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求轨迹的方法答案


解析几何中轨迹问题的求解策略

一、几何法
例 1.设圆 C: (x-1)^2+y^2=1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程

解:如图所示

设 OQ 为过点 O 的-条弦,P(x,y)为其中点,则 CP⊥OQ.:

解法一:直接法,因 OC 中点为

>,

故|MP|= 由圆的范围知 0<x≤1.

,得轨迹方程为



解法二:定义法,∵∠OPC=90°,

∴动点 P 在以点 M

为圆心,OC 为直径的圆上,

由圆的方程得 解法三:代入法,设 Q(x1,y1),



1

又∵



∴(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1). 解法四:参数法,设动弦 OQ 的方程为 y=kx, 代入圆的方程得(x-1)2+k2x2=1,即(1+k2)x2-2z=0,

∴ 消去 k 即可得到(2x-1)2+(2y)2=1(0<x

, 1).

例 2.已知一条曲线在 X 轴的上方,它上面的每一点到点 A(0,2)的距离减去它到 X 轴的 距离的差都是 2,求这条曲线的方程?为什么?

解:设 P(x,y)为曲线 C 上的任意一点,依题意有等式:√[x?+(y+2)?]-|y|=2,下面分情况讨 论。 当 y 大于等于 0 时, √[x?+(y+2)?]-y=2, 即有√[x?+(y+2)?]=y+2, 两边平方得 x? +(y+2)? =(y+2)? , 得 x? =0,即有 x=0,这就是此时曲线的方程,其图像就是 y 轴的正半轴(包括零点)。 当 y 小于 0 时,√[x?+(y+2)?]+y=2,得到 x? +8y=0(y 小于 0)。 抛物线的第二定义做) 综上,这条曲线的方程为: x=0 x? +8y=0 例 3. 解 (y 大于等于 0) (y 小于 0)
2 2

(注:此时也可根据

求与 y 轴相切,并且和圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切的圆的圆心的轨迹方程.
2 2 2 2 由 x ? y ? 4 x ? 0 ,有 ? x ? 2 ? ? y ? 2 . 2

设动圆的圆心 P 的坐标为(x, y).根据题意设点 A 的坐标为(2, 0), 则有 PA ? x ? 2 , 即

? x ? 2?

2

? y 2 ? x ? 2 .化简整理得 y 2 ? 4 x ? 4 x .当 x ? 0 时, y 2 ? 8 x; 当 x﹤0 时,

y=0. 综上可知,所求圆心的轨迹方程为 y ? 8 x (x ? 0)或 y=0(x ? 0).
2

2

例 4.一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,且 BM=a,AM=b,求 AB 中点 M 的轨迹方程? 解 设 M 点的坐标为 ( x, y ) 由平几的中线定理: 在直角三角形 AOB 中,OM=

1 1 AB ? ? 2a ? a, 2 2

? x 2 ? y 2 ? a, x 2 ? y 2 ? a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆周. 【变式】 : 动点 P (x,y) 到两定点 A (-3, 0) 和B (3, 0) 的距离的比等于 2 (即 求动点 P 的轨迹方程?
2 2 【解答】∵|PA|= ( x ? 3) ? y , | PB |?

| PA | , ? 2) | PB |

( x ? 3) 2 ? y 2

( x ? 3) 2 ? y 2 | PA | ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4( x ? 3) 2 ? 4 y 2 代入 ? 2得 2 2 | PB | ( x ? 3) ? y
化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4 为半径的圆.

2.定义法
例1
2 已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 25 内一点 A(1,0),Q 点为圆 C 上任意一点,线段 AQ 的垂 2

直平分线与线段 CQ 连线交于点 M,求点 M 的轨迹方程.



连接 AM,点 M 在线段 AQ 的垂直平分线上,则 AM=MQ.

? CM ? MQ ? 5 ,∴ CM ? MA ? 5 .
故点 M(x,y)到点 C(-1,0)和点 A(1,0)的距离之和是常数 5,且 5>2.所以点 P 的轨迹 是一个以 A、C 为焦点的椭圆.

x2 y 2 21 ? ?1. ∵2a=5,2c=2,∴ b ? a ? c ? .∴点 M 的轨迹方程为 25 21 4 4 4
2 2 2

例 2:已知 ?ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,0) , (4,0) ,C 为动点,且满足

5 sin C , 求点 C 的轨迹 4 5 5 【解析】由 sin B ? sin A ? sin C , 可知 b ? a ? c ? 10 ,即 | AC | ? | BC |? 10 ,满足椭 4 4 sin B ? sin A ?
3

圆的定义。令椭圆方程为

x2 a
'2

?

y2 b
'2

? 1 ,则 a ' ? 5, c ' ? 4 ? b ' ? 3 ,则轨迹方程为

x2 y2 。 ? ? 1 ( x ? ?5) ,图形为椭圆(不含左,右顶点) 25 9
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 (1) 圆:到定点的距离等于定长 (2) 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离) (3) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)

到定点与定直线距离相等。
【变式】:已知圆 的圆心为 M1,圆 与这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解:设动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得: 。 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b =12。
2

的圆心为 M2,一动圆





故所求轨迹方程为

3.代入法
例 1.设圆 C: (x-1)^2+y^2=1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程

例 2. 已知三角形 ABC 两个顶点坐标为 A(-2,0),B(2,0),第三个顶点 C 在曲线 y=3x^2-1 上移 动。求三角形重心的轨迹方程 设重心为 G(X,Y) 则 X=(x-2+2)/3=x/3===>x=3X Y=(3x?-1)/3 将 x=3X 代入 Y=(3x?-1)/3 得: Y=(3X)?-1/3=9X?-1/3 所以三角形 ABC 的重心的轨迹方程为 Y=9X?-1/3(为一抛物线)

4

例 3.

抛物线 x =4y 的焦点为 F,过点 M(0,-1)作直线 l 交抛物线于不同两点 A、B,以 AF、
2

BF 为邻边作平行四边形 FARB,求顶点 R 的轨迹方程. 解 设点 R 的坐标为(x,y),平行四边形 FARB 的对角线的点为 P(x0,y0),F(0,1),

由中点坐标公式可得 x0 ?

x y ?1 . , y0 ? 2 2
2 2

设 A 点的坐标为(x1,y1),B(x2,y2),则可知 x1≠x2, 且 x1 =4y1,x2 =4y2.上述两式对应 相减得 x1 -x2 =4(y1-y2).从而有 k AB ?
2 2

x0 . 2

又 A、 P、 B、 M 四点共线, 且 k PM ?
2

y0 ? 1 x y ?1 2 , 由 KAB = KPM 可得 x0 =2(y0+1).把 x0 ? , y0 ? x0 2 2

代入上式并整理得 x =4y+12. 例 4. 点B是椭圆 轨迹方程。 分析:题中涉及了三个点 A、B、M,其中 A 为定点,而 B、M 为动点,且点 B 的运动是有规 律的,显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的,可见 M、B 为相关点,故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。 【解析】设动点 M 的坐标为(x,y) ,而设 B 点坐标为(x0,y0) 则由 M 为线段 AB 中点,可得

x2 y2 ? ? 1上的动点,A (2a, 0)为定点, 求线段AB的中点M的 a2 b2

? x 0 ? 2a ?x ? ? x 0 ? 2 x ? 2a ? 2 ?? ? ? y0 ? 2 y ? y0 ? 0 ? y ? 2 ?
即点 B 坐标可表为(2x-2a,2y)

x2 y2 又 ? 点B( x0,y 0 )在椭圆 2 ? 2 ? 1上 a b
? x0 y ? 02 ? 1 2 a b
2 2

从而有

( 2 x ? 2a ) 2 ( 2 y ) 2 ? ? 1, a2 b2

整理, 得动点M的轨迹方程为

4( x ? a) 2 4 y 2 ? 2 ?1 a2 b
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【变式】如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足∠ APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程
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y

B

Q

R A

5

o

P

x

【解析】 : 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| AB 的中点,依垂径定理 在 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)
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又因为 R 是弦

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又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得

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x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

(

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2
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整理得

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x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

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4.参数法
例 1. 已知点 P 在直线 x=2 上移动,直线 l 通过原点且和 OP 垂直,通过点 A(1,0)及点 P 的直线 m 和直线 l 相交于点 Q,求点 Q 的轨迹方程. l 解 如图 1 所示,设 OP 所在直线的斜率为 k,则点 2 ① ② O A m X P Y

P 的坐标为(2,2k). 由 l ? OP ,得直线的方程为 x+ky=0. 易得直线 m 的方程为 y=2k(x-1).

由于点 Q(x,y)是直线 l 和直线 m 的交点,所以将①② 联立,消去 k,得点 Q 的轨迹方程为 2 x ? y ? 2 x ? 0 (x≠1).
2 2

例 3.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析 1:从运动的角度观察发现,点 M 的运动是由直线 l1 引发的,可设出 l1 的斜率 k 作为参数,建立动点 M 坐标(x,y) 满足的参数方程。 解法 1:设 M(x,y) ,设直线 l1 的方程为 y-4=k(x-2) , (k≠0)

1 由l1 ? l 2, 则直线l 2的方程为y ? 4 ? ? ( x ? 2) k 4 ? l1与x轴交点A的坐标为(2 ? , 0), k 2 l 2与y轴交点B的坐标为(0, 4 ? ), k
∵M 为 AB 的中点,

6

4 ? 2? ? k ? 1? 2 ?x ? ? 2 k ?? (k为参数) 2 ? 4? ? k ? 2? 1 y? ? 2 k ?
消去 k,得 x+2y-5=0。 另外,当 k=0 时,AB 中点为 M(1,2) ,满足上述轨迹方程; 当 k 不存在时,AB 中点为 M(1,2) ,也满足上述轨迹方程。 综上所述,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。

圆与圆锥曲线的轨迹问题
1.轨迹为椭圆 2.轨迹为抛物线 3.轨迹为双曲线

7


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