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第一讲 直线的方程


第三篇 第一章 第一讲 【考纲要求】:

平面解析几何 直线与圆的方程 直线的方程

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系, 掌握过两点的直线斜率的计 算公式. 3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函 数的关系. 【要点整合】: 1.

基本概念: (1)直线的倾斜角与斜率 倾斜角:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角,与 x 轴平行或 重合的直线倾斜角为零度角.因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180°. 斜率:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.倾 斜角是 90°的直线,斜率不存在. 当直线 l 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)时,若 x1≠x2,则 l 的斜率 k ?

y 2 ? y1 ; x2 ? x1

x1 ? x2 时直线 l 的斜率不存在。
直线 Ax+By+C=0(B≠0)的斜率 k= ? (2)直线的方向向量 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的一个方向向量为 P 1P 2 ,其坐标为(x2-x1, y2-y1).当斜率 k 存在时,一个方向向量的坐标为(1,k). (3)直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且这条直线上的点的坐标都是 这个方程的解, 那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直 线. (4)直线方程的各种形式
A . B

①点斜式:y-y1=k(x-x1)表示经过点 P1(x1,y1)且斜率为 k 的直线.特例:y= kx+b 表示过点(0,b)且斜率为 k 的直线,其中 b 表示直线在 y 轴上的截距.该 方程叫做直线方程的斜截式. ②两点式:

y ? y1 x ? x1 (x1≠x2 且 y1≠y2)表示经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) ? y 2 ? y1 x2 ? x1

x y 的直线.特例: ? ? 1?ab ? 0 ? 其中 a,b 分别表示直线在 x 轴、y 轴上的截距, a b

该方程叫做直线方程的截距式. ③一般式:Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0). ④直线的向量表示式: A、B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,直线 l 上任一点 P 对应的实参数为 t, 则 OP ? ?1 ? t ?OA ? tOB 2.基本思想: (1)数形结合的思想 解析几何是数形结合的典范, 学习解析几何, 必须要清楚常见表达式的几何意义, 熟练掌握常见几何图形的几何性质,养成自觉运用数形结合思想解决问题的习 惯. (2)分类讨论思想 在直线的方程中,涉及分类讨论的常见原因有:确定直线所经过的象限;讨论直 线的斜率是否存在;直线是否经过坐标原点等. 3.基本方法: 直线方程设法 (1)直线 l 过定点 P(x0,y0),可设直线方程为 y-y0=k(x-x0),注意检验 x=x0 是 否满足. (2)直线 l 与直线 y=kx+b 平行,可设 l:y=kx+b1;l 与直线 y=kx+b(k≠0) 垂直,可设 l:y= ? 4.易错警示: (1)每一条直线都有惟一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率,倾斜角是 90°的直线斜率不存在. 所以在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率存在与不
1 x ? b1 . k

存在这两种情况,否则会产生漏解. (2) 在 知 道 斜 率 的 取 值 范 围 求 倾 斜 角 的 取 值 范 围 时 , 可 利 用 k = tan α 在
? ? ? ?? ? ? 0, ?和? ,? ? 上都是增函数分别求解. ? 2? ?2 ?

(3)“截距”与“距离”是两个不同的概念,x 轴上的截距是直线与 x 轴的交点的 横坐标,y 轴上的截距是直线与 y 轴的交点的纵坐标,它们可能是正实数,也可 能是负实数或零,而距离则是大于或等于零的实数. (4)使用直线方程时,要注意限制条件.如点斜式、斜截式的使用条件是直线必 须存在斜率; 截距式使用条件为两截距都存在且不为零;两点式使用条件为直线 不与坐标轴垂直. 【例题精析】: 考点 1:直线的倾斜角和斜率. 例 1:设直线 l 过原点,其倾斜角为α ,斜率为 k,将直线 l 绕坐标原点逆时针旋 转 45? ,得到直线 l1,求 l1 的倾斜角和斜率. 解:当 ? ? 45? 时, l1 倾斜角为 90? ,斜率不存在; 当 0? ≤α <135? 且 ? ? 45? 时, l1 倾斜角为α +45? , 斜率为 tan ?? ? 45?? ?
1? k , 1? k
1? k . 1? k

当 135? ≤α <180? 且 ? ? 90? 时, l1 倾斜角为α -135? , 斜率为 tan ?? ? 135?? ?

点评: 因为倾斜角的取值范围是 0°≤α <180°,故要根据α +45? 是否超过 180° 进行分类讨论,并注意斜率不存在时的情况. 变式 1:已知 M(2,-3),N(-3,-2),直线 l:y=ax-a+1 与线段 MN 相交,则 a 的取值范围 是( ) B.-4≤a≤3/4 C.3/4≤a≤4 D.-3/4≤a≤4.

A.a≥3/4 或 a≤-4

考点 2:直线方程的点斜式和两点式. 例 2:过点 A(3,-1)作直线 l 交 x 轴于点 B,交直线 l1:y=2x 于点 C,若|BC|=2|AB|,
求直线 l 的方程. [解析] 当 k 不存在时 B(3,0),C(3,6).

此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|, ∴直线 l 的斜率存在, ∴设直线 l 的方程为:y+1=k(x-3),由题意 k≠0,k≠2, 1 令 y=0 得 B(3+ ,0)

k

由?

?y=2x ? ?y+1=k(x-3) ?

1+3k 得 C 点横坐标 xc= k-2

若|BC|=2|AB|则|xB-xC|=2|xA-xB| 1+3k 1 1 ∴| - -3|=2| | k-2 k k ∴ 1+3k 1 2 1+3k 1 2 - -3= 或 - -3=- k-2 k k k-2 k k

3 1 解得 k=- 或 k= 2 4 ∴所求直线 l 的方程为:3x+2y-7=0 或 x-4y-7=0.

点评:①用点斜式设直线方程时,要注意直线的斜率是否存在,若不存在,直线 方程要另外设, 另外解; ②两点间距离的关系应转化为两点的水平距离或铅直距 离的关系,可使计算简便。 变式 2:直线方程的两点式和对称. △ ABC 中,A(-1,5)、B(0,-1),∠C 的平分线所在直线方程为 2x-3y+6=0,求 三角形各边所在直线的方程。 考点 3:直线方程的截距式. 例 3:已知直线 l 过点 P(2,1),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点,求三角形 OAB 面积的最小值.

x y 解:设直线 l 的方程为a+b=1,由已知得 a>0,b>0. 2 1 2 1 ∵l 过点 P(2,1),∴a+b=1,而 1= a+b≥2 1 三角形面积 S△OAB=2ab≥4. 2 1 当且仅当a=b,即 a=4,b=2 时取等号. ∴△OAB 面积的最小值为 4. 2 1 , ∴ ab 2ab≥4,

点评:直线方程设法有多种,此题也可以用点斜式来解: 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2). 1 ? ? 由已知得 k<0.∴点 A?2- k,0?,点 B(0,1-2k). ? ? 1? 1? 三角形面积 S△OAB=2?2-k?(1-2k) ? ? 1?? 1? 1 ? =2+2??-k?+(-4k)?≥2+2×2 4=4, ?? ? ? 1 1 当且仅当- k=-4k,即 k=-2时,取等号. 故△OAB 面积的最小值为 4. 变式 3: ( 08 江 苏 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 设 三 角 形 ABC 的 顶 点 分 别 为
A(0, a), B(b,0),C (c,0) ,点 P(0,p)在线段 AO 上(异于端点) ,设 a, b, c, p 均为

非零实数,直线 BP, CP 分别交 AC, AB 于点 E , F ,一同学已正确算得 OE 的方程:

?1 1? ? 1 1? ? ? ?x ? ? ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方程: ( ?b c? ? p a?



? 1 1? )x?? ? p ? a? ?y ? 0 ? ?

考点 4:直线方程、对称和最值问题. 例 4:在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD 边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图所示) .将矩形折 叠,使A点落在线段DC上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.
Y C D

X O (A) B

1 ; 2 (ii)当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)(0≤a≤2) 1 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,有 kOG ? k ? ?1, ? k ? ?1 ? a ? ?k a

.解:( I ) (i)当 k ? 0 时, A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ?

故 G 点坐标为 G(?k ,1) ,从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中
k 1 点)为 M (? , ) 2 2 1 k k2 1 ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? ? 2 2 2 2 由(i) (ii)得折痕所在的直线方程为:

折痕所在的直线方程 y ?
k2 1 ? 2 2

y ? kx ?

(II)由( I ) ?2 ? k ? 0 , 当 k=0 时,折痕的长为 2;
k 1 当 ?2 ? k ? 0 时 , 折 痕 所 在 的 直 线 y ? kx ? ? 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 为 2 2
2

k 2 ?1 k 2 ?1 N (0, ), P(? ,0) .要求折痕长度,则要分清折痕所在直线与矩形的哪一 2 2k

边相交,为此,解

k2 ?1 k2 ?1 ? 1 得 ?1 ? k ? 0 ; 解 ? ? 2 得 ?2 ? 3 ? k ? ?2 ? 3 2 2k

当 A 与 D 重合时,k=-2. 设折痕长的平方为 y,则有 (i)当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时,直线交 BC 于 P ' (2, 2k ?
y ? P ' N 2 ? 22 ? [ k2 1 ? ) 2 2

k2 ?1 k2 1 2 ? (2k ? ? )] ? 4 ? 4k 2 ? 4 ? 4(7 ? 4 3) ? 32 ? 16 3 . 2 2 2

(ii)当 ?1 ? k ? ?2 ? 3 时,
y ? PN 2 ? ( k2 ?1 2 k 2 ? 1 2 (k 2 ? 1)3 ) ? (? ) ? 2 2k 4k 2

? 2 ?? 2? (k 2 ? 1)2 ? ? k ? ?? k ? ? 2 ?? 2 ? 3(k ? 1) ? 2k ? 4k ? (k ? 1) ? 8k ? / y ? ? 16k 4 k3
2 2 2 2 3

令 y / ? 0 解得 k ? ?

2 2 , 此时 k ? ? 是 y 的极小值点,所以 y 的最大值在端点 2 2

取到,经计算得 PN 2max ? 32 ? 16 3 (当 k= ?2 ? 3 时取到)

(iii)当 ?2 ? k ? ?1 时,直线交 DC 于 N ' (

1 k ? ,1) 2k 2 k2 ?1 1 k 1 y ? PN '2 ? 12 ? [? ? ( ? )]2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 2k 2k 2 k

又?32 ? 16 3 ? 22 ? 4, ∴综上折痕的长度的最大值为 32 ? 16 3 ? 2( 6 ? 2)

点评: ①此题的关键要分清折痕所在直线与矩形的那一边相交,进而对 k 进行分 类讨论,列出不同的折痕长度表达式, 以求得最大值. ②在 (ii) 中, 当 k= ?2 ? 3 时,要求 y ? 计算量过大. 变式 4:已知两点 P(-2,2) ,Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长
( k 2 ? 1)3 的值时,代入以后要尽可能分解、约分,不要直接做,以免 4k 2

为 2 的线段 AB 在直线 L 上移动, 如图 求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨
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迹方程 (要求把结果写成普通方程)
王新敞
奎屯 新疆

????????????

【同步练习】:
1.若图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( (A) k1<k2<k3 (B) k3< k1< k2 (C) k3< k2< k1 (D) k1< k3< k2 ) )

2.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是(
A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

? 1? ?1 ? 3.(2008 江苏苏州模拟)若 ab<0,则过点 P ?0,- ? 与Q ? , 0? 的直线 PQ 的倾斜角 ? b? ?a ?

的取值范围是( )
? ?? A. ?0, ? ? 2? ?? ? ? ? ? ? ? ? B. ? , ? ? C. ? ? , ?? ? D. ? ? , 0? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ?

4.(05 湖南卷)设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次

取两个不同的数作为 A、 B 的值,则所得不同直线的条数是
A.20 B.19 C.18 D.16





5.(08 四川卷4)直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 0 ,再向右平移1个单位,所

得到的直线为(

)
1 ( B ) y ? ? x ?1 3 1 (D) y ? x ? 1 3

1 1 ( A ) y ?? x? 3 3

(C) y ? 3x ? 3

6.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出 的光线经直线 AB 反射后再射到 OB 上,最后经直 线 OB 反射后又回到 P 点, 则光线所经过的路程是 ( ) B. 6 C. 3 3 D. 2 5

A. 2 10

7.若直线(m+1)x+(m2-m-2)y=m+1 在 y 轴上的截距等于 1, 则实数 m 的值为 8.设直线的斜率为 k,且 ? 3 ? k ?
3 ,则直线的倾斜角α 的取值范围为 3

。 .
1 1 ? 的 a b

9.(06 北京) 若三点 A(2,2) ,B(a,0) ,C(0,b)(ab ? 0)共线,则, 值等于 10.已知 3a+2b=5,其中 a,b 为实数,则直线 ax+by-10=0 必过一定点为



11.已知定点 A(4,2),O 为坐标原点,P 是线段 OA 的垂直平分线上一点,若∠OPA 为钝角,那么点 P 的横坐标的取值范围是 。

12.在直角坐标系中,一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴,且两直 角边上的中线所在直线方程 y=3x+1 和 y=mx+2,则实数 m 的值为 。

13. 直线 l 被两直线 l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原点, 求直线 l 的方程。 14. 坐标平面上有两点 A(-2,1)、B(-3,4),在 x 轴上求一点 P,在 y 轴上求一点 Q,使 AP+PQ+QB 的值最小,并求这个最小值。

15.某房地产公司要在荒地 ABCDE 如图上划出一块长方形地面修建一幢公寓楼,

已知:BC=70m,CD=80m,DE=100m,AE=60m,问如何设计才能使公寓的面积 最大,并求出其最大面积.

E

D

A

B

C

16.已知常数 a ? 0, 在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=4 a , O 为 AB 的中点,点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动, 且
BE CF DG ? ? ,P 为 GE 与 OF 的交点(如图) ,问是 BC CD DA

否存在两个定点,使 P 到这两点的距离的和为定值?若存在, 求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.

【变式和练习的答案】: 变式 1:A. 分析:因为直线 l 恒过 P(1,1),a 为 l 的斜率,故 可结合图形考虑,为使 l 与线段 MN 有公共点, l 的倾斜角应介于直线 PN 与直线 PM 的倾斜角 之间,但由于 l 的倾斜角要“跨越”90°,所
N P O x y

以要注意, 当 l 的倾斜角小于 90°时, 有 a≥kPN;
M

当 l 的倾斜角大于 90°时,则有 a≤kPM。 解:如图,由题意得: k PM ?
1 ? ?? 3? 1 ? ?? 2? 3 ? ?4, k PN ? ? 1? 2 1 ? ?? 3? 4

∴若使直线 l 与线段 MN 有公共点,则直线 l 的斜率 a 的取值范围是 a≤-4 或 a≥3/4. 所以选 A. 变式 2:解:由两点式得 AB 所在直线的方程是 6x+y+1=0. 设 A 点关于直线 2x-3y+6=0 的对称点为 A1(x1,y1),则有

y ?5 ? x1 ? 1 31 2? ? 3? 1 ? 6 ? 0 ? x1 ? ? ? 2 2 ? ? ? 31 1 ? 13 ?? ? A? , ? ? . ? y1 ? 5 3 ?13 13 ? ? ?y ? ? 1 ?? 1 ? x1 ? 1 2 ? 13 ? ?
? 36 41? 同理 B 点关于 2x-3y+6=0 对称点为 B1 ? ? , ? , ? 13 13 ?

因为角平分线是角的两边的对称轴,所以 A1 点在直线 BC 上,由两点确定直线, 得直线 A1B 即为直线 BC,由两点式得 BC 所在直线方程是 12x-31y-31=0.同理得 AC 所在直线方程是 24x-23y+139=0.
1 1 变式 3: 【答案】 ? c b
分析:可以用直接法求出直线 OF 的方程,但运算量较大,而题干中给出了直线

OE 的方程, 创设了类比猜想的情境 (根据结构的对称性进行合情推理) 。 画草图,
1 1 x y 由对称性可猜想填 ? .事实上,由截距式可得直线 AB: ? ? 1 ,直线 CP: c b b a

x y ?1 1? ? 1 1? ? ?1 , 两式相减得 ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 , 显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满 c p ?c b? ? p a?

足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 OF 的方程. 变式 4:解:由于线段 AB 在直线 y=x 上移动,且 AB 的长 2 ,所以可

不妨设点 A 和 B 分别是( a , a )和( a +1, a +1),其中 a 为参数 于是可得:直线 PA 的方程是
y?2? a?2 ( x ? 2) (a ? ?2) a?2 (1)
P· X A Y y=x Q

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直线 QB 的方程是
a ?1 x (a ? ?1) (2) a ?1 a ? 2 a ?1 ? , 即a ? 0时, 直 (1)当 a ? 2 a ?1 y?2?

2
M

B O

线 PA 和 QB 平行,无交点

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(2)当 a ? 0 时,直线 PA 与 QB 相交,设交点为 M(x,y),由(2)式得
y ? 2 ? (1 ? 2 2x 3x ? y ? 2 3y ? x ? 6 ) x, a ? 1 ? ,? a ? 2 ? ,a ? 2 ? . a ?1 x? y?2 x? y?2 x? y?2

将上述两式代入(1)式,得
y?2? 3y ? x ? 6 ( x ? 2) 整理得x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 即 3x ? y ? 2 (*)

( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ? ? ?1 8 8

当 a =-2 或 a =-1 时, 直线 PA 和 QB 仍然相交, 并且交点坐标也满足 (*) 式 所以(*)式即为所求动点的轨迹方程
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练习: 1.D 2.D 3.B 4. C 5. A

6. A 解:A 分别求 P 关于直线 x+y=4 及 y 轴的对称点为 P1(4,2)、P2(-2,0),由物理知 识知,光线所经过路程即为 PP ,故选 A. 1 2 ? 2 10 7. 3

? ? 2? ? 8. [0, ) ? ? , ? ? 6 ? 3 ?
9. 1/2 10. (6,4) 11. (1,2)∪(2,3) 12. 3/4 13. 解:由题意可设直线方程为 y=kx,分别代入两直线方程解得交点关于原点对 1 1 称求得 k= ? ,的直线方程为 y ? ? x 。 6 6 14. 解:设 A 关于 x 轴的对称点为 A1,B 关于 y 轴的对称点为 B1,连结 B1A1 分 别交 x 轴与 y 轴于点 C、D,C、D 即为所求的两点,且 (AP+PQ+QB)min=AC+CD+DB=A1B1= 5 2 .

15. 解:建立如图所示的平面直角坐标系, 则 A(0,20),B(30,0),所以线段 AB 的方程为
x y ? ? 1?0 ? x ? 30? . 30 20

E

D

设点 P 的坐标为(x,y),则 y ? 20 ? 所以公寓占地面积为

2x , 3

A P O B C x

2x ? 2 18050 2 ? S ? ?100 ? x??80 ? y? ? ?100 ? x? ?80 ? 20 ? ? ? ? ?x ? 5? ? ?0 ? x ? 30? , 3? 3 3 ?
当 x=5 时,Smax ?

18050 50 ? 50 ? 因此 AP:PB=1:5 时公 , 此时y ? ,即点P的坐标为?5, ?, 3 3 ? 3?
18050 2 m . 3

寓的占地面积最大,最大面积为

16. 根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在的两定 点,使得点 P 到两点距离的和为定值. 按题意有 A(-2,0) ,B(2,0) , C ( 2 , 4a ) , D ( - 2 , 4a ) 设
BE CF DC ? ? ? k ( 0 ? k ? 1) BC CD DA

由此有 E(2,4ak) ,F(2-4k,4a) ,G(-2,4a-4ak)直线 OF 的方程为:
2ax ? (2k ? 1) y ? 0 ①

直线 GE 的方程为: ? a(2k ? 1) x ? y ? 2a ? 0 ② 从①,②消去参数 k,得点 P(x,y)坐标满足方程 2a 2 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 整理得 x 2
1 2 ? ( y ? a) 2 ?1 a2

当a2 ?

1 时, 点 P 的轨迹为圆弧, 所以不存在符合题意 2

的两点. 当a2 ? 定长。 当a2 ? 值 2。 当a2 ?
1 时,点 P 到椭圆两个焦点(0, a ? a 2 ? 1 ), (0, a ? a 2 ? 1 ) 的距离之 2 2 2 1 1 1 时, 点 P 到椭圆两个焦点( ? ? a 2 , a), ( ? a 2 , a) 的距离之和为定 2 2 2

1 时,点 P 轨迹为椭圆的一部分,点 P 到该椭圆焦点的距离的和为 2

和为定值 2 a .


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