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江苏省无锡市江阴市2016届高三(下)暑假数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省无锡市江阴市高三(下)暑假数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A={x|x≤0},B={﹣1,0,1,2},则 A∩B= 2.若 (i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值是 . ,则 m= . . .



3.已知 =(3,4) , =(﹣1

,2m) , =(m,﹣4) ,满足 4.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 ,则 AC= 5.已知函数 f(x)=

若 f(2﹣a2)>f(a) ,则实数 a 的取值范围为

6.不论 k 为何实数,直线 y=kx+1 与曲线 x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0 恒有交点,则实数 a 的取 值范围是 . 7.已知奇函数 f(x)是 R 上的单调函数,若函数 y=f(x2)+f(k﹣x)只有一个零点,则 实数 k 的值是 . 8.设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 的切线垂直,则 P 的坐 标为 . 9.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, 则| +3 |的最小值为 . 10. 椭圆 Γ: =1 F2, (a>b>0) 的左右焦点分别为 F1, 焦距为 2c, 若直线 y=

与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 2 2 11.已知圆 M: (x﹣1) +(y﹣1) =4,直线 l:x+y﹣6=0,A 为直线 l 上一点,若圆 M 上 存在两点 B,C 使得:∠BAC=60°,则点 A 的横坐标 x0 的取值范围是 . 12.设 α 为锐角,若 cos( )= ,则 sin(α﹣ )= .

13.已知正实数 x,y 满足 x+y+3=xy,若对任意满足条件的 x,y,都有(x+y)2﹣a(x+y) +1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 . 2 14.已知函数 f(x)=x +bx+c(b,c∈R) ,对任意的 x∈R,恒有 f′(x)≤f(x) .若对满 2 2 c, 足题设条件的任意 b, 不等式 f (c) ﹣f (b) ≤M (c ﹣b ) 恒成立, 则 M 的最小值为 . 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x﹣ )+2cos2x﹣1,x∈R.

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[ ]上的最大值和最小值.

16. O 为菱形 ABCD 对角线的交点, M 为棱 PD 的中点, MA=MC. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, (1)求证:PB∥平面 AMC; (2)求证:平面 PBD⊥平面 AMC.

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17.如图,有一块扇形草地 OMN,已知半径为 R,∠MON=

,现要在其中圈出一块矩形

场地 ABCD 作为儿童乐园使用,其中点 A、B 在弧 上,且线段 AB 平行于线段 MN. (1)若点 A 为弧 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S; (2)设∠AOB=θ,求 A 在 上何处时,矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少?

18.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

的右准线方程为 x=4,右

顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F,斜率为 2 的直线 l 经过点 A,且点 F 到直线 l 的距离 为 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P,当 B,F,P 三点共线时,试确定 直线 l 的斜率.

19.已知 f(x)=|x2﹣1|+x2+kx; (Ⅰ)若 k=2,求方程 f(x)=0 的解; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个解 x1、x2,求 k 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中 a>0. (Ⅰ)设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a∈(0,1) ,使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内 有唯一解.

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2015-2016 学年江苏省无锡市江阴市高三(下)暑假数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A={x|x≤0},B={﹣1,0,1,2},则 A∩B= 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={x|x≤0},B={﹣1,0,1,2}, ∴A∩B={﹣1,0}, 故答案为:{﹣1,0}.



2.若

(i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值是



【考点】复数的基本概念. 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质化简 于 0,求出 a 值. 【解答】解:∵ 故答案为:﹣1. 3.已知 =(3,4) , =(﹣1,2m) , =(m,﹣4) ,满足 ,则 m= . 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】根据平面向量的坐标运算,利用两向量垂直,数量积为 0,求出 m 的值. 【解答】解:∵ =(3,4) , =(﹣1,2m) , =(m,﹣4) , ∴ + =(2,2m+4) ; 又∵ , ∴2m+(﹣4)×(2m+4)=0, 解得 m=﹣ . 故答案为:﹣ . = = 是实数,∴a=﹣1, ,由虚部等

4.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3

,则 AC=



【考点】正弦定理. 【分析】由 A 与 B 的度数分别求出 sinA 与 sinB 的值,再由 BC 的长,利用正弦定理即可求 出 AC 的长. 【解答】解:∵∠A=60°,∠B=45°,BC=3 ,

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∴由正弦定理

=

得:AC=

=

=2



故答案为:2

5.已知函数 f(x)=

若 f(2﹣a2)>f(a) ,则实数 a 的取值范围为



【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;二次函数的性质. 【分析】 先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性, 从而得到函数 f(x)的单调性,由此性质转化求解不等式,解出参数范围即可. 【解答】解:函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)=x2+4x,由二次函数的性质知,它在[0,+∞) 上是增函数, 当 x<0 时,f(x)=4x﹣x2,由二次函数的性质知,它在(﹣∞,0)上是增函数, 该函数连续,则函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数 ∵f(2﹣a2)>f(a) , 2 ∴2﹣a >a 解得﹣2<a<1 实数 a 的取值范围是(﹣2,1) 故答案为: (﹣2,1) 6.不论 k 为何实数,直线 y=kx+1 与曲线 x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0 恒有交点,则实数 a 的取 值范围是 . 【考点】直线与圆的位置关系;点与圆的位置关系;直线和圆的方程的应用. 【分析】直线 y=kx+1 与曲线 x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0 恒有交点,说明直线系过的定点必在 圆上或圆内. 【解答】解:直线 y=kx+1 恒过(0,1)点的直线系, 曲线 x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0 表示圆圆心(a,0) ,半径为: ) , 2 2 2 x y 2ax a 2a 4=0 直线与曲线 + ﹣ + ﹣ ﹣ 恒有交点,必须定点在圆上或圆内, 即: 故答案为:﹣1≤a≤3. 7.已知奇函数 f(x)是 R 上的单调函数,若函数 y=f(x2)+f(k﹣x)只有一个零点,则 实数 k 的值是 . 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】由函数 y=f(x2)+f(k﹣x)只有一个零点? f(x2)+f(k﹣x)=0 只有一解?f(x2) =f(x﹣k)只有一解? x2=x﹣k 有唯一解? △=1﹣4k=0,问题得解. 【解答】解:∵函数 y=f(x2)+f(k﹣x)只有一个零点, ∴只有一个 x 的值,使 f(x2)+f(k﹣x)=0, ∵函数 f(x)是奇函数, ∴只有一个 x 的值,使 f(x2)=f(x﹣k) , 又函数 f(x)是 R 上的单调函数,
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所以,﹣1≤a≤3

∴只有一个 x 的值,使 x2=x﹣k, 即方程 x2﹣x+k=0 有且只有一个解, ∴△=1﹣4k=0, 解得:k= . 故答案为: .

8.设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 的切线垂直,则 P 的坐 标为 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】利用 y=ex 在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率, 进而求得切点坐标. 【解答】解:∵f'(x)=ex, ∴f'(0)=e0=1. ∵y=ex 在(0,1)处的切线与 y= (x>0)上点 P 的切线垂直 ∴点 P 处的切线斜率为﹣1. 又 y'=﹣ ,设点 P(x0,y0) =﹣1,

∴﹣

∴x0=±1,∵x>0,∴x0=1 ∴y0=1 ∴点 P(1,1) 故答案为: (1,1) 9.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, 则| +3 |的最小值为 . 【考点】向量的模. 【分析】根据题意,利用解析法求解,以直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(2,0) ,B(1,a) ,C(0,a) ,D(0,0) ,设 P(0,b) (0≤b≤a) ,求出 , 根据向量模的计算公式,即可求得 ,利用完全平方式非负,即可求得其最小值. 【解答】解:如图,以直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(2,0) ,B(1,a) ,C(0,a) ,D(0,0) 设 P(0,b) (0≤b≤a) 则 =(2,﹣b) , =(1,a﹣b) , = 5 3a 4b ∴ ( , ﹣ ) ∴ 故答案为 5. = ≥5.

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10. 椭圆 Γ:

=1 F2, (a>b>0) 的左右焦点分别为 F1, 焦距为 2c, 若直线 y=

与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 【分析】由直线 可知斜率为 ,可得直线的倾斜角 α=60°.又直线与椭圆 Γ 的 一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,可得 ,进而 .

设|MF2|=m,|MF1|=n,利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得 解出 a,c 即可. 【解答】解:如图所示, 由直线 可知倾斜角 α 与斜率



有关系

=tanα,∴α=60°. ,∴ .

又椭圆 Γ 的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,∴

设|MF2|=m,|MF1|=n,则 ∴该椭圆的离心率 e= 故答案为 . .

,解得



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11.已知圆 M: (x﹣1)2+(y﹣1)2=4,直线 l:x+y﹣6=0,A 为直线 l 上一点,若圆 M 上 存在两点 B,C 使得:∠BAC=60°,则点 A 的横坐标 x0 的取值范围是 . 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,不 妨设切线为 AP,AQ,则∠PAQ 为 60°时,∠PMQ 为 120°,所以 MA 的长度为 4,故可确 定点 A 的横坐标 x0 的取值范围. 【解答】解:由题意,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是 最大的角,不妨设切线为 AP,AQ,则∠PAQ 为 60°时,∠PMQ 为 120°,所以 MA 的长度 为 4, 故问题转化为在直线上找到一点,使它到点 M 的距离为 4. 设 A(x0,6﹣x0) ,则∵M(1,1) ,∴(x0﹣1)2+(5﹣x0)2=16 ∴x0=1 或 5 ∴点 A 的横坐标 x0 的取值范围是[1,5] 故答案为:[1,5]

12.设 α 为锐角,若 cos(

)= ,则 sin(α﹣

)=



【考点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 【分析】根据题意求得 sin(α+ )= ,再根据 sin(α﹣ )=sin[(α+ )﹣ ],再

利用两角差的正弦公式计算求得结果. 【解答】解:∵α 为锐角,cos( ∴α+ 是锐角,sin(α+ )=sin[(α+ )cos ﹣ . )= , )﹣ ] )sin )= 为正数,

∴sin(α﹣ =sin(α+ =

﹣cos(α+ = ,

故答案为:

13.已知正实数 x,y 满足 x+y+3=xy,若对任意满足条件的 x,y,都有(x+y)2﹣a(x+y) +1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 . 【考点】基本不等式. 【分析】依题意,由正实数 x,y 满足 x+y+3=xy,可求得 x+y≥6,由(x+y)2﹣a(x+y)+1 ≥0 恒成立可求得 a≤x+y+ 恒成立,利用双钩函数的性质即可求得实数 a 的取值范围.

【解答】解:∵正实数 x,y 满足 x+y+3=xy,而 xy≤



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∴x+y+3≤



∴(x+y)2﹣4(x+y)﹣12≥0, ∴x+y≥6 或 x+y≤﹣2(舍去) , ∴x+y≥6. 又正实数 x,y 有(x+y)2﹣a(x+y)+1≥0 恒成立, ∴a≤x+y+ 恒成立,

∴a≤



令 x+y=t(t≥6, )g(t)=t+ ,由双钩函数的性质得 g(t)在[6,+∞)上单调递增,



=g(t)min=g(6)=6+ = . ].



∴a≤

故答案为: (﹣∞,

14.已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R) ,对任意的 x∈R,恒有 f′(x)≤f(x) .若对满 2 2 c, 足题设条件的任意 b, 不等式 f (c) ﹣f (b) ≤M (c ﹣b ) 恒成立, 则 M 的最小值为 . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】f′(x)=2x+b,由题设,x2+(b﹣2)x+c﹣b≥0 恒成立,从而(b﹣2)2﹣4(c﹣b) ≤0,进而 c ,由此利用导数性质能求出 M 的最小值为 .

【解答】解:f′(x)=2x+b,由题设,对任意的 x∈R,2x+b≤x2+bx+c, 即 x2+(b﹣2)x+c﹣b≥0 恒成立, 所以(b﹣2)2﹣4(c﹣b)≤0,从而 c 于是 c≥1,且 c =|b|=|b|, ,

当 c>|b|时,有 M

=

=



令 t= ,则﹣1<t<1, 而函数 g(t)=2﹣

, ) ;

(﹣1<t<1)的值域是(﹣ ) ;

因此,当 c>|b|时,M 的取值集合为[

当 c=|b|时,由(Ⅰ)知,b=±2,c=2,此时 f(c)﹣f(b)=﹣8 或 0,
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c2﹣b2=0,从而 f(c)﹣f(b)≤ (c2﹣b2)恒成立; 综上所述,M 的最小值为 . 故答案为: .

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x﹣ )+2cos2x﹣1,x∈R.

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[ ]上的最大值和最小值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 【分析】 (1)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将 f(x)=sin(2x+ (2x﹣ )+2cos2x﹣1 化为 f(x)= sin(2x+ )+sin

) ,即可求得函数 f(x)的最小正周期; ]上是增函数,在区间[ , ]上是减

(2)可分析得到函数 f(x)在区间[ 函数,从而可求得 f(x)在区间[ 【解答】解: (1)∵f(x)=sin2x?cos =sin2x+cos2x = sin(2x+ ) , =π.

]上的最大值和最小值. +cos2x?sin +sin2x?cos ﹣cos2x?sin +cos2x

∴函数 f(x)的最小正周期 T= (2)∵函数 f(x)在区间[ 又 f(﹣ )=﹣1,f( )=

]上是增函数,在区间[ ,f( )=1,



]上是减函数,

∴函数 f(x)在区间[

]上的最大值为

,最小值为﹣1.

16. O 为菱形 ABCD 对角线的交点, M 为棱 PD 的中点, MA=MC. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, (1)求证:PB∥平面 AMC; (2)求证:平面 PBD⊥平面 AMC.

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【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)利用三角形中位线的性质,证明 OM∥PB,从而可得线面平行; (2)先证明 AC⊥平面 PBD,即可证明平面 PBD⊥平面 AMC. 【解答】证明: (1)连结 OM, 因为 O 为菱形 ABCD 对角线的交点, 所以 O 为 BD 的中点, 又 M 为棱 PD 的中点, 所以 OM∥PB,… 又 OM? 平面 AMC,PB?平面 AMC, 所以 PB∥平面 AMC; (2)在菱形 ABCD 中,AC⊥BD,且 O 为 AC 的中点, 又 MA=MC,故 AC⊥OM,… 而 OM∩BDO,OM,BD? 平面 PBD, 所以 AC⊥平面 PBD,… 又 AC? 平面 AMC, … 所以平面 PBD⊥平面 AMC.

17.如图,有一块扇形草地 OMN,已知半径为 R,∠MON=

,现要在其中圈出一块矩形

场地 ABCD 作为儿童乐园使用,其中点 A、B 在弧 上,且线段 AB 平行于线段 MN. (1)若点 A 为弧 的一个三等分点,求矩形 ABCD 的面积 S; (2)设∠AOB=θ,求 A 在 上何处时,矩形 ABCD 的面积 S 最大?最大值为多少?

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【考点】扇形面积公式. 【分析】 (1)作 OH⊥AB 于点 H,交线段 CD 于点 E,连接 OA、OB,求出 AB,EH,可 得矩形 ABCD 的面积 S; (2)设∠AOB=θ(0<θ< ) ,求出 AB,EH,可得矩形 ABCD 的面积 S,再求最大值.

【解答】解: (1)如图,作 OH⊥AB 于点 H,交线段 CD 于点 E,连接 OA、OB, ∴∠AOB= ∴AB=2Rsin , ,OH=Rcos , ﹣sin ) , )= , ,

OE=DE= AB=Rsin

∴EH=OH﹣OE=R(cos S=AB?EH=2R2(sin cos

﹣sin2

(2)设∠AOB=θ(0<θ< 则 AB=2Rsin ,OH=Rcos

) , ,oe= AB=Rcos ) , )=R2(sinθ+cosθ﹣1)=R2[ sin(θ+ )﹣1], ,OE= AB=Rsin ,

∴EH=OH﹣OE=R(cos S=AB?EH=R2(2sin ∵0<θ< ∴ ∴θ+ <θ+ = , < 即 θ= , 时, cos

﹣sin

﹣2sin2

Smax=( ﹣1)R2,此时 A 在弧 MN 的四等分点处. 答:当 A 在弧 MN 的四等分点处时,Smax=( ﹣1)R2.

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18.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

的右准线方程为 x=4,右

顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F,斜率为 2 的直线 l 经过点 A,且点 F 到直线 l 的距离 为 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P,当 B,F,P 三点共线时,试确定 直线 l 的斜率.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)由题意知,直线 l 的方程为 y=2(x﹣a) ,即 2x﹣y﹣2a=0,利用点到直线的距 离公式可得:右焦点 F 到直线 l 的距离为 准线为 x=4,即 ,及其 a2=c2+b2,解出即可. ,化为 a﹣c=1,又椭圆 C 的右

(2)方法一:由(1)知 ,F(1,0) ,直线 BF 的方程为 ,与 椭圆方程联立可得 P,即可得出 kPA; 方法二:由(1)知 ,F(1,0) ,直线 BF 的方程为 ,由题 A(2, 0) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) ,联立直线得出交点代入椭圆方 程即可得出. 方法三:由题 A(2,0) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) ,与椭圆 方程可得根与系数的关系,利用 B,F,P 三点共线 kBP=kBF,解出即可. 【解答】解: (1)由题意知,直线 l 的方程为 y=2(x﹣a) ,即 2x﹣y﹣2a=0, ∴右焦点 F 到直线 l 的距离为 ∴a﹣c=1, 又椭圆 C 的右准线为 x=4,即 , ,

第 12 页(共 17 页)



,将此代入上式解得 a=2,c=1,

∴b2=3, ∴椭圆 C 的方程为 (2)方法一:由(1)知 ∴直线 BF 的方程为 . ,F(1,0) , ,

联立方程组

,解得



(舍) ,即



∴直线 l 的斜率



方法二:由(1)知 ∴直线 BF 的方程为

,F(1,0) , ,由题 A(2,0) ,显然直线 l 的斜率存在, ,

设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) ,联立方程组

解得



代入椭圆解得: 又由题意知, ∴ .



, ,

<0 得 k>0 或

方法三:由题 A(2,0) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , ,得(4k2+3)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0,

联立方程组









当 B,F,P 三点共线时有,kBP=kBF,

第 13 页(共 17 页)



,解得





又由题意知, ∴ .

<0 得 k>0 或



19.已知 f(x)=|x2﹣1|+x2+kx; (Ⅰ)若 k=2,求方程 f(x)=0 的解; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个解 x1、x2,求 k 的取值范围. 【考点】函数单调性的判断与证明;带绝对值的函数;根的存在性及根的个数判断. 【分析】 (Ⅰ)这个方程为绝对值方程,可以利用绝对值的代数意义去绝对值符号,再分情 况解一元二次方程即可,最后方程的解集为两种情况的并集. (Ⅱ)先根据绝对值的代数意义,把函数 f(x)化为分段函数,根据函数在(0,1)上的 解析式为一次函数,可判断,当 x∈(0,1]时,f(x)为单调函数,所以与 x 轴的交点至 多有一个,即 f(x)=0 在(0,1]上至多一个解.而当方程 f(x)=0 的两个解若都在(1, 2)上,则 x1x2=﹣ ,与两根都属于(1,2)矛盾,所以判断方程 f(x)=0 在(0,2)上 的两个解 x1、x2,一个在(0,1],一个在(1,2)再根据两种情况的解析式求出 k 值,解 出范围,最后,两种情况求出的 k 的范围取交集. 【解答】 (I)解:当 k=2 时,f(x)=|x2﹣1|+x2+2x=0. ①当 x2﹣1≥0 时,即 x≥1 或 x≤﹣1 时,方程化为 2x2+2x﹣1=0,解得 x= .

②当 x2﹣1<0 时,即﹣1<x<1,方程化为 1+2x=0,解得 x=﹣ , 由①②得,方程 f(x)=0 的解为 (II)解:不妨设 0<x1<x2<2, 因为 f(x)= , 或 x=

所以 f(x)在(0,1]是单调递函数,故 f(x)=0 在(0,1]上至多一个解,

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x2∈ 2) 若 x1, (1, , 则 x1x2=﹣ 2) . 由 f(x1)=0,得 k=﹣ 由 f(x2)=0,得 k= ,所以 k≤﹣1; <k<﹣1.

∈ (1,

故当﹣ <k<﹣1 时,f(x)=0 在(0,2)上有两个解. 20.已知函数 f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中 a>0. (Ⅰ)设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a∈(0,1) ,使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内 有唯一解. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (I)函数 f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中 a>0.可得:x>0.g(x)=f′(x)=2 (x﹣1﹣lnx﹣a) ,可得 g′(x)= = ,分别解出 g′(x)<0,g′(x)>0,即

可得出单调性. (II)由 f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,可得 a=x﹣1﹣lnx,代入 f(x)可得:u(x)=(1+lnx) 2 ﹣2xlnx,利用函数零点存在定理可得:存在 x0∈(1,e) ,使得 u(x0)=0,令 a0=x0﹣1 ﹣lnx0=v(x0) ,再利用导数研究其单调性即可得出. 【解答】 (I)解:函数 f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中 a>0.可得:x>0. g(x)=f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a) ,∴g′(x)= = ,

当 0<x<1 时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减; 当 1<x 时,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增. (II)证明:由 f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,解得 a=x﹣1﹣lnx, 令 u(x)=﹣2xlnx+x2﹣2(x﹣1﹣lnx)x+(x﹣1﹣lnx)2=(1+lnx)2﹣2xlnx, 则 u(1)=1>0,u(e)=2(2﹣e)<0, ∴存在 x0∈(1,e) ,使得 u(x0)=0, 令 a0=x0﹣1﹣lnx0=v(x0) ,其中 v(x)=x﹣1﹣lnx(x≥1) , 由 v′(x)=1﹣ ≥0,可得:函数 v(x)在区间(1,+∞)上单调递增. ∴0=v(1)<a0=v(x0)<v(e)=e﹣2<1,即 a0∈(0,1) ,当 a=a0 时,有 f′(x0)=0,f (x0)=u(x0)=0. 再由(I)可知:f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增, 当 x∈(1,x0)时,f′(x)<0,∴f(x)>f(x0)=0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)>f(x0)=0; 又当 x∈(0,1],f(x)= ﹣2xlnx>0.

故当 x∈(0,+∞)时,f(x)≥0 恒成立. 综上所述:存在 a∈(0,1) ,使得 f(x)≥0 恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有 唯一解.
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2016 年 10 月 14 日

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