标,并记为 ? x, y ? ,已知点 A 的
斜角坐标为 ? 2,5 ? ,点 B 为 ? 4, ?2 ? 。 (1)求点 A 到原点的距离, (2)求 A, B 两点的距离, (3)若动点 C 在直线 AB 上移动,求点 C 到点 O 的距离的最小值。

作 业
1、已知 a ? (3, ?1) ,则 a 的单位向量的坐标为____________; 2、 在 ?ABC 中,若 AB ? 2, BC ? 3, ?ABC ? 60? , 则 AB ? BC =_________;

?

?

??? ??? ? ?

3、若二元一次方程组 ?

?5 x ? ay ? 10 ? 5 a 10 ? ( a ? R )的增广矩阵 A ? ? ? 2 5 8 ? 可以变换为 ? ?2 x ? 5 y ? 8 ? ?

34 ? ? ?1 0 ? 21 ? ,则实数 a 的值为 ? ? 0 1 20 ? ? ? 21 ? ?



4、 A ?1,3? , B ? 3,1? , C ? ?1, 0 ? ,则 ?ABC 的面积为



5、若 2a ? 3b ? 2i ? 3 j , a ? 2b ? i ? 2 j ,则 a 与 b 的夹角为______________; 6、已知 F1 ? i ? 2 j , F2 ? 2i ? 3 j , F3 ? ?i ? j ,若 F1 , F2 , F3 共同作用于同一物体上,使物体 从点 A(1, ?2) 移到点 B(2, ?1) ,则合力所做的功为 ;

?

?

?

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?

?

?

?? ? ?

? ?? ?

?

? ?? ?

? ?

1 7、 已经直线 l 的斜率为 k , k ? [?, 3] 且
8、若直线 l 的倾斜角 ? ? [

, 那么倾斜角 ? 的范围是____________________;

? 5?

, ] ,则 l 的斜率 k 的取值范围是________________; 3 6
. ( )

9、过点 (?1,5) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 10、已知 a ? (3,3), b ? (2,0) ,则向量 a 在 b 的方向上的投影为
? ?
? ?

(A)

2
? ?

(B) 3

(C ) ? 3, 0 ?

(D) ?1, 1?

11、已知 | p |?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 2,| q |? 3 , p、 的夹角为 arccos q ,求以 a ? p ? q, b ? p ? q 为邻边 6

的平行四边形的面积。

12、对于矩阵 A ,如果存在一个矩阵 A ,使得 AA
?1

?1

?1

( , ? A?1 A ? E , E 为单位矩阵)

则称矩阵 A 是“可逆”的,把矩阵 A 叫做 A 的“逆矩阵” 。

? 1 ? 2 ?1 ?1? (1)已知 A ? ? ,B?? ? ?1 1 ? ?? 1 ? ? 2
(2)若 A ? ?

1? 2? ? , 求证: B 为 A 的逆矩阵; 1? ? 2?

? 2 1? ? , 求 A 的逆矩阵。 ? ?1 0 ?

13、已知 a ? b ? ( 4,?3) , a ? 2b ? (1,3) (1)求 a 和 b 的夹角; (2)对两个向量 p , q ,如果存在不全为零的常数 m, n ,使 m p ? nq ? 0 ,则称 p 与

q 是线性相关的,否则称向量是线性无关的。求证: a 与 b 线性无关.

14、已知 A(? ) ? ?

? cos ? ? sin ?

? sin ? ? ? x1 ? ?,X ??x ? cos ? ? ? 2?

(1) 若 ? ? 变换?

?
4

, x1 ? 1, x2 ? 3 ,求 A(? ) X ,并说明它的几何意义是将 ( x1 , x2 ) 作怎样的

(2) 求曲线 xy ? 1 按逆时针方向旋转

? 后所得到的曲线方程; 4

(3) 设 an ? ( ) ,猜想 A(a1 ) A(a2 ) A(a3 )? A(an ) 的结果并给出证明。
n

1 2


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