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3.1 导数的概念及其运算 练出高分(含答案解析)


§ 3.1

导数的概念及其运算

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0 答案 B 解析 f′(x)=4ax3+2bx, ( )

∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2,∴f′(-1)=-2. 2. 已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于 A.e2 答案 B 解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1, ln 2 B.e C. 2 D.ln 2 ( )

由 f′(x0)=2,即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 3. 若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 答案 A 解析 切线 l 的斜率 k=4,设 y=x4 的切点的坐标为(x0,y0),则 k=4x3 0=4,∴x0=1, ∴切点为(1,1), 即 y-1=4(x-1),整理得 l 的方程为 4x-y-3=0. 1 1 4. 若曲线 y=x- 在点(a,a- )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a 2 2 等于 A.64 B.32 C.16 D.8 ( ) B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0 ( )

答案 A 1 1 3 解析 ∵y=x- ,∴y′=- x- , 2 2 2 1 1 3 ∴曲线在点(a,a- )处的切线斜率 k=- a- , 2 2 2 1 1 3 ∴切线方程为 y-a- =- a- (x-a). 2 2 2 3 1 令 x=0 得 y= a- ;令 y=0 得 x=3a. 2 2 ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 3 1 9 1 S= · 3a·a- = a =18,∴a=64. 2 2 2 4 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 5. 若以曲线 y= x3+bx2+4x+c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则 3 实数 b 的取值范围为__________. 答案 [-2,2]

解析 y′=x2+2bx+4,∵y′≥0 恒成立, ∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤2. π? ?π?=________. 6. 设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′? sin x + cos x ,则 f ′ ?2? ?4? 答案 - 2 π? 解析 因为 f(x)=f′? ?2?sin x+cos x, π? 所以 f′(x)=f′? ?2?cos x-sin x, π? π π ?π? 所以 f′? ?2?=f′?2?cos 2-sin 2, π? 即 f′? ?2?=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x, π? π π 故 f′? ?4?=-cos 4-sin 4=- 2. 7. 已知函数 f(x),g(x)满足 f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(x)=1,则函数 y= 象在 x=5 处的切线方程为____________. 答案 5x-16y+3=0 f?x?+2 解析 由 y= =h(x)知 g?x? f′?x?g?x?-?f?x?+2?g′?x? y′=h′(x)= , [g?x?]2 f?x?+2 的图 g?x?

f′?5?g?5?-?f?5?+2?g′?5? 得 h′(5)= [g?5?]2 = 3×4-?5+2?×1 5 = . 42 16

f?5?+2 5+2 7 又 h(5)= = = , 4 4 g?5? 7 5 所以切线方程为 y- = (x-5), 4 16 即 5x-16y+3=0. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第 三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1,

由已知令 3x2+1=4,解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). 1 (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 1 9 9. (12 分)已知函数 f(x)= x在 x= 处的切线为 l,直线 g(x)=kx+ 与 l 平行,求 f(x)的图象 4 4 上的点到直线 g(x)的最短距离. 解 因为 f(x)= x,所以 f′(x)= 1 . 2 x

1? 1 ?1 1? 所以切线 l 的斜率为 k=f′? ?4?=1,切点为 T?4,2?.所以切线 l 的方程为 x-y+4=0. 9 因为切线 l 与直线 g(x)=kx+ 平行, 4 9 所以 k=1,即 g(x)=x+ . 4 9 1 9 f(x)的图象上的点到直线 g(x)=x+ 的最短距离为切线 l:x-y+ =0 与直线 x-y+ =0 4 4 4 之间的距离,

所以所求最短距离为

?9-1? ?4 4?
2

= 2. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f′(x)的大致图象是( )

答案 A b b2 x+ ?2- +c, 解析 ∵f(x)=x2+bx+c=? ? 2? 4 b 由 f(x)的图象的顶点在第四象限得- >0,∴b<0. 2 又 f′(x)=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选 A. π ? sin x 1 2. (2011· 湖南)曲线 y= - 在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为 sin x+cos x 2 1 A.- 2 答案 B cos x?sin x+cos x?-?cos x-sin x?sin x 解析 ∵y′= ?sin x+cos x?2 = 1 π 1 2.故 y′|x= = , 4 2 ?sin x+cos x? 1 B. 2 C.- 2 2 D. 2 2 ( )

π ? 1 ∴曲线在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为2. 4 3.已知点 P 在曲线 y= x 上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 α 的取值范围是( e +1 π? A.? ?0,4? π 3π? C.? ?2, 4 ? 答案 D 解析 设曲线在点 P 处的切线斜率为 k, -4ex -4 则 k=y′= x . 2= 1 ?e +1? ex+ x+2 e 因为 ex>0,所以由基本不等式可得 π π? B.? ?4,2? 3π ? D.? ? 4 ,π? )

k≥ 2

-4 =-1. 1 ex·x+2 e

又 k<0,所以-1≤k<0,即-1≤tan α<0. 3π 所以 ≤α<π.故选 D. 4 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 1 4. 若函数 f(x)=- x3+ f′(1)x2-f′(2)x+5,则曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线 l 的方程为 3 2 ________. 答案 x-y+5=0 解析 f′(x)=-x2+f′(1)· x-f′(2),

? ?f′?1?=-1+f′?1?-f′?2? ∴? , ? ?f′?2?=-4+2f′?1?-f′?2?

∴f′(2)=-1,f′(1)=1. 1 1 ∴f(x)=- x3+ x2+x+5,f′(x)=-x2+x+1. 3 2 ∴f′(0)=1,f(0)=5. ∴曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=x+5. 5. 已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x) 在点 P 处的切线方程是__________. 答案 x-y-2=0 解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线 的斜率 k=f′(2)=1,又过点 P(2,0), 所以切线方程为 x-y-2=0. 6. 曲边梯形由曲线 y=x2+1,y=0,x=1,x=2 所围成,过曲线 y=x2+1,x∈[1,2]上一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为 __________. 3 13? 答案 ? ?2, 4 ?
2 2 解析 设 P(x0,x2 0+1),x∈[1,2],则易知曲线 y=x +1 在点 P 处的切线方程为 y-(x0

+1)=2x0(x-x0),
2 令 y=2x0(x-x0)+x0 +1=g(x),

由 g(1)+g(2)=2(x2 0+1)+2x0(1-x0+2-x0), g?1?+g?2? 得 S 普通梯形= ×1=-x2 0+3x0+1 2

3?2 13 =-? ?x0-2? + 4 , 3 13? 所以当 P 点坐标为? ?2, 4 ?时,S 普通梯形最大. 三、解答题 b 7. (13 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并 求此定值. 解 7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4

1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x b 1 2a- = , ?a=1, 2 2 ? 3 于是 解得? 故 f(x)=x- . x b 7 ? b = 3. ? a+ = , 4 4

? ? ?

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y- x 3? y0=? ?1+x2?(x-x0),
0

3 3 x0- ?=?1+ 2?(x-x0). 即 y-? x x ? ? ? ?
0 0

6 令 x=0,得 y=- , x0 6 0,- ?. 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? x ? ?
0

令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1 6? - |2x |=6. 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面 积为S= ? 2? x0? 0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为定值, 且此定 值为 6.


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