tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学【Word版题库】4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切


4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切
一、填空题 1.设 f(tanx)=tan2x,则 f(2)等于________. 解析 ∵f(tanx)=tan 2 x ? 2tanx ? ∴ f (2) ? 2 ? 2 ? ? 4 . 3 1 ? tan 2 x 1 ? 22 答案 ? 4 3 ? π? 1 2.已知 cos?α - ?= ,则 sin2α 的值为______

__. 4? 4 ? ?π ? π? 7 2? 解析 方法 1:sin2α =cos? -2α ?=2cos ?α - ?-1=- . 4? 8 ?2 ? ? ? π? 2 2 1 方法 2:cos?α - ?= cosα + sinα = . 4? 2 2 4 ? 1 1 1 7 两边平方得, + sin2α = ,∴sin2α =- . 2 2 16 8 7 答案 - 8 1 3 3.若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α tan β =________. 5 5 解析 1 3 由 cos α cos β -sin α sin β = ,cos α cos β +sin α sin β = , 5 5

2 1 1 解得 cos α cos β = ,sin α sin β = ,所以 tan α tan β = . 5 5 2 答案 1 2

? ? π? ? 4 . 已 知 向 量 a = ?sin? α + ? ,1? , b = (4,4cos α - 3 ) , 若 a ⊥ b , 则 6? ? ? ? ? 4π ? sin?α + ?=________. 3 ? ? 解析

a·b =4sin?α + ?+4cos α - 3

? ?

π? 6?

? π? =2 3sin α +6cos α - 3=4 3sin?α + ?- 3=0, 3? ? ? π? 1 所以 sin?α + ?= . 3? 4 ?

? 4π ? ? π? 1 所以 sin?α + ?=-sin?α + ?=- . 3 ? 3? 4 ? ? 答案 - 1 4 .

? 5.已知 ? 为第三象限的角,cos 2? ? ? 3 ? 则 tan ( ? 2? ) ? 5 4

解析 ∵ ? 为第三象限的角,2k ? + ? ? ? ? 2k ? ? 3? ? k ? Z, 2 ∴4k ? +2 ? ? 2? ? 4k ? +3 ? (k ? Z). 又 cos 2? ? ? 3 ? ∴sin 2? ? 4 ? tan 2? ? ? 4 . 5 5 3 ∴tan (? ? 2? ) ? 1 ? tan2? ? ? 1 . 4 1 ? tan2? 7 答案 ? 1 7 6.在△ABC 中,C=120°,tan A+tan B= 解析 2 3,则 tan Atan B 的值为________. 3

tan(A+B)=-tan C=-tan 120°= 3, tan A+tan B = 3, 1-tan Atan B

所以 tan(A+B)=

2 3 3 1 即 = 3.解得 tan Atan B= . 1-tan Atan B 3 答案 1 3 π π 1 5 3 , <β <π ,且 cos α = ,sin β = ,则 β -α 的 2 2 7 14

7.已知 0<α < 值为________. 解析

因为 0<α <

π π , <β <π ,所以 0<β -α <π , 2 2

1 5 3 4 3 11 又 cos α = ,sin β = ,所以 sin α = ,cos β =- , 7 14 7 14 1 π 所以 cos(β -α )= ,所以 β -α = . 2 3 答案 π 3

1 1 8.已知 tan α = ,tan β = ,且 α ,β ∈(0,π ),则 α +2β =________. 7 3 2tan β = 2 1-tan β 3 tan α +tan 2β = ,所以 tan(α +2β )= 1 4 1-tan α tan 2β 1- 9 2 3

解析

tan 2β =

1 3 + 7 4 1 ? π? ? π? = =1.∵tan α = <1,α ∈(0,π ),∴α ∈ ?0, ?,同理 β ∈?0, ?, 3 7 4? 4? ? ? 1- 28 ? 3 ? π ∴α +2β ∈?0, π ?,所以 α +2β = . 4 ? 4 ? 答案 π 4 3 1 ,cos α -cos β = ,则 cos(α -β )的值为 2 2

9.若 sin α -sin β =1- ________. 解析

由 sin α -sin β =1-

3 得: 2

3 7 sin2α -2sin α sin β +sin2β =1- 3+ = - 3.① 4 4 1 1 由 cos α -cos β = 得:cos2 α -2cos α cos β +cos2β = .② 2 4 ①+②得 1+1-2(cos α cos β +sin α sin β )=2- 3, 即 2cos(α -β )= 3,所以 cos(α -β )= 3 2 3 . 2

答案

?π ? ?13π ? 10.已知函数 f(x)=2sin(2x+φ ),若 f? ?= 3,则 f? ?=________. ?4? ? 4 ? 解析 ?π ? ?π ? 3 因为 2sin? +φ ?= 3,所以 sin? +φ ?= , ?2 ? ?2 ? 2 π , 6

所以可取 φ =-

? π ? ?13π ? ?13π π ? ?π π ? π 则 f(x)=2sin?2x- ?,f? ?=2sin? - ?=2sin? - ?=2sin 6? ? 4 ? 6? 6? 3 ? ? 2 ?2 =2× 答案 3 = 3. 2 3 sin?

11. 实数 x, 满足 tan x=x, y=y, x|≠|y|, y tan 且| 则 =________. 解析 所以 因为 tan x=x,tan y=y, sin?

x+y? sin? x-y? - x+y x-y

x+y? sin? x-y? - x+y x-y

sin xcos y+cos xsin y sin xcos y-cos xsin y = - tan x+tan y tan x-tany =cos xcos y-cos xcos y=0. 答案 0 5 10 ,sin B= ,则 A+B 的值为________. 5 10

12.已知 A、B 均为钝角且 sin A= 解析

A、B 均为钝角且 sin A=
2

5 10 ,sin B= , 5 10

得 cos A=- 1-sin2A =- 3

2 5 =- , 5 5 3 10 , 10

cos B=- 1-sin B =-

2

10

=-

所以 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B =- 2 5 ? 3 10? 5 10 2 ×?- ?- × = , 5 10 2 ? 10 ? 5

π π 7π 又因为 <A<π , <B<π ,所以 π <A+B<2π ,故 A+B= . 2 2 4 答案 13.若 7π 4 π π <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为________. 4 2

π π <x< ,∴t>1, 4 2 4 2tan x 2t4 2 2 2 3 ∴y=tan2xtan x= = ≤ =-8. 2 = 2= 1-tan x 1-t 1 1 ? 1 1?2 1 1 - - ? - ?- t4 t2 ?t2 2? 4 4 答案 -8 解析 令 tanx=t,∵ 二、解答题
? 14.已知函数 f(x)=sinx+sin ( x ? )? x ?R. 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最大值和最小值; (3)若 f (? ) ? 3 ? 求 sin 2? 的值. 4 ? ? 解析 f(x)=sinx+sin ( x ? ) =sinx+cos x ? 2 sin ( x ? )? 2 4 (1)f(x)的最小正周期为 T ? 2? ? 2 ? ; 1

(2)f(x)的最大值为 2? 最小值为 ? 2 ; (3)因为 f (? ) ? 3 ? 4 即 sin ? ? cos ? ? 3 ? 所以 1+2sin ? cos ? ? 9 ? 4 16 即 2sin ? cos ? ? ? 7 ? 即 sin 2? ? ? 7 . 16 16 ? 3A 3A? ? A A? 15.A,B,C 是△ABC 的内角,向量 m =?cos ,sin ?,n =?cos ,sin ?满足 2 2? 2? ? ? 2 |m +n |= 3. (1)求角 A 的大小;(2)若 sin B+sin C= 3sin A,试判断△ABC 的形状. 解析 (1)由|m +n |= 3,得 m 2+n 2+2m ·n =3,

? 3A A 3A A? 即 1+1+2?cos cos +sin sin ?=3, 2 2 2 2? ? 所以 cos

A= ,又 0<A<π ,所以 A= .

1 2

π 3

?2π ? 3 (2)因为 sin B+sin C= 3sin A,所以 sin B+sin? -B?= 3× , 2 ? 3 ? 即 3 1 3 sin B+ cos B= , 2 2 2

? π? 3 2π π π 2π π π sin?B+ ?= ,又 0<B< ,所以 B+ = 或 ,所以 B= 或 . 6? 2 3 6 3 3 6 2 ? 因此 B= π π π π 时,C= ;B= 时,C= . 6 2 2 6

故△ABC 为直角三角形. 16.已知向量 a =(m,sin 2x),b =(cos 2x,n),x∈R,f(x)=a ·b ,若函数

f(x)的图象经过点(0,1)和? ,1?.
(1)求 m,n 的值; ? π? (2)求 f(x)的最小正周期,并求 f(x)在 x∈?0, ?上的最小值; 4? ? ?α ? 1 ? π? ? π? (3)若 f? ?= ,α ∈?0, ?时,求 tan?α + ?的值. 4? 4? ?2? 5 ? ? 解析 ?π ? (1)f(x)=mcos 2x+nsin 2x,因为 f(0)=1,所以 m=1.又 f? ?=1, ?4?

?π ?4

? ?

所以 n=1.故 m=1,n=1. ? π? (2)f(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin?2x+ ?,所以 f(x)的最小正周期为 π . 4? ? ? π? π ?π 3π ? 因为 x∈?0, ?,所以 2x+ ∈? , ?, 4? 4 ?4 4 ? ? 所以当 x=0 或 x= π 时,f(x)取最小值 1. 4

?α ? 1 1 (3)因为 f? ?= ,所以 cos α +sin α = , 5 ?2? 5 ? π? 2 ? π? 即 sin?α + ?= ,又 α ∈?0, ?, 4 ? 10 4? ? ? 故α + π ?π π ? ? π? 7 2 ? π? 2 1 ∈? , ?,所以 cos?α + ?= ,所以 tan?α + ?= = . 4 ?4 2? 4 ? 10 4? 7 2 7 ? ?

8 π π 17.已知向量 a =(cos x,sin x),b =( 2, 2),若 a ·b = ,且 <x< . 5 4 2 ? π? ? π? (1)求 cos?x- ?和 tan?x- ?的值; 4? 4? ? ? (2)求 sin 2x? 1-tan x? 1+tan x 的值.

解析

8 8 (1)因为 a ·b = ,所以 2cos x+ 2sin x= , 5 5

? π? 4 π π π π 即 cos?x- ?= .又 <x< ,所以 0<x- < , 4? 5 4 2 4 4 ? ? π? 3 ? π? 3 所以 sin?x- ?= ,tan?x- ?= . 4? 5 4? 4 ? ? ? π? π? 7 2? (2)因为 sin 2x=cos?2x- ?=2cos ?x- ?-1= , 2? 4? 25 ? ? 所以 sin 2x? 1-tan x? 1+tan x ?π ? 21 =sin 2x·tan? -x?=- . 100 ?4 ?

18.在△ABC 中,A、B、C 为三个内角, ?π B? f(B)=4cos B·sin2? + ?+ 3cos 2B-2cos B. ?4 2? (1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?π ? 1-cos? +B? ?2 ? (1)f(B)=4cos B× + 3cos 2B-2cos B 2

解析

=2cos B(1+sin B)+ 3cos 2B-2cos B =2cos Bsin B+ 3cos 2B ? π? =sin 2B+ 3cos 2B=2sin?2B+ ?. 3? ? ? π? π π ∵f(B)=2,∴2sin?2B+ ?=2,∴2B+ = . 3? 3 2 ? ∵0<B<π ,∴B= π . 12

? π? (2)f(B)-m>2 恒成立,即 2sin?2B+ ?>2+m 恒成立. 3? ? ? π? ∵0<B<π ,∴2sin?2B+ ?∈[-2,2],∴2+m<-2. 3? ? ∴m<-4.


推荐相关:

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切教案 理 新人教A版

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦余弦正切教案 理 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§4.5 2014 高考会这样考 两角和与...


【步步高】高考数学一轮复习_4.5两角和与差的正弦、余弦、正切(师)

【步步高】高考数学一轮复习_4.5两角和与差的正弦余弦正切(师)_数学_高中教育_教育专区。文档名中的最后,带有“(生)”的没有答案; 带有“(师)”的文档,...


【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案 理 苏教版

【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案 理 苏教版_数学_高中教育_教育专区。学案 20 两角和与差的正弦余弦和正切公式 ...


【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业:4.5 两角和与 差的正弦、余弦和正切公式

【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业:4.5 两角和与 差的正弦余弦和正切公式_高中教育_教育专区。【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理...


两角和与差的正弦余弦正切公式练习题

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 两角和与差的正弦余弦正切公式练习题_数学_高中教育_教育专区。...


2015高考理科数学《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》练习题

2015高考理科数学两角和与差的正弦余弦和正切公式》练习题_数学_高中教育_教育专区。2015 高考理科数学两角和与差的正弦余弦和正切公式》练习题 [A 组一...


高考数学二轮复习考点详细分类题库:考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换

两角和与差的正弦余弦和正切公式、简单的三角恒等变换_高三数学_数学_高中教育...温馨提示: 此题库Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合 适的观看比例...


2015届高考数学(人教,理科)(二十二) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含14年最新题及答案解析)

2015届高考数学(人教,理科)(二十二) 两角和与差的正弦余弦和正切公式(含14年最新题及答案解析)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(二十二) 两...


2014届高考人教B版数学一轮复习方案课时作业 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版含答案]

2014届高考人教B版数学一轮复习方案课时作业 第20讲 两角和与差的正弦余弦和正切公式 Word版答案]_高中教育_教育专区。2014届高考人教B版数学一轮复习方案课时...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com