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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:1.2.2 排列数的应用


第 2 课时

排列数的应用

双基达标

?限时15分钟?

1.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班.每人值班一天,其中甲、乙 二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有________. 解析
5 2 5 先安排 5 月 1 日和 2 日有 A2 5种,再排其它位置有 A5,共有 A5A5=

20×120=2 400(种). 答案 2 400

2.张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为 安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种数共有________. 解析 第一步:将两位爸爸排在两端有 2 种排法;第二步;将两个小孩视作

一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有 2A 3 3 种排法,故总的排法有 2×2×A3 3=24(种). 答案 24

3.2 位男生和 3 位女生站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位 女生相邻,则不同排法的种数是________. 解析 依题意,先排 3 位女生,有 A3 3种.再把男生甲插到 3 位女生中间有

1 A1 2种.把相邻的两位女生捆绑,剩下一个男生插空,有 A4种,所以不同排法

种数为 A3 A1 A1 3· 2· 4=48. 答案 48

4. 用 0 到 9 这 10 个数字, 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________. 解析 利用分类计数原理,共分两类:

2 (1)0 作个位,共 A9 =72 个偶数; 1 1 (2)0 不作个位,共 A4 · A8 · A1 8=256(个)偶数,

共计 72+256=328(个)偶数. 答案 328

5.5 人排成一排,甲不在排头,乙不在排尾的排法有________种. 解析
4 3 可用间接法处理问题:A5 5-2A4+A3=78(种).

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答案

78

6.由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成: (1)多少个没有重复数字的六位偶数; (2)多少个没有重复数字的比 102 345 大的自然数. 解 (1)分两类

①末位数字是 0 的有 A5 5=120(个); ②末位数字是 2 或 4 的有 A1 A1 A4 2· 4· 4=192(个). 所以共有 192+120=312(个)无重复数字的六位偶数. (2)在按题意组成的数中,易知 102 345 是六位数中最小的自然数,故所有其
5 它六位数都比 102 345 大,故共有 A1 5A5-1=599(个)比 102 345 大的自然数.

综合提高

?限时30分钟?

7.安排 5 名选手的演讲顺序时,要求某名选手不第一个出场,另一名选手不最 后一个出场,则不同排法的总数是________(用数字作答). 解析 “某名选手”(特殊元素 )不第一个出场,“另一名选手”(特殊元素)

不最后一个出场,即分两种情况:(1)不最后一个出场的选手第一个出场,有 A4 4种排法.
1 1 3 (2)不最后一个出场的选手不第一个出场,有 A3 A3A3种排法. 1 1 3 故共有 A4 4+A3A3A3=78(种)不同排法.

答案

78

8.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排,其中甲、 乙两种必须排在一起, 而丙、 丁两种不能排在一起, 不同的排法共有________ 种. 解析 甲、乙排在一起,用“捆绑”排列,丙丁不排在一起,用插空法,不

同的排法共有 2A2 A2 2· 3=24(种). 答案 24

9.由数字 1,3,4,6,x 五个数字组成没有重复数字的五位数,所有这些五位数各 位数字之和为 2 640,则 x=________. 解析 五位数各位数字之和为

(1+3+4+6+x)A5 5=2 640.∴x=8.

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答案

8

10.有 5 个人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边,(A、B 可以不相邻), 那么不同的排法共有________种. 解析 答案 A5 5 由 B 在 A 的右边,则共有A2=60(种). 2 60

11.7 名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法? (2)若排成两排照,前排 3 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后 排,有多少种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照,7 人中有 4 名男生,3 名女生,女生不能相邻,有多少种 不同的排法? 解
3 4 (1)A7 · A4 =A7 7=5 040(种).

1 (2)第一步安排甲,有 A3 种排法;第二步安排乙,有 A1 4种排法;第三步余下

的 5 人排在剩下的 5 个位置上,有 A5 5种排法.由分步计数原理得,符合要求 的排法共有 A1 A1 A5 3· 4· 5=1 440(种). (3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,与其余 4 个元素排成一排,即看成 5 个元素的全排列问题,有 A5 5种排法;第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,
5 3 有 A3 A3 =720(种). 3种排法.由分步计数原理得,共有 A5· 4 (4)第一步,4 名男生全排列,有 A4 种排法;第二步,女生插空,即将 3 名女

生插入 4 名男生之间的 5 个空位,这样可保证女生不相邻,有 A3 5种插入方 法.由分步计数原理得,符合条件的排法共有 A4 A3 4· 5=1 440(种). 12.用 1,2,3,4,5 五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两个 偶数之间的五位数个数是多少? 解 满足要求的五位数分为三类:

偶奇偶奇奇:A1 A1 A2 2· 3· 2种. 奇偶奇偶奇:A1 A1 A2 3· 2· 2种. 奇奇偶奇偶:A1 A1 A2 2· 3· 2种.
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共有 3A1 A1 A2 3· 2· 2=36(个). 13.(创新拓展)用数字 0,1,2,3,4,5, (1)可以组成多少个没有重复数字的六位数? (2)试求这些六位数的和. 解 (1)(间接法)0,1,2,3,4,5 六个数共能形成 A6 6种不

5 同的排法, 当 0 在首位时不满足题意, 故可以组成 A6 6-A5=600(个)没有重复

数字的六位数. (2)十万位只能放 1,2,3,4,5 中的一个,万位上、千位上、百位上、十位上、个 位上都可以放 0,1,2,3,4,5 中的一个,但不重复,因此所有六位数的和为: (1 + 2 + 3 + 4 + 5)· A5 105 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 0)· A4 104 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5· 4·
4 4 0)· A4 · 103+(1+ 2+3 +4+5+0)· A4 · 102+(1+ 2 +3+4 +5+0)· A4 10+ (1+2 4· 4 5 +3+4+5+0)· A4 =15· A5 · 105+15· A4 11 111. 4·

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