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2010届北京市高三一模海淀数学文


海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (文科) 2010.4 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一,选择题:本大题共 8 小题 每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中 选出符合题 选择题: 小题,每小题 在每小题列出的四个选项中,选出符合题 选择题 共 在每小题列出的四个选项中 目要求的一项. 目要求的一项 1. 在复平面内,复数 i (1 i ) ( i 是虚数单位)对应的点位于( A.第一象限
o o

)

B.第二象限
o o

C.第三象限 )

D.第四象限

2. sin 75 cos 30 cos 75 sin 30 的值为(

A. 1

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

3. 已知向量 a, b ,则"a //b"是"a+b=0"的( " A.充分不必要条件 C.充分必要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 A.

S3 S 2 = 1 ,则数列 {a n } 的公差是( ) 3 2
D.3

1 2

B.1

C.2
x

5.在同一坐标系中画出函数 y = log a x, y = a , y = x + a 的图象, 可能正确的是 ( )

y 1
O

y

y

y

1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

O

1 1

x

A

B

C

D

6.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的 左视图的面积为( A. 6 3 B.8 ) C. 8 3 D.12

7.给出下列四个命题: ①若集合 A, B 满足 A I B = A, 则 A B ; ②给定命题 p, q , 若" p ∨ q "为真,则" p ∧ q "为真;

③设 a, b, m ∈ R, 若 a < b, 则 am < bm ;
2 2

④若直线 l1 : ax + y + 1 = 0 与直线 l 2 : x y + 1 = 0 垂直,则 a = 1 . 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

8.直线 2ax + by = 1 与圆 x 2 + y 2 = 1 相交于 A,B 两点(其中 a, b 是实数) ,且 AOB 是直 角三角形(O 是坐标原点),则点 P ( a, b) 与点 (0,1) 之间距离的最大值为( A )

2 +1

B. 2

C.

2

D.

2 1

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题 本大题共 小题, 9. 若 x > 0, 则 y = x +

4 的最小值是____________________. x

10. 已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l : x = 2 的距离相等,则点 P 的轨迹 方程为_________.

y ≤ x 11. 已知不等式组 y ≥ x , 表示的平面区域的面积为 4,点 P ( x, y ) 在所给平面区域内, x ≤ a
则 z = 2 x + y 的最大值为______. 12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们每天平均学习时 间,绘成频率分布直方图 (如图) .则这 100 名同学中学习时间在 6~8 小时内的同学为 _______ 人. 频率/组距
开始

a =2,i=1 i≥20
否 是

x
0.14 0.12 0.05 0.04 2 4 6 8 10 12 小时

a =1

1 a

输出 a 结束

i=i+1

第 12 题

第 13 题图

13. 已知程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是_______________.

14.

若 点 集 A = {( x, y ) | x + y ≤ 1}, B = {( x, y ) | 1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 1} , 则 [ 来
2 2

源:Z#xx#k.Com] (1)点集 P = ( x, y ) x = x1 + 1, y = y1 + 1, ( x1 , y1 ) ∈ A} 所表示的区域的面积为_____; (2)点集 M = ( x, y ) x = x1 + x2 , y = y1 + y2 , ( x1 , y1 ) ∈ A, ( x2 , y2 ) ∈ B} 所表示的区域的面 积为___________ . 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 解答应写出文字说明 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = A sin (ω x + ) , x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0, 其部分图象如图所示. (I)求 f ( x ) 的解析式; (II)求函数 g ( x ) = f ( x +

{

{

π
2

< <

π
2

),

π

π π ) f ( x ) 在区间 0, 上的 4 4 2

最大值及相应的 x 值.

16. (本小题满分 13 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满 100 元可以转动如图所示的圆盘一次,其中 O 为圆心,且标有 20 元, 10 元,0 元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可 能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券.(例如:某顾客消费 了 218 元 ,第一次转动获得了 20 元,第二次获得了 10 元,则其共获得了 30 元优惠券.) 顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动. (I )若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券面额大于 0 元的概率?[来源:Zxxk.Com] (II)若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券金额不低于 20 元的概率?

20元 20 元 10元 10 元 0元

17. (本小题满分 14 分) 如图:在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ∠ABC = 60°, PA ⊥ 平面 ABCD, 点 M , N 分别为 BC , PA 的中点,且 PA = AB = 2 .[来源:学&科&网 Z&X&X&K] (I) 证明: BC ⊥平面 AMN ; (II)求三棱锥 N AMC 的体积; (III)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE ;若存在, 求出 PE 的长;若不存在,说明理由.
B M C P

N A

D

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x 2 1 与函数 g ( x) = a ln x( a ≠ 0) . (I)若 f ( x), g ( x) 的图象在点 (1,0) 处有公共的切线,求实数 a 的值; (II)设 F ( x) = f ( x) 2 g ( x) ,求函数 F (x) 的极值.

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 椭圆上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若 AOB 的面积为 求圆心在原点 O 且与直线 l 相 切的圆的方程.

1 3 , 且点(1, )在该 2 2

6 2 , 7

20. (本小题满分 13 分)

1 + 2a n , n为偶数, 2 已知数列 {an } 满足: a1 = 1 , an = , 1 + 2a n 1 , n为奇数, 2 2

n = 2, 3, 4,L.

(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ)设 bn = a2n1 + 1 , n = 1, 2, 3... ,求证:数列 {bn } 是等比数列,并求出其通项公式; (III)对任意的 m ≥ 2, m ∈ N * ,在数列 {an } 中是否存在连续的 2m 项构成等差数列?若存 .. 在,写出这 2 项,并证明这 2 项构成等差数列;若不存在,说明理由.
m m

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(文) 2010.4 .

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分, 得超过原题分数. 说明: 合理答案均可酌情给分,但不 得超过原题分数. 选择题 第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分) 一,选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( 小题, 选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6[来 源:Zxxk.Com] A

7 B

8 A

第 II 券(非选择题 共 110 分) 小题, 有两空的小题, 二,填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 填空题( 30 分) 9.4 10. y 2 = 8 x 11.6 12.30 13.

1 2

14. π , 12 + π

15.(本小题满分 13 分) 解: (I)由图可知,A=1

…………1 分 ……………2 分 ……………3 分

T π = , 所以 T = 2π 4 2 所以 ω = 1
又 f ( ) = sin(

π

π

4

所以 =

π
4

4

+ ) = 1 ,且

π
2

< <

π
2
……………5 分

所以 f ( x ) = sin( x +

π
4

).

……………6 分

(II)由(I) f ( x ) = sin( x + 所以 g ( x ) = f ( x +

π
4

),

) f ( x ) = sin( x + + ) sin( x + ) 4 4 4 4 4 4 π = sin( x + ) sin x ……………8 分 2 = cos x sin x ……………9 分 1 = sin 2 x ……………10 分 2

π

π

π

π

π

π

因为 x ∈ [0, 故:

π

2

] ,所以 2 x ∈ [0, π ] , sin 2 x ∈ [0,1]

1 1 sin 2 x ∈ [0, ] , 2 2

当x=

π
4

时, g (x ) 取得最大值

1 . 2

…………… 13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (I)设"甲获得优惠券"为事件 A ………… … 1 分 因为假定指针停在任一位置都是等可能的,而题中所给的三部分的面积相等, 所以指针停在 20 元,10 元,0 元区域内的概率都是

1 . 3

…………… 3 分

顾客甲获得优惠券,是指指针停在 20 元或 10 元区域, 根据互斥事件的概率,有 P ( A) =

1 1 2 + = , 3 3 3 2 . 3

…………… 6 分

所以,顾客甲获得优惠券面额大于 0 元的概率是

(II)设"乙获得优惠券金额不低于 20 元"为事件 B …………… 7 分 因为顾客乙转动了转盘两次,设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为 x 元,[来 源:Z|xx|k.Com] 第二次获得优惠券金额为 y 元,则基本事件空间可以表示为:

= {(20, 20), (20,10), (20, 0), (10, 20), (10,10), (10, 0), (0, 20), (0,10), (0, 0)} ,
…………… 9 分 即 中含有 9 个基本事件,每个基本事件发生的概率为 而乙获得优惠券金额不低于 20 元,是指 x + y ≥ 20 , 所以事件 B 中包含的基本事件有 6 个, 所以乙获得优惠券额不低于 20 元的概率为 P ( B ) = 答:甲获得优惠券面额大于 0 元的概率为 率为 ………… 11 分

1 . ………… 10 分 9

6 2 = 9 3

………… 13 分

2 ,乙获得优惠券金额不低于 20 元的概 3

2 . 3

17. (本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ) 因为 ABCD 为菱形,所以 AB=BC 又 ∠ABC = 60 ,所以 AB=BC=AC,
o

……………1 分 …………… 2 分 …………… 4 分 …………… 5 分 …………… 6 分

又 M 为 BC 中点,所以 BC ⊥ AM 而 PA ⊥ 平面 ABCD, BC 平面 ABCD,所以 PA ⊥ BC 又 PA I AM = A ,所以 BC ⊥ 平面 AMN (II)因为 S AMC =

1 1 3 AM CM = × 3 × 1 = 2 2 2

又 PA ⊥ 底面 ABCD, PA = 2, 所以 AN = 1 所以,三棱锥 N AMC 的体积 V =

1 S AMC AN 3

………… 8 分

1 3 3 = × ×1 = 3 2 6
(III)存在 取 PD 中点 E,连结 NE,EC,AE, 因为 N,E 分别为 PA,PD 中点,所以 NE // 又在菱形 ABCD 中, CM / /

………… 9 分 …………… 10 分

1 AD 2

…………… 11 分

1 AD 2
…………… 12 分[来

所以 NE//MC ,即 MCEN 是平行四边形 源:Z+xx+k.Com] 所以, NM // EC , 又 EC 平面 ACE , NM 平面 ACE 所以 MN // 平面 ACE , 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE , 此时 PE =

…………… 13 分

1 PD = 2 . 2

…………… 14 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f (1) = 0, g (1) = 0 , 所以点 (1,0) 同时在函数 f ( x ), g ( x) 的图象上 因为 f ( x) = x 2 1, g ( x ) = a ln x , f '( x ) = 2 x , …………… 1 分 ……………3 分 ……………5 分

g '( x) =

a x a ,即 a = 2 1

由已知,得 f ' (1) = g ' (1) ,所以 2 =

……………6 分 ……………7 分

(II)因为 F ( x ) = f ( x ) 2 g ( x ) = x 2 1 2a ln x ( x > 0) 所以 F ' ( x ) = 2 x 当 a < 0 时, 因为 x > 0 ,且 x 2 a > 0, 所以 F ' ( x ) > 0 对 x > 0 恒成立, 所以 F (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增, F (x ) 无极值 当 a > 0 时, 令 F ' ( x ) = 0 ,解得 x1 =

2 a 2( x 2 a ) = x x

……………8 分

……………10 分;

a , x2 = a (舍)

……………11 分

所以当 x > 0 时, F '( x ), F ( x ) 的变化情况如下表:

x
F ' ( x) F (x)

(0, a )

a
0 极小 值

( a , +∞)
+



……………13 分 所以当 x =

a 时, F ( x) 取得极小值,且
……………14 分

F ( a ) = ( a ) 2 1 2a ln a = a 1 a ln a .
综上,当 a < 0 时,函数 F (x ) 在 (0,+∞) 上无极值; 当 a > 0 时,函数 F ( x ) 在 x = 19. (本小题满分 13 分) 解: (I)设椭圆 C 的方程为
2 2 2

a 处取得极小值 a 1 a ln a .

x2 y2 c 1 + 2 = 1, (a > b > 0) ,由题意可得 e = = 2 a 2 a b
2

,

又 a = b + c ,所以 b =

3 2 a 4 9 1 + 4 =1 a2 3 a2 4

……………2 分

3 因为椭圆 C 经过(1, ) ,代入椭圆方程有 2
解得 a = 2 所以 c = 1 , = 4 1 = 3 故椭圆 C 的方程为 b
2

……………4 分

x2 y 2 + = 1. 4 3

……………5 分[来

源:学科网 ZXXK] (Ⅱ)解法一: 当直线 l ⊥ x 轴时,计算得到: A( 1, ), B ( 1, ) ,

3 2

3 2

1 1 3 S AOB = | AB | | OF1 |= ×1× 3 = ,不符合题意. 2 2 2
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y = k ( x + 1) , k ≠ 0

……………6 分

y = k ( x + 1) 由 x2 y2 ,消去 y ,得 + =1 3 4

(3 + 4k 2 ) x 2 + 8k 2 x + 4k 2 12 = 0

…………7 分

显然 > 0 成立,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,

则 x1 + x2 = 又 | AB |=

8k 2 , 3 + 4k 2

x1 x2 =

4k 2 12 3 + 4k 2

……………8 分

( x1 x2 ) 2 + ( y1 y2 ) 2 = ( x1 x2 ) 2 + k 2 ( x1 x2 ) 2

= 1 + k 2 ( x1 x2 )2 = 1 + k 2 ( x1 + x2 ) 2 4 x1 x2 [来源:Z.xx.k.Com]
= 1+ k
2

64k 4 4(4k 2 12) (3 + 4k 2 ) 2 3 + 4k 2
2

……………9 分

12 k 2 + 1 12(k 2 + 1) = 即 | AB |= 1 + k 3 + 4k 2 3 + 4k 2
又圆 O 的半径 r =

| k ×0 0+ k | 1+ k
2

=

|k| 1+ k 2

……………10 分

所以 S AOB =

1 1 12(k 2 + 1) | k | 6 | k | 1+ k 2 6 2 | AB | r = = = ……………11 分 2 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 7 1+ k 2
4 2

化简,得 17 k + k 18 = 0 ,即 ( k 2 1)(17 k 2 + 18) = 0 , 解得 k1 = 1, k 2 =
2 2

18 (舍) 17

……………12 分

所以, r =

|k| 1+ k 2

=

2 1 2 2 ,故圆 O 的方程为: x + y = . 2 2

……………13 分

(Ⅱ)解法二 解法二: 解法二 设直线 l 的方程为 x = ty 1 ,

x = ty 1 由 x2 y 2 ,消去 x,得 (4 + 3t 2 ) y 2 6ty 9 = 0 =1 + 3 4
因为 > 0 恒成立,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 则 y1 + y2 =

……………7 分

6t 9 , y1 y2 = 2 4 + 3t 4 + 3t 2

……………8 分

所以 | y1 y2 |=

( y1 + y2 )2 4 y1 y2 36t 2 36 12 t 2 + 1 + = (4 + 3t 2 ) 2 4 + 3t 2 4 + 3t 2
……………9 分

=

所以 S AOB

1 6 t2 +1 6 2 = | F1O | | y1 y2 |= = 2 4 + 3t 2 7

化简得到 18t t 17 = 0 ,即 (18t + 17)(t 1) = 0 ,
4 2

2

2

解得 t1 = 1, t2 =
2

2

17 (舍) 18

…………11 分

又圆 O 的半径为 r =

| 0 t × 0 + 1| 1+ t
2

=

1 1+ t2

……………12 分

所以 r =

1 1+ t
2

=

2 1 2 2 ,故圆 O 的方程为: x + y = 2 2 1 5 + 2a1 = , 2 2

……………13 分.

20.(本小题满分 13 分)
解: (Ⅰ)因为 a1 = 1 ,所以 a2 = 1 + 2a1 = 3 , a3 =

a4 = 1 + 2a2 = 7 , a5 =

1 13 + 2 a2 = 2 2

…………3 分

(Ⅱ)由题意,对于任意的正整数 n , bn = a2n1 + 1 , 所以 bn +1 = a2n + 1 又 a2n + 1 = (2a 2n + 1) + 1 = 2( a2n1 + 1) = 2bn
2

…………4 分

所以 bn +1 = 2bn 学|科|网 Z|X|X|K] 又 b1 = a211 + 1 = a1 + 1 = 2 所以 {bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 bn = 2
n

…………6 分[来源:

…………7 分 …………8 分

(III)存在. 事实上, 对任意的 m ≥ 2, k ∈ N * ,在数列 {an } 中,

a2m , a2m +1, a2m + 2, ...., a2m + 2m 1 这连续的 2m 项就构成一个等差数列
我们先来证明:

……10 分

"对任意的 n ≥ 2, n ∈ N * , k ∈ (0, 2 n 1 ), k ∈ N * ,有 a2n1 + k = 2 1
n

k " 2

由(II)得 bn = a2n1 + 1 = 2 ,所以 a2n1 = 2 1 .[来源:学|科|网]
n n

当 k 为奇数时, a2n1 + k =

1 1 + 2a 2n1 + k 1 = + 2a n2 k 1 2 + 2 2 2 2
2n2 + 2
k 2

当 k 为偶数时, a2n1 + k = 1 + 2a 2n1 + k = 1 + 2a

k k为偶数, 2, 记 k1 = k 1 , k为奇数, 2
因此要证 a2n1 + k = 2 1
n

k k n 1 ,只需证明 a2n2 + k = 2 1 1 , 1 2 2

其中 k1 ∈ (0, 2

n2

), k1 ∈ N *
n 1
1

(这是因为若 a2n2 + k = 2 有 a2n1 + k =

1

k1 k 1 ,则当 k1 = 时,则 k 一定是奇数, 2 2

1 1 + 2a 2n1 + k 1 = + 2a n2 k 1 2 + 2 2 2 2
k 1 1 k 1 k n 1 n 1 n = + 2( 2 1 1 ) = + 2( 2 1 2 ) = 2 1 ; 2 2 2 2 2

当 k1 =

k 时,则 k 一定是偶数,有 a2n1 + k = 1 + 2a 2n1 + k = 1 + 2a n2 k 2 + 2 2 2

k k1 k n 1 n 1 n ) = 1 + 2( 2 1 ) = 1 + 2( 2 1 2 ) = 2 1 2 2 2 k k n 1 n2 如此递推,要证 a2n2 + k = 2 1 1 , 只要证 明 a2n3 + k = 2 1 2 , 1 2 2 2

k1 k1为偶数, 2, n 3 * 其中 k 2 = , k 2 ∈ (0, 2 ), k2 ∈ N k1 1 , k 为奇数, 1 2
如此递推下去, 我们只需证明 a21 + k 即 a21 +1 = 2 1
2
n 2

= 22 1

kn2 1 * , k n 2 ∈ (0, 2 ), kn 2 ∈ N 2

1 1 5 5 = 3 = ,即 a3 = ,由(I)可得, 2 2 2 2
n

所以对 n ≥ 2, n ∈ N * , k ∈ (0, 2 n 1 ), k ∈ N * ,有 a2n1 + k = 2 1 对任意的 m ≥ 2, m ∈ N * ,

k , 2

i i +1 a2m +i = 2 m +1 1 , a2m +i +1 = 2m +1 1 ,其中 i ∈ (0,2 m 1), i ∈ N * , 2 2 1 所以 a2m +i +1 a2m +i = 2 1 1 m +1 m +1 1 ,所以 a2m +1 a2m = 又 a2 m = 2 1 , a2 m +1 = 2 2 2

所以 a2m , a2m +1, a2m + 2, ...., a2m + 2m 1 这连续的 2 项, 是首项为 a2m = 2
m +1

m

1 1 ,公差为 的等差数列 . 2
* *

…………13 分

说明:当 m2 > m1 (其中 m1 ≥ 2, m1 ∈ N , m2 ∈ N )时, 因为 a
m2

2

, a2

m2

+1

, a2

m2

+2

,..., a2

m2

+2

m2

1

构成一个项数为 2
m1

m2

的等差数列,所以从这个数

列中任取连续的 2 项,也是一个项数为 2 ,公差为
m1

1 的等差数列. 2

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