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一 二维形式的柯西不等式


新课导入
探究
类比不等式a2+b2≥2ab的推导过程, 通过乘法及配方,研究关于它的不等 关系.

分析

把该式首先展开,再用配方法,问 题就可以解决。

解:

展开乘积得 (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 由于a2c2+b2d2+a2

d2+b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2 即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2

而(ad-bc)2≥0, 因此(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2

提示

上式(1)是本节课所要研究 的柯西不等式.

教学目标
知识与能力
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形 式.理解二维柯西不等式的几何意义.

2.通过探究,思考和讨论,使学生从数形 两方面认识柯西不等式的代数和向量的等 价关系。

3.掌握柯西不等式的应用.

过程与方法
1.通过探究,从式子变形的角度证出柯 西不等式,从而认识其代数形式. 2.借助平面向量,从数量积的角度推 出二维柯西不等式的向量形式.从而给 出几何意义。

情感态度与价值观
锻炼学生分析问题,解决问 题的能力,并培养其审美观。

教学重难点
重点
定理(1)和定理(2).

难点
数形结合认识(1)与(2)两式的 等价关系.

定理1(二维形式的柯西不等式) 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.

分析 你能否证明 a 2 ? b2
c 2 ? d 2 ? ac ? bd





a ?b
2

2

c ?d ?
2 2

?a

2

?b

2

?? c
2

2

?d

2

?

?

? ac ? bd ?

? ac ? bd .

对于任何实数a , b, c , d 有不等式成立: a ?b
2 2

c ? d ? ac ? bd ,
2 2

a 2 ? b2

c 2 ? d 2 ? ac ? bd .

讨论
对一个代数结果进行最简单的诠释, 往往要借助直观的几何背景。讨论柯西 不等式的几何意义。

设在平面直角坐标系xoy中有向量 α=(a,b), =(c,d) ,与之间的夹角为θ,0≤ θ ≤π (如图) y

? ? c, d ?

根据向量数量积的定义,有 α.β=│α││β│cos θ
0

?

? ? a, b ?
x

所以

│α.β│=│α││β││cosθ│
因为│cosθ│≤1,

所以│ α.β │≤│ α ││ β │

用平面向量的坐标表示不等式(2)得:

ac ? bd ? a ? b
2

2

c ?d ,
2 2

定理2(柯西不等式的向量形式) 设α,β是两个向量,则 │α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在 实数k,使α=kβ时,等号成立.

探究 试从不等式(1)推导不等式(2),再 进行反方向的推导,从数形结合的角度 体会两者的等价关系。

观察

如图,在平面直角坐标系中,设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2),根据△oP1P2 的边 长关系,你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着 何种大小关系吗?

y

P1 ? x1 , y1 ?

y
P1 ? x1 , y1 ?

.

P2 ? x2 , y2 ?

0

x

0

.

P2 ? x2 , y2 ?

x

定理3(二维形式的三角不等式)
设x1 , y1 , x2 , y2 ? R, 那么 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ?
2 2 2 2

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

能用柯西不等 式证明吗?





?

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2

?

2

? x12 ? y12 ? 2 x12 ? y12

x 2 2 ? y2 2 ? x 2 2 ? y2 2

≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x22+y22 ≥ x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22 =x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22 =(x1-x2)2+(y1-y2)2

所以 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ?
2 2 2 2

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

分析
不等式(3)对于任何实数都成立,于是可 以得到:

? x1 ? x3 ? ? ? y1 ? y3 ?
2

2

?
2

? x 2 ? x 3 ? ? ? y2 ? y3 ?
2

2

?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

? 4?

探究 请结合平面直角坐标系,解释 不等式(4)的几何意义。

例1 已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3) 分析 虽然可以作乘法展开上式的两 边,然后在比较它们的大小。但如 果注意到不等式的形式与柯西不等 式的一致性,既可以避免繁杂了。





根据柯西不等式,有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2

反思 在证明不等式时,联系经典不等式, 既可以启发证明思路,又可以简化运算.

例2

求函数y= 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x .

分析

利用不等式解决极值问题,通常设法在 不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取 等号的条件。这个函数的解析式是两部分的 和,若能化成ac+bd的形式,就能利用柯西不 等式求其最大值。

解:函数的定义域为 ?1, 5?,且y? 0. y ? 5? x ? 1 ? 2 ? 5 ? x ? 5 ?
2

? 2?

2

?

?

x ?1

? ??
2

5? x

?

2

?6 3 当且仅当 2 ? x ? 1 ? 5 ? 5 ? x时,等号成立, 127 即x ? 时函数取最大值6 3. 27

例3

设a , b ? R ?,a+ b= 1, 求证 1 1 ? ? 4. a b

分析 问题中a+b=1这个条件,由于常 数1的特殊性,用a+b去乘任何数或 式子,都不会改变它们的值.





由于a , b ? R? , 根据柯西不等式,得 1 1 ? ?1 1? ? ? a ? b ? ? ? ? ? ? a ? ? b ? ? ? 4. a b? ?a b? ? 又a ? b ? 1, 1 1 所以 ? ? 4. a b
2

课堂小结
1.二维形式的柯西不等式的代数形式. 若a,b,c,d都是实数, 则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且 仅当ad=bc时,等号成立.

2.二维形式的柯西不等式的向量形式. 设α,β是两个向量,

则│α .β│≤│α││β│,
当且仅当β是零向量或存在实数k,使 α=kβ时,等号成立.

3.二维形式的柯西不等式的应用.
设x1 , y1 , x2 , y2 ? R, 那么 x1 ? y1 ?
2 2

x 2 ? y2 ?
2 2

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ?

2

随堂练习
1.求函数y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x的最大值.

解:函数定义域为 ? 5, 6?,且y ? 0. y ? 3 x ?5 ? 4 6? x ?

?3

2

?4

2

? ? x ? 5 ? 6 ? x ? ? 5.

2.已知2 x2 ? 3 y2 ? 6, 求证x ? 2 y ? 11.
证明:因为2x 2 ? 3 y 2 ? 6, ?1 4? 所以 x ? 2 y ? ? 2 x ? 3 y ? ? ? ? ? 11. ? 2 3?
2 2

因此x ? 2 y ? 11.

习题答案
习题3.1(第36页)
1.函数定义域为? 5, 6?,且y ? 0 y = 3 x - 5 + 4 6 - x ? (32 + 4 2 )(x - 5 + 6 - x) = 5 当且仅当4 x - 5 = 3 6 - x, 134 即x = 时,函数有最大值5. 25

2.三维柯西不等式
2 2 2 2 2 2 (a1 + a2 + a )(b + b + b ) ? (a b + a b + a b ) 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ;

三维三角不等式
2 2 2 2 2 x1 + y1 + z1 + x2 + y + z 2 2 2

? (x1 - x 2 )2 + (y 1 - y 2 )2 + (z 1 - z 2 ) 2


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