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历届数学高考试题精选——函数与不等式


函数与不等式单元测试题(A)
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9<

br />
10

1.(2008 全国Ⅰ卷文) 函数 y ? 1 ? x ? A. {x | x ≤1} B. {x | x≥ 0}

x 的定义域为( ) C. {x | x ≥1或x ≤ 0} D. {x | 0 ≤ x ≤1}


2 (2007 全国Ⅱ理) 把函数 y=ex 的图象按向量 a=(2,3)平移, 得到 y=f(x)的图象, f(x)= 则 ( x-3 (A) e +2 (B) ex+3-2 (C) ex-2+3 (D) ex+2-3 3.(2005 山东文科)下列大小关系正确的是( A. 0.4 ? 3
2 0.4

) B. 0.4 ? log 4 0.3 ? 3 ;
2 0.4

? log 4 0.3 ;
2 0.4

C. log 4 0.3 ? 0.4 ? 3 ;

D. log 4 0.3 ? 3
x?2

0.4

? 0.42

?1? 4.(2007 山东文)设函数 y ? x 与 y ? ? ? ?2?
3

的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间 C. (2, 3) D. (3, 4)

是(

) A. (0, 1)

B. (1, 2)
2

5.(2006 江西文、理)若不等式 x ? ax ? 1≥ 0 对一切 x ? ? 0, ? 成立,则 a 的最小值为 ( ) A. 0 B. ?2 C. ?

? ?

1? 2?

5 D. ?3 2 ?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 6.(2006 北京理)已知 f ( x) ? ? 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值 x ?1 ?log a x,
范围是( ) (B) (0, ) (C) [ , ) (A) (0,1)

1 3

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

7. (2008 陕西理)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy( x,y ? R ) ,

f (1) ? 2 ,则 f (?3) 等于(
A.2 B.3

) C.6

D.9

8(2007 四川文、理)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )

9.(2008 天津文) 已知函数 f ( x ) ? ?

? x ? 2,x ≤ 0, 2 则不等式 f ( x) ≥ x 的解集为( ) ? ? x ? 2,x ? 0,

, A. ? ?11?

2 B. ? ?2,?

1? C. ? ?2,

2 D. ? ?1,?

? x ? y ? 1≥ 0, ? 10.(2008 北京理)若实数 x,y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值是( ) ? x ≤ 0, ? A.0 B.1 C. 3 D.9 二、填空题:(每小题 5 分,计 35 分) 1 11、 (2006 全国Ⅰ卷文)已知函数 f ( x) ? a ? x ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
12.(2004 全国卷Ⅲ文科) 函数 y ? 是 .

log 1 ( x ? 1) 的定义域
2

13.(2002 春招上海)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数. 若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x),则 f(–2)= .

14.(2004 浙江文、理)已知 f ( x) ? ? ? 是 。

1, x ? 0, 则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ≤5 的解集 ? ? 1, x?0,

15.(2006 辽宁文、理)设 g ( x ) ? ?

? e x , x ? 0. ?lnx, x ? 0.

则 g ( g ( )) ? __________

1 2

16.(2006 天津文、理)某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/ 次,一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨.

17.(2007 湖北文、理)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放 过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y ? ?

?1? ? ? 16 ?

t ?a

(a 为常数),如图所示,根据图中提供的

信息,回答下列问题: (Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时) 之间的函数关系式为___________________________________ (Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可 进教室,那从药物释放开始,至少需要经过 ____ 小时后,学生才能回到教室.

三、解答题:(18、19 题各 12 分,20 题 13 分,21、22 题各 14 分,满分为 65 分) 2 18.(2006全国Ⅱ卷文)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为A, B ? ? x |1 ? x ? 3? , A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

19.(2001 春招北京、内蒙古、安徽文、理)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成 本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提 高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 ? x ? 1) ,则出厂价相 应提高的比例为 0.75 x ,同时预计年销售量增加的比例为 0.6 x .已知年利润=(出厂价–投入 成本) ? 年销售量. (Ⅰ)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (Ⅱ) 为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

20.(2007 山东文)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟, 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大 收益是多少万元?

21.(2005 全国卷Ⅰ文科)已知二次函数 f (x) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集 为(1,3). (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f (x) 的解析式; (2)若 f (x) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

22.(2006 江苏)设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。

(Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); (Ⅱ)求 g(a) 的表达式。

函数与不等式单元测试题(A)参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)
题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 C 7 C 8 C
1 2

9 A

10 B

二、填空题:(每小题 5 分,计 35 分) 3? 1 ? 11. ; 12。 ?1,2 ? ; 13。 -1 ; 14。 ? ? ?, ? 2? 2 ?

;15。

;16。 20 ;

?10t , (0 ? t ? 0.1) t ? 0 .1 ? 17. y ? ?? 1 ? , 0.6 。 , (t ? 0.1) ?? 16 ? ?? ? 三、解答题:(18、19 题各 12 分,20 题 13 分,21、22 题各 14 分,满分为 65 分) 18.解法一:(1) 若 a=0,则 f(x)= -2x , f ( x) ? 0 的解集为 A={x|x<0},此时 A∩B=?,故 a ? 0 1 (2) 若 a≠0,则抛物线 y=f(x)的对称轴方程为 x ? ,与 y 轴相交于点(0,-2a). a 1 当 a<0 时, ? 0 ,-2a>0, 即 f(x)在区间(1,3)上是减函数,要使 A∩B≠?, a
只需 f(1)>0 即可,即 a-2-2a>0,解得 a<-2.

当 a>0 时, 解得 a>

1 ? 0 ,-2a<0,要使 A∩B≠?,只需 f(3)>0 即可,即 9a-6-2a>0, a

6 . 7

6 综上,使 A∩B≠?成立的 a 的取值范围为 (??, ?2) ? ( , ??) 7
19.解:(Ⅰ)由题意得 y ? [1.2 ? (1 ? 0.75x) ? 1? (1 ? x)]?1000? (1 ? 0.6x)(0 ? x ? 1) , 整理得 y ? ?60x 2 ? 20x ? 200 (0 ? x ? 1) . (Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当

? y ? (1.2 ? 1) ? 1000 ? 0, ? ?0 ? x ? 1.
解不等式得 0 ? x ?

即?

?? 60 x 2 ? 20 x ? 0, ?0 ? x ? 1.

1 . 3

0 ? x ? 0.33 .

答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例 x 应满足

20.解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,

? x ? y ≤ 300, ? x ? y ≤ 300, ? ? 由题意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, 等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ? x ≥ 0,y ≥ 0. ? ? 目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时, 目标函数取得最大值.

y
500

400

300 l 200 100 M

? x ? y ? 300, 联立 ? 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900. 200) ?点 M 的坐标为 (100, . ? zmax ? 3000 x ? 2000 y ? 700000 (元)

0 100 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台 做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元. 21.解:(Ⅰ)? f ( x) ? 2 x ? 0的解集为(1,3). f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3), 且a ? 0.因而

200 300

x

f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) ? 2 x ? ax 2 ? (2 ? 4a) x ? 3a. ①
由方程 f ( x) ? 6a ? 0得ax ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0.
2 2



因为方程②有两个相等的根,所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 ,

1 解得a ? 1或a ? ? . 5 1 由于 a ? 0, 舍去a ? 1.将a ? ? 代入①得 f (x) 的解析式 5 1 6 3 f ( x) ? ? x 2 ? x ? . 5 5 5 1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 (Ⅱ)由 f ( x) ? ax 2 ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a( x ? ) ? a a


5a 2 ? 4a ? 1 ? 0.

及 a ? 0, 可得f ( x)的最大值为 ? 由 ??
? a 2 ? 4a ? 1 ? 0, 解得 a ? ?a ? 0, ?

a 2 ? 4a ? 1 . a

a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0.

故当 f (x) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3 ) ? (?2 ? 3,0). 20.解: t ? 1 ? x ? 1 ? x 要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2, 4], t≥0
2 2



t 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? x 2 ? ∴m(t)=a(

1 2 t ?1 2

1 2 1 t ? 1 )+t= at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] 2 2 1 2 (2)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 ①当 a=0 时,m(t)=t, t ? [ 2, 2] ,∴g(a)=2. 1 1 2 ② 当 a≠0 时,直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨 a 2
论。 当 a>0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

1 <0 知 m(t)在 [ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2 a 当 a<0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 1 1 1 若 t ? ? ? ?2,?? ? ,即 ? ? a ? 0 ? ? a? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2 2 2 1 1 1 1 ? a ? ? 则 g (a) ? m(? ) ? ?a ? 若 t ? ? ? 2 ,2 ,即 ? 2 2 a a 2a 2 1 若 t ? ? ? 0, 2 ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 2 a
由t ? ?

? ?

?

?

1 ? a?? ?a ? 2, 2 ? 综上有 ? 1 2 1 g (a) ? ? ? a ? ,? ?a?? 2a 2 2 ? ? 2 a?? ? 2, 2 ?

函数与不等式单元测试题(B)
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)

题号 答案

1

2

3

4
0.2

5

6

7

8

9

10

?1? 1.(2007 天津文)设 a ? log 1 3 , b ? ? ? , c ? 2 3 ,则( ) ?3? 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c
1

2.(2004 全国卷Ⅳ理科)设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ?

f (5) ? (
A.0

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 2

) B.1 C.

5 2

D.5

3.(2008 湖北文)已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且

f ( x ? 4) ? f ( x),当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x 2 , 则f (7) ? (
A.-2 B.2 C.-98 D.98

)

4.(2005 天津文)设 f (x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f (x) 在(0,3)内单调递减,且

y ? f (x) 的
图象关于直线 x ? 3 对称,则下面正确的结论是( ) A. f (1.5) ? f (3.5) ? f (6.5) B. f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5) C. f (6.5) ? f (3.5) ? f (1.5) D. f (3.5) ? f (6.5) ? f (1.5)

?2e x ?1 , x ? 2, ? 5.(2006 山东文、理)设 f(x)= ? 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2, ?
(A)(1,2) ? (3,+∞) (C)(1,2) ? ( 10 ,+∞)

则不等式 f(x)>2 的解集为(



(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2)

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 6.(2007 北京文)若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ?0 ≤ x ≤ 2 ?
( ) A. a ? 5 B. a≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 D. a ? 5 或 a≥ 7

7.(2008 福建文)若实数 x,y 满足 A. (0, 2) B. (0, 2]

? x ? y? ? 0 y ? x ? 0 ,则 的取值范围是( ? x ? y?2 ? C. (2, ??) D. [2, ??)



?2 ? x ? 1, x ? 0, 8.(2003 全国、广东、天津、江苏、辽宁)设函数 f ( x) ? ? 1 若f ( x0 ) ? 1, 则x0 的 ? 2 ?x , x ? 0 ?
取值范围是( ) (A)(-1,1) (C)(-∞,-2)∪(0,+∞)
2

(B) (?1, ??) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)

9.(2008 江西理)已知函数 f ? x ? ? 2mx ? 2 ? 4 ? m ? x ? 1, g ? x ? ? mx ,若对于任一实数 x ,

f ? x ? 与 g ? x ? 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是(
A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8)



D.(-∞,0)

10.(2006 重庆理)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形 面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.(2008 上海理)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x, 则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 . 12.(2005 江苏卷)函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为_____________________.

13.(2007 湖南文、理)设集合

A ? ?? x, y ? | y ?| x ? 2 |, x ? 0? , B ? ?? x, y ? | y ? ? x ? b? , A ? B ? ? ,

b 的取值范围是
14.(2007 山东文)函数 y ? a
1? x

.

(a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 1 1 . mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 上,则 ? 的最小值为 m n

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余题各 14 分,满分为 80 分) a 2 15.(2007 上海文)已知函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0 ,常数 a ?R) . x (1)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 1; (2)讨论函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由.

16. 2004 全国Ⅲ卷文、 ( 理) 某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。 在温室内, 沿左.右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温 室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?

2

17.(2001 江西、山西、天津理科)设 a ? 0, f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

18.(2003 上海文科)已知函数 f ( x) ? 性和单调性.

1 1? x ,求函数 f (x) 的定义域,并讨论它的奇偶 ? log 2 x 1? x

19.(2004 北京理)某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行 时刻表上,规定列车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际运行中,假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在 vkm / h 匀速行驶, 该站的运行误差。 (I)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差 (II)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围

20.(2006 浙江理)设 f(x)=3ax ?2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证:
2

(Ⅰ)a>0 且-2<

b <-1; a

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根.

函数与不等式单元测试题(B)参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)
题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 D 9 B 10 D

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) ? 1 ? ?3 ? 11. ?? 1,0? ? ?1,?? ? ; 12. ?? ,0 ? ? ? ,1? ; ? 4 ? ?4 ?

13. ?2,??? ;

14. 4

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余题各 14 分,满分为 80 分) 2 2 2 2 2 2 15. 解:(1)x ? ? ( x ? 1) ? 整理, 得 ? ? 2x ? 1, ? 0 , 即 x( x ? 1) ? 0 . x x ?1 x x ?1 ? 原不等式的解为 0 ? x ? 1 . 2 (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? x , 对任意 x ? ( ? ?, ? (0, ? ) , 0) ? 2 2 f ( ? x) ? (? x) ? x ? f ( x) , ? f (x) 为偶函数.
a ( a ? 0, ? 0) , x x 取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0 , ? f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (1) ,

当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ?

? 函数 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
16.解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab ? 800. 蔬菜的种植面积 S ? (a ? 4)(b ? 2)

? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808 ? 2(a ? 2b).
所以 S ? 808 ? 4 2ab ? 648 (m ).
2

当 a ? 2b, 即a ? 40(m), b ? 20(m)时, S 最大值 ? 648 (m ).
2

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植 面积为 648m2.
x 17.解:(Ⅰ)依题意,对一切 x ? R 有 f ( x) ? f (? x) ,即 e ? a ? 1 ? ae x , x x

a

e

ae

所以 (a ? 1 )(e x ? 1 ) ? 0 对一切 x ? R 成立. a ex 由此得到 a ?

1 ? 0, 即 a2=1. a

又因为 a>0,所以 a=1.

(II)证明一:设 0<x1<x2,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e x1 ? e x2 ?

1? e x1 x2 ? x1 1 1 1 ? 1) ? x2 ? x1 ? x ? (e x2 ? e x1 )( x ? x ? 1) ? e (e x1 e e e 2 e1 2

x2 ? x1

,

由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0, 得x1 ? x2 ? 0, e x2 ? x1 ? 1 ? 0,1 ? e x2 ? x1 ? 0.

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
证明二:由 f ( x) ? e x ? e ? x 得 f ?( x) ? e x ? e ? x ? e ? x (e 2 x ? 1). 当 x ? (0,??) 时,有 e ? x ? 0, e 2 x ? 1 ? 0, 此时 f ?( x) ? 0. 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

?x ? 0 1? x ? ,由 ? 0得 ? 1 ? x ? 1, 18.[解]x 须满足 ?1 ? x ?1 ? x ? 0 1 ? x ? 所以函数 f (x) 的定义域为(-1,0)∪(0,1). 因为函数 f (x) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有 1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? ? log 2 ? ?( ? log 2 ) ? ? f ( x) ,所以 f (x) 是奇函数. x 1? x x 1? x 研究 f (x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1),且设 x1<x2 ,则 1 ? x1 1 1 ? x2 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? log 2 ? ? log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2
?( 由 1 1 2 2 ? ) ? [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? ? 0, log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f (x) 在(0,1)内单调递减, 由于 f (x) 是奇函数,所以 f (x) 在(-1,0)内单调递减. 19. 解:(I)列车在 B,C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是

|

300 480 ? 7| 和 | ? 11| v v
300 480 ? 7|?| ? 11| ? 2 v v
(*)

(II)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,所以

|

300 300 480 300 时,(*)式变形为 ?7? ? 11 ? 2 , 解得 39 ? v ? 7 v v 7 300 480 300 480 300 480 当 时,(*)式变形为 7 ? ?v? ? ? 11 ? 2 , 解得 ?v? 7 11 v v 7 11 480 ?00 480 480 195 当v ? 时,(*)式变形为 7 ? ? 11 ? ? 2 , 解得 ?v? 11 v v 11 4 195 综上所述, v 的取值范围是[39, ] 4
当0 ? v ? 20.证明:(I)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 . 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 . 故 ?2 ?

b ? ?1 . a
2

b 3ac ? b 2 (II)抛物线 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (? , ), 3a 3a b 1 1 b 2 在 ?2 ? ? ?1 的两边乘以 ? ,得 ? ? ? . a 3 3 3a 3 b a 2 ? c 2 ? ac 又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0, 而 f (? ) ? ? ? 0, 3a 3a b b 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ? ) 与 (? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a 故方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根.


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