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平面向量单元测试卷及答案


《平面向量》单元测试卷 一、选择题: (本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.下列命题中的假命题是( ) A、 AB 与 BA 的长度相等; C、只有零向量的模等于零;
? ?

??

??

B、零向量与任何向量都共线; D、共线的单位向量都相等。
? ? ? ? ? ?

/>
2. 若 a 是任一非零向量, b 是单位向量;① | a | ? | b | ;② a ∥ b ;③ | a | ? 0 ;④ | b | ? ?1 ;
?



a

|a|

?

? b ,其中正确的有(

?



A、①④⑤
? ? ?

B、③

C、①②③⑤
? ? ? ?

D、②③⑤
? ? ?

3. 设 a ,b ,c 是任意三个平面向量, 命题甲: a ? b ? c ? 0 ;命题乙:把 a ,b ,c 首尾相接能 围成一个三角形。则命题甲是命题乙的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、非充分也非必要条件 4. 下列四式中不能化简为 AD 的是(
(AB ? CD ) ? BC A、 ( AC ? AB ) ? ( AD ? CB) C、
? ? ??



??

??

??

( AM ? MB ) ? ( BC? CD ) B、
??

??

??

??

??

??

??

??

D、 OC? OA ? CD

? ?

??

??

??

( ? 2 ,4) ,b ? (1 ,? 2) ,则( 5. 设 a ?

A、 a 与 b 共线且方向相反 C、 a 与 b 不平行
? ?

?

?

B、 a 与 b 共线且方向相同 D、 a 与 b 是相反向量
? ?

6.如图 1,△ABC 中,D、E、F 分别是边 BC、CA 和 AB 的中点,G 是△ABC 中的重心,则下列 A 各等式中不成立的是( ) A、 BG ? BE
? ??

2 3

??

B、 DG ? AG
?

??

1 2

??

C、 CG ? ?2 FG
1 4
?

??

??

D、 DA? FC ? BC
?

1 3

??

2 ?? 3

1 2

??

F E G

7. 设 a ? (? 2 , 1 ? cos? ) ,b ? ( 1 ? cos? ,? ) ,且 a ∥ b ,则锐角? ? ( A、
? 4
??



B

D

C

B、

? 6
??

C、

? 3

D、


?
6



?
3

? ?1

8. 若C分 AB 所成比为 ? 3 ,则 A分 CB 所成的比是( A、 ?
3 2
? ?

B、3
? ?

C、 ?

2 3


D、-2

9. 若 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角 ? 的范围是( A、 [0 , )
2

?

B、 [ ,? )
2

?

C、 ( ,? )
2

?

D、 ( ,? ]
2

?

1

10. 设 a 与 b 都是非零向量,若 a 在 b 方向的投影为 3 , b 在 a 方向的投影为 4 ,则 a 的模与 b 的模之比值为( A、
3 4
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?


4 3
?

B、

C、

3 7

D、

4 7

二、填空题(本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11. 若 a 与 b 都是单位向量,则 | a ? b | 的取值范围是 _________ 。 12. △ABC中, BD ? BC,则用AB和 AC 表示 AD ? _________ 。 13. 设 a ? ( x ? 3,x ? 3y ? 4),若 a 与 AB 相等,且 A、B两点的坐标分别为 (1 ,2)和 (3,2) ,则 x=
? ? ? ?? ?

??

1 3

??

??

??

??


? ? ? ? ?

14. 设 a 与 b 是共线向量, | a | ? 3 , | b | ? 5 ,则 a ? b _________ 。 三、解答题:本题共 4 小题,每题 10 分,共 40 分 15.已知 a ? (2 sin( ? x), cos x), b ? (cos( ? x),2 3 sin x), 记 f ( x) ? a ? b . 4 4 (1)求 f ( x) 的周期和最小值; (2)若 f ( x) 按 m 平移得到 y ? 2 sin 2 x ,求向量 m .

?

?

16.已知 a 、 b 是两个不共线的向量,且 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ) (Ⅰ)求证: a + b 与 a - b 垂直; (Ⅱ)若 ? ∈( ? ,
? ?
4 4

) , ? = ,且| a + b | =

? 4

16 ,求 sin ? . 5

2

17.设 a ? e1 ? 2 e2 , b ? ?3 e1? 2 e2 ,其中 e1 ? e2 且 e1? e1 ? e2 ? e2 ? 1. (1)计算| a ? b | 的值;
(2)当k为何值时 k a ? b 与 a ? 3 b 互相垂直?
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3 3 x x π 18. 已知向量→ a =(cos x,sin x),→ b =(cos ,-sin ),其中 x∈[0, ] 2 2 2 2 2 3 (1)求→ a ·→ b 及|→ a +→ b |;(2)若 f(x)=→ a ·→ b -2λ |→ a +→ b |的最小值为- ,求 λ 的值 2

3

一、1.D

2.B

3.B

4.C
?

参考答案 5.A 6.B 7.A
2 1 AB? AC 3 3
? ?

8.A

9.D

10.A

二、11. [0,2] 三、15.

12.

AD ?

13.-1

14.±15

16.解: (1)∵ a =(4cos ? ,3sin ? ) , b =(3cos ? ,4sin ? ) ∴| a | = | b | =1 又∵( a + b )·( a - b )= a 2- b 2=| a |2-| b |2 = 0 ∴( a + b )⊥( a - b ) (2)| a + b |2 =( a + b )2 = | a |2 +| b |2 +2 a · b = 2 + 2· a · b = 又 a · b =(cos ? cos ? ? sin ? sin ? )= ∴ cos(? ? ? ) ?
3 5 4 5

16 5

3 5

∵ ? ? (? , )
4 4

? ?

∴?

?
2

< ? ? ? <0

∴sin( ? ? ? )= ?

∴sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ]

= sin( ? ? ? )·cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ? =? ?
4 5 2 3 2 2 ? ? ?? 2 5 2 10

17.解:

4

2 (1) ? | a ? b | 2 ? ( ? 2 e1 ? 4 e 2 ) ? 4 e1 2 ? 16 e1? e 2 ? 16 e 2

?

?

?

?

?

? ?

?

2

又 e 1 ? e 2 , e 1? e 2 ? e 2 ? e 2 ? 1 . ? e 1? e 2 ? 0 . ? | a ? b | 2 ? 20
? ? ? ? ? ? ?

?

?

? ? ?

?

?

| e1 | ? | e2 | ? 1 . ? | a ? b | ? 20 ? 2 5 .
? ? 2 ? ? ? ? ?

?

(2)?(k a ? b ) ( ? a ?3 b) ?ka 又 a
? 2 2 ? ( e1 ? 2 e 2 ) ?5 ? ? ? ?

? (1 ? 3k) a? b?3 b

2

?

2 b 2? ( ? 3 e1 ? 2 e 2 ) ? 13

? ?

a? b ? ( e1 ? 2 e 2 ) ( ? ? 3 e1 ? 2 e 2 ) ? ?3 ? 4 ? 1
? ? ? ?

?

?

?

?

? 由(k a ? b ) ( ? a ?3 b) ?0 即 5k ? (1 ? 3k) ? 3 ? 13 ? 0 得 k ? 19 .

3 x 3 x 18.解:(1)→ a ·→ b =cos xcos -sin xsin =cos2x,|→ a +→ b |= 2+2cos2x=2cosx 2 2 2 2 (2)f(x)=→ a ·→ b - 2λ | → a +→ b |=cos2x -4λ cosx=2cos2x- 1-4λ cosx=2(cosx -λ )2- 2λ 2-1 注意到 x∈[0, π ],故 cosx∈[0,1],若 λ <0,当 cosx=0 时 f(x)取最小值-1。不合条 2

件,舍去.

3 若 0≤λ ≤1,当 cosx=λ 时,f(x)取最小值-2λ 2-1,令-2λ 2-1=- 且 2

1 0≤λ ≤1,解得 λ = , 若 λ >1,当 cosx=1 时,f(x)取最小值 1-4λ , 令 1-4λ =- 2 3 1 且 λ >1,无解综上:λ = 为所求. 2 2

5


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