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一道全国高中数学联赛题的再思考


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第 6朝  

高中数学教与学  



道全国高中数学联赛题的再思考 
张 伟 新  
( 江苏省梁丰高级中学 , 2 1 5 6 0 0 )  

2 0 0 3 年全国高中数学联赛的第一个选择 

/>题:  

证 明设 , (   ) =   + [  +   1 ] (   ∈  
N * ) ,令 k: L 『  +   1   J 1   ,则   +  

删去正整数数列 1 , 2 , 3 , …,  , … 中所有  的完全平方数, 得到一个新数列. 这个新数列 
的第 2 0 0 3 项是(  
( A ) 2   0 4 6   ( C ) 2   0 4 8  

)  
( B ) 2   0 4 7   ( D) 2   0 4 9  

[  + 吉 ] =   + 忌 . 由 高 斯 函 数 的 性 质 得 志  
≤  +   1< 七+1又 七 ≤ 


+   1<  

命题组给出了一种解法, 这里不再重复.   本文对此题再作一个分析, 并且把它推广到 




般的情形. 我们把正整数数列 1 , 2 , 3 , …, z ,   进行分组 , 记为( 1 ) , ( 2 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 7 , 8 ,  

吉 + 1 < 忌 + 2 , 此 时   + 1 ) :   + 1 + [   + 吉 ] =  



f   + 忌 + 1 , 忌 ≤  ;   +  < 忌 + 1 ,  

9 ) , …, ( k  +1 , k   +2 , …, k   +2 k+1 ) , …, 使  得每一组的最后一个数是完全平方数. 然后  把每一组中的完全平方数去掉, 得到一个新 
的分组方式 : ( 2 , 3 ) , ( 5 , 6 , 7 , 8 ) , …, ( k   +1 , k   +2 , …, k   + 2 k ) , …, 这样每一组中都有2 忌 ( k  

  I + 忌 + 2 , 忌 + 1 ≤  ̄ / _ ;   +  < 忌 + 2 .  
( 1 ) 若是 ≤  +   1<忌 +1则 - 厂 (  


+1 ) 一f (  ) =1 , 即f (  ) 的值随  的增加而 

;   ∈N   ) 个数. 由题意, 设此数列的第2 0 0 3 项位  依次增加 1 ( 2 ) 若是 +1  ̄ C7+1 < +   1< 忌   + 2则  于第 k+1 组中, 贝 0   2 +4 +6 +…+2 k:k ( k  


+1 ) ≤2 0 0 3 , k ≤4 4 , 其第4 4 组的最后一个数 
是4 4   +2×4 4=2 0 2 4 , 它是此数列 中的第  1 9 8 0 项, 所以此数列的第 2 0 0 3 项是 2 0 2 4+2 3  
+ 1= 2 0 4 8 .  

f (  ) 的值随  的增加跳过一个 +k+1 .  
由   +   1< 七 +1 ≤  +   1 得到 


接下来, 我们把它推广到更一般的情形.  
推广 

< 忌 + 吉 ≤   , 即   < 忌   + 矗 + {  
≤  +1 , 所以   +1= k  +k+1 ,   =k   +  

删去正整数数列 1 , 2 , 3 , …,  , … 中所有 

k , 此时  +k +1 =k   +k +k +1 =( k+1 )   .  

的完全平方数, 得到一个新数列. 这个新数列 

即f (  ) 跳过的数是一个完全平方数. 又 k是 
正整数, 所以跳过了所有的平方数. 即结论成 
立.  

的 第  项 是  + I  ̄ /  + 寺I (  ∈N   ) . ( 这 里  
L   二 J  

『  +   1   1 是 高 斯 取 整 函 数 , 表 示  +   1 的  
L   厶 J   厶 

上题 中, 令  : 2   0 0 3 , 则f ( 2   0 0 3 )=  

整数部分. )  

2   0 0 3 + [  ̄ / 2   0 0 3 +   1 ] = 2   0 4 8 .  
?

4 9 ?  
f 


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