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2014-2015学年高中数学(人教B版必修1)第3章综合测试(B)


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第三章综合测试(B)
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个备选答案 中,有且仅有一个是正确的)
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1.(2013~2014 学年度广东中山市桂山中学高一期中测试)设集合 P={3,log2a},Q= {a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q 等于( A.{3,0} C.{3,0,2} [答案] B [解析] ∵P∩Q={0},∴0∈P,0∈Q, ∴log2a=0,∴a=1,∴b=0. ∴P∪Q={3,0,1}. 2.若 3x=2,则 x 等于( A.lg2-lg3 lg3 C. lg2 [答案] D lg2 [解析] ∵3x=2,∴x=log32= . lg3 3.下列各式运算错误的是( A.(-a2b)2· (-ab2)3=-a7b8 B.(-a2b3)3÷ (-ab2)3=a3b3 C.(-a3)2· (-b2)3=a6b3 D.[-(a3)2· (-b2)3]3=a18b18 [答案] C [解析] 对于 A,(-a2b)2· (-ab2)3=a4b2· (-a3b6)=-a7b8,故 A 正确;对于 B,(-
- -

) B.{3,0,1} D.{3,0,1,2}

) B.lg3-lg2 lg2 D. lg3

)

a2b3)3÷ (-ab2)3=-a6b9÷ (-a3b6)=a6 3b9 6=a3b3, 故 B 正确; 对于 C, (-a3)2· (-b2)3=a6· (- b6)=-a6b6,故 C 错误,对于 D,易知正确,故选 C. 4.下列四类函数中,具有性质“对任意 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x· y)=f(x)+f(y)”的 是( ) A.幂函数 C.指数函数 [答案] B
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B.对数函数 D.常数函数

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[解析] 函数为对数函数时,满足 f(xy)=loga(xy)=logax+logay=f(x)+f(y). 1 5.已知集合 A={y|y=log2x,x>2},B={y|y=( )x,x>0},则 A∩B=( 2 A.(0,1) C.(1,+∞) [答案] D [解析] ∵x>2,∴y=log2x>log22=1, ∴A={y|y>1}. 1 又∵x>0,∴y=( )x<1, 2 ∴B={y|0<y<1},∴A∩B=?. 6.(2013~2014 学年度河南信阳市高一期末测试)函数 f(x)=2x-log0.5x 的零点所在的区 间为( ) 1 1 B.( , ) 4 2 D.(1,2) B.(1,2) D.? )

1 A.(0, ) 4 1 C.( ,1) 2 [答案] B 1 1 4 [解析] f( )=24 -log0.5 = 2-2<0, 4 4 1 1 f( )=24 -log0.5 = 2-1>0, 2 2 1 1 ∴f( )· f( )<0,故选 B. 4 2
1 1

1- 7.已知 a=21.2,b=( ) 0.8,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( 2 A.c<b<a C.b<a<c [答案] A [ 解析 ] B.c<a<b D.b<c<a

)

1 - a = 21.2>21 = 2 , b = ( ) 0.8 = 20.8<21 = 2 , b = 20.8>20 = 1 , c = 2log52 = log522 = 2

log54<log55=1,所以 c<b<a. 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足
? ?log2?4-x?, f(x)=? ?f?x-1?-f?x-2?, ?

x≤0 x>0

,则 f(3)的值为( B.-2 D.2

)

A.-1 C.1

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[答案] B [解析] ∵f(-1)=log25,f(0)=2, ∴f(1)=f(0)-f(-1)=2-log25, f(2)=f(1)-f(0)=-log25,w
W w

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.X k b 1. c O m

∴f(3)=f(2)-f(1)=-2.故选 B. 9.(2013~2014 学年度河南省实验中学高一月考)小王今年花费 5 200 元买了一台笔记 本电脑.由于电子技术的飞速发展,计算机成本不断降低,每隔一年计算机的价格降低三分 之一,则三年后小王这台笔记本的价值为( 1 A.5 200×( )3 元 3 1 C.5 200×( )2 元 3 [答案] B [解析] 本题考查指数函数的应用.因为小王买笔记本电脑时的价格为 5 200 元,一年 2 2 2 2 2 2 2 后还值 5 200× 元, 再过一年还值 5 200× × 元, 三年后还值 5 200× × × =5 200×( )3 3 3 3 3 3 3 3 元,故选 B. 10.已知函数 f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中 a>0,a≠1),在同一直角坐标系中 画出其中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是( ) ) 2 B.5 200×( )3 元 3 2 D.5 200×( )2 元 3

[答案] B [解析] A 项, 由幂函数的图象知 a<0, 与已知 a>0 不符; B 项, 由幂函数的图象知 a>1, 与对数函数的图象相符, 正确; C 项, 由指数函数的图象知 a>1, 由对数函数的图象知 0<a<1, 矛盾;D 项,由指数函数的图象知 0<a<1,由幂函数的图象知 a>1,矛盾.故选 B. 11.给定函数①y=x ;②y=log1 (x+1);③y=|x-1|;④y=2x 1,其中在区间(0,1) 2


1 2

上单调递减的函数序号是( A.①②

) B.②③

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C.③④ [答案] B

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D.①④

[解析] y=x 在定义域上是增函数,y=log1 (x+1)在定义域上是减函数,y=|x-1|= 2
?x-1?x≥1? ? ? , ? ?1-x?x<1?

1 2

所以其在区间(-∞,1)上单调递减,y=2x

+1

在定义域上是增函数,故在区间(0,1)上单

调递减的函数是 y=log1 (x+1),y=|x-1|,故选 B. 2 12. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点, 那么称这个点为“好 1 点”.在下面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2, )中,可以是“好点”的个 2 数为( ) B.1 个 D.3 个

A.0 个 C.2 个 [答案] C

[解析] 设指数函数为 f(x)=ax(a>0,a≠1),对数函数 g(x)=logbx(b>0,b≠1). 由指数函数的图象可知,f(x)的图象不过点 M、P, g(x)的图象不过点 N, ∴点 M、N、P 一定不是“好点”. 若点 Q 是“好点”,则 a2=2,且 logb2=2, ∴a= 2,b= 2,故点 Q 是“好点”; 1 1 若点 G 是“好点”,则 a2= ,logb2= , 2 2 ∴a= 2 ,b=4,故点 G 是“好点”. 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 1 13.幂函数 y=f(x)的图象过点(-2,- ),则满足 f(x)=27 的 x 的值是________. 8 [答案] 1 3

[解析] 设幂函数为 y=xα, 1 1 ∵函数图象过点(-2,- ),∴- =(-2)α, 8 8 ∴α=-3, 1 - - 则 y=x 3.令 x 3=27,得 x= . 3
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83×3-log32 14.计算: =________. 1 lne+log 4 64
2

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[答案] -1

x-3 1 4? - 15.已知 f(x)= (a>0),若 f 1(x)的定义域是? ?a,a?,则 f(x)的定义域是________. a [答案] [4,7] 1 x-3 4 - [解析] f 1(x)的定义域即为 f(x)的值域,∴ ≤ ≤ . a a a 又 a>0,∴4≤x≤7. ∴f(x)的定义域为[4,7]. 16.下列说法中,正确的是____________. ①任取 a>0,均有 3a>2a, ②当 a>0,且 a≠1,有 a3>a2, ③y=( 3) x 是增函数,


④在同一坐标系中,y=2x 与 y=2 x 的图象关于 y 轴对称.


[答案] ①④ [解析] ∵幂函数 y=xa,当 a>0 时, 在(0,+∞)上是增函数, ∵3>2,∴3a>2a,故①正确; 当 a=0.1 时,0.13<0.12,故②错; 函数 y=( 3) x=(


3x ) 是减函数,故③错; 3

1 - 在同一坐标系中,y=2x 与 y=2 x=( )x 的图象关于 y 轴对轴,故④正确. 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)计算下列各式的值: 3- (1)(-3 ) 3 +(0.002) 8
2 1
-2

-10( 5-2) 1+( 2- 3)0;
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1 + (2)log2.56.25+lg +ln e+21 log23. http://w 100
2 2

[解析] (1)原式=(-1)

-3

3- 1 - 10 (3 ) 3 +( ) 2 - +1 8 500 5-2

1

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27 - =( ) 3 +5002 -10( 5+2)+1 8 4 167 = +10 5-10 5-20+1=- . 9 9
2 1

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(2)原式=log2.52.5 +lg10 +lne +2· 2 log23 1 13 =2-2+ +2×3= . 2 2 18. (本小题满分 12 分)设 f(x)= a- 2x , 其中 a 是常数, 且 a>-1.判断函数 f(x)的奇偶性. 1+ 2x

2

-2

1 2

[解析] 函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞). a- 2 x f(-x)= - = 1+ 2 x


1 a- x x 2 2 a-1 = . 1 2x+1 1+ x 2

2xa-1 a-2x 若 f(-x)=f(x),则 x = , 2 +1 1+2x ∴2xa-1=a-2x,解得 a=-1,而已知 a>-1, ∴f(-x)=f(x)不可能成立. 2xa-1 a-2x 2x-a 若 f(-x)=-f(x),即 x =- = , 2 +1 1+2x 1+2x ∴2xa-1=2x-a,解得 a=1,符合题意, 则函数 f(x)是奇函数. 综上可知,若 a>-1,且 a≠1,函数 f(x)既不是奇函数也不偶函数,若 a=1 时,函数 f(x)为奇函数. 19.(本小题满分 12 分)求函数 f(x)=loga(3x2-2x-1)(0<a<1)的单调区间. 1 [解析] 由 3x2-2x-1>0,得 x<- 或 x>1, 3 1 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x<- 或 x>1}. 3 1 令 t=3x2-2x-1,它在 x∈(1,+∞)时,t 是 x 的增函数,在 x∈(-∞,- )时,t 是 x 3 的减函数. ∵0<a<1,∴y=logat 是定义域上的减函数, 1 ∴当 0<a<1 时, f(x)的增区间为(-∞,- ),减区间为(1,+∞). 3 20.(本小题满分 12 分)要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上恒大于零,求 a 的取 值范围. [解析] 由题意,得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,

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1+2x 即 a>- x 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 4 1+2x 1 1 ∵- x =-( )2x-( )x 4 2 2 1 x 1?2 1 =-? ??2? +2? +4, 1 1 又∵x∈(-∞,1],∴( )x∈[ ,+∞). 2 2 1 令 t=( )x, 2 1 1 1 则 f(t)=-(t+ )2+ ,t∈[ ,+∞). 2 4 2 1 ∵f(t)在[ ,+∞)上为减函数, 2 1 1 1 1 3 ∴f(t)≤f( )=-( + )2+ =- , 2 2 2 4 4 3 即 f(t)∈(-∞,- ]. 4 3 ∵a>f(t),∴a>- . 4 3 故 a 的取值范围是(- ,+∞). 4 -2x+n 21.(本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)= x+1 . 2 +m (1)求实数 m,n 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并证明. [解析] (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, -1+n ∴f(0)=0,∴ =0,∴n=1. 2+m -2 x+1 2x-1 由 f(-x)=-f(x),得 -x+1 = x +1 ,w 2 +m 2 +m


W w

.X k b 1. c O m



-1+2x 2x-1 + 2x=m+2x 1, + ,∴2+m· x= 2+m· 2 m+2x 1

即 m=2. (2)函数 f(x)在 R 上是减函数. -2x+1 -?2x+1?+2 证明:由(1)知 f(x)= x+1 = 2 +2 2?2x+1? 1 1 =- + x . 2 2 +1 设任意 x1∈R,x2∈R,且 x1<x2,
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则 Δx=x2-x1>0,

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. ∵x1<x2, ∴0<2x1<2 x2,2 x2+1>0,2 x1+1>0,2 x1-2 x2<0, ∴Δy<0,∴f(x)在 R 上是减函数. 22.(本小题满分 14 分)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万元,且甲 厂在 2 月份的利润是 14 万元,乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(万 元)与月份之间的函数关系式分别符合下列函数模型: f(x)=a1x2+b1x+6,g(x)=a2· 3x+b2, (a1、a2、b1、b2∈R). (1)求 f(x),g(x)的表达式; (2)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)和 g(x)在区间[1,5]上的草图,并根据草图比较今年 1-5 月份甲、乙两个工厂利润的大小情况.
? ? ?f?1?=6 ?a1+b1=0 [解析] (1)依题意:由? ,有? , ?f?2?=14 ? ? ?4a1+2b1=8

解得:a1=4,b1=-4, ∴f(x)=4x2-4x+6;
?g?1?=6 ?3a2+b2=6 ? ? 1 由? ,有? ,解得:a2= ,b2=5. 3 ? ? ?g?2?=8 ?9a2+b2=8

1 x - ∴g(x)= · 3 +5=3x 1+5. X k 3

B

1

. c o m

∴f(x)=4x2-4x+6,g(x)=3x 1+5.


(2)作函数 f(x)与 g(x)(1≤x≤5)的草图如图:

从图中,可以看出今年甲、乙两个工厂的利润: 当 x=1 或 x=5 时,有 f(x)=g(x); 当 1<x<5 时,有 f(x)>g(x).

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