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江西省师范大学附属中学、鹰潭一中2016届高三4月联考数学(理)试题 Word版含答案


江西师大附中、鹰潭一中联考(高三理科数学试卷) 师大附中 冯有兵 鹰潭一中 艾志辉 满分:150 分 考试时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.已知集合 A. (0,2] 2.若复数
M ? {x |


,则. M ? N ? ( 2? x ? 0}, N ? { y | y ? ln x} x ?1 B. (?1,2] C. (?1,??) D.R



(1+ai)

2

- 2i

( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = ( D. ± 1 )



A. 1 B. - 1 3.式子 A. 3

C. 0

的最小值为( 1 1 ? ( ? ? R ) 2 ? cos 2 ? 2 ? sin 2 ? B. 3 C. 4 D. 2

4

2

3
) D. 2

3
y ? x , y ? x 2 (0 ? x ? 1) 围成,在正方形内随机取一点,则此

4.如图,在正方形 OABC 内,阴影部分是由两曲线 点取自阴影部分的概率是( A. 1 B. 1 C. 1

6

3

2

3

5.已知中心在原点的双曲线 C 的离心率等于

3 4 ,其中一条准线方程 x ? ? ,则双曲线 C 的方程是( 3 2
2 2



x y x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 B. D. ? ? ? 1 C. ? ? ?1 2 5 2 5 4 5 6.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 5, 则输出 s 的值为( )
开始 输入 n
i ? 1, s ? 1

x2 y 2 ? ?1 A. 4 5

i?n




s ? s ? ? i ?1?
i ? i ?1
第 6 题图

输出 s 结束

A. 9

B.10

C.11

D.12
-1-

7.已知等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ,满足 S ? S ,且 a ? 0 ,则 S 中最大的是( 1 5 9 n n n A. S
6



B. S

7

C. S

8

D. S

15

8.某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每 车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置) ,其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名 同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有( A. 24 种 9. B. 18 种 ) D.-160 C. 48 种 展开式中常数项为( 1 ? 2) 5 x B.-252 ) D. 36 种

(x ?

A.252 10.命题

C.160

p : sin ? ?


1 1 无实数解. 则下列命 1 1 ? 无实数解,命题 q : ex ? ? ln x ? x ? tan ? ? (0 ? ? ? ) ln x e tan ? sin ? 4
C. p 且(? q ) D. p 且 q )

题错误的是(
10

A. p 或 q

B. (? p )或 (?q )

11.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为(
8

6

4

2

A. 1

B. 1
5

C. 1

10

D. 4

15

6

3

2

3
) B. 2016 f (2016) ? 2015 f (2015)
3 3 D. 2015 f (2015) ? 2016 f (2016)

12 .已知 f ( x) 是定义域,值域都为 (0, ??) 的函数, 满足 2 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,则下列不等式正确的是( 2 A. 2016 f (2016) ? 2015 f (2015)
4

3 3 C. 2015 f (2015) ? 2016 f (2016)

第Ⅱ卷
6

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生必须做答.第 22 题~第 24 题为选

考题,考生根据要求做答.
8 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. r r r 1 3 r 13.已知向量 a ? ( , ? ), b ? (1, 0) ,则 b 在 a 上的投影等于______________. 10

2 ? x? y?2?0 ? 2 2 14.x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 x ? y 的取值范围为____________. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

2

15.已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? ,沿对角线 BD 折成二面角为 120 ? 的四面体,则四面体的外接 球的表面积为________. 16.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3(a ? c) ? b, A ? C ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,数列 {a },{b } 分别满足 a ? f (n), b ? f (b ) ,且 b ? 1 . 定义 x ? [ x] ? ( x) ,[ x] 为实数 x n n n n n ?1 1 的整数部分, ( x) 为小数部分,且 0 ? ( x) ? 1 .
-2-

?
3

,则角 B ? ______________.

(1)分别求 {a },{b } 的通项公式; n n (2)记 c ? n
( an ,求数列 {cn } 的前项 n 和. ) bn ? 1

-3-

18. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 120? .点 E 是棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . (1)求证:AB∥EF; (2)若 PA ? PD ? AD ? 2 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值.
P F D A E C B

19.某校课改实行选修走班制,现有甲,乙,丙,丁四位学生准备选修物理,化学,生物三个科目. 每位学生只选修一个科目,且选修其中任何一个科目是等可能的. (1)恰有 2 人选修物理的概率; (2)选修科目个数 ? 的分布列及期望. 20.已知抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,M 为抛物线 C 上一动点, A(a,0)(a ? 0) 为其对称轴上一点, 直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N.当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时,△MON 的 面积为 18. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)记 ,试求出所有“稳定点” ,若 1 1 ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点” t? ? AM AN

没有,请说明理由. 21. 已知函数 f ( x ) ?
x . ln(1 ? x )

1 x ? 1; 2 (2)当 x ? ?1 ,且 x ? 0 时,不等式 (1 ? kx) f ( x) ? 1 ? x 成立,求实数 k 的值.

(1)当 x ? 0 时,证明: f ( x) ?

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题 目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使 BC ? CD , 过C作圆O的切线交AD于E.若 AB ? 6 , ED ? 2 . (1)求证: CE ? AD ; (2)求BC的长.

-4-

A O. B
第 22 题 图

E D C

23.选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 2 cos t 已知曲线 C 的参数方程为 ? (t 为参数),C 在点 ?1,1? 处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极 ? ? y ? 2 sin t

轴建立极坐标系. (1)求 l 的极坐标方程; (2)过点 M (? ,
1 3 ) 任作一直线交曲线 C 于 A, B 两点,求 | AB | 的最小值. 4 4

24.选修 4-5:不等式选讲: 设函数

f ( x) ?| x ?

.(I)证明: f ( x) ? 4 ; (II)若 f (2) ? 5 ,求 a 的取值范围. 4 | ? | x ? a | ( a ? 0) a

-5-

答案: 1 B 2 B 3 C 4 B 5 B 6 C 7 B 8 A 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合 A. (0,2] ,则 M ? N ? ( 2? x ? 0}, N ? { y | y ? ln x} x ?1 C. (?1,??) D. R ) 9 A 10 D 11 D 12 D

M ? {x |

B. (?1,2]

解析: M ? {x | ?1 ? x ? 2}, N ? R . 选 B. 2. 若复数 A. 1

(1+ai)

2

- 2i

(为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = ( C. 0 .选 B ) D. ± 1



B. - 1

解析:原式 1 ? a 2 ? 2ai ? 2i ,由题意 a ? ?1 3.式子 A. 3

的最小值为( 1 1 ? (? ? R) 2 2 2 ? cos ? 2 ? sin ? B. 3 C.

4

2

4 3

D. 2

3

解析:法一,利用不等式 1
2 2

x k? ? sin ? ? cos ? ? (k ? Z ) 时,等号成立. 选 C ,即 ? ? 2 4
法二,直接通分,

?

1 4 , 1 1 4 4 ? ? ? ? ,当且仅当 2 2 2 2 y x? y 2 ? cos ? 2 ? sin ? 4 ? (sin ? ? cos ? ) 3

1 1 4 ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? = 2 ? cos2 ? 2 ? sin 2 ? 4 ? 2(sin 2 ? ? cos2 ? ) ? sin 2 ? cos2 ?

?

3

当且仅当

1 2 ? sin 2 2? 4 sin 2 ? ? cos2 ?

?

4, 3

,即 ? ?

k? ? ? (k ? Z ) 时,等号成立.选 C 2 4

4. 如图,在正方形 OABC 内,阴影部分是由两曲线 点取自阴影部分的概率是( )

y ? x , y ? x 2 (0 ? x ? 1) 围成,在正方形内随机取一点,则此

-6-

A. 1

B. 1

C. 1

D. 2

6

3

2

3

解析:阴影部分面积

S ? ? ( x ? x 2 )dx
0

1

3 1 1 ,由几何概型知,选 B. 2 1 ? ( x 2 ? x3 ) | ? 0 3 3 3 3 5.已知中心在原点的双曲线 C 的离心率等于 ,其中一条准线方程 4 ,则双曲线 C 的方程是 ( 2 x?? 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y ? ? 1 B. ? ? ?1 A. D. ? 1 C. ? ?1 4 2 5 5 4 5 2 5 解析:依题意 c ? 3 , a ? 2 ,从而 a 2 ? 4 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 5 ,故选 B.

)

6.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 5, 则输出 s 的值为( 开始 输入 n
i ? 1, s ? 1



i?n




s ? s ? ? i ?1?
i ? i ?1
第 6 题图

输出 s 结束

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

解析:第一次循环后: s ? 1, i ? 2 ; 第二次循环后: s ? 2, i ? 3 ; 第三次循环后: s ? 4, i ? 4 ; 第四次循环后: s ? 7, i ? 5 ;第五次 循环后: s ? 11 , i ? 6 ,故输出 11. 选 C. 7.已知等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ,满足 S ? S , 5 9 n n 且 a ? 0 ,则 S 中最大的是( 1 n A. S 6 B. S 7 ) D. S 15

C. S 8

解析:由 S ? S ,得 a ? a ? a ? a ? 0 ,由 a ? 0 知, a ? 0, a ? 0 ,所以 S 最大,选 B. 1 5 9 7 8 6 7 8 9 7 8. 某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽 车,每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置) ,其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有( A. 24 种 B. 18 种 C. 48 种 解析:分类讨论,有 2 种情形.孪生姐妹乘坐甲车 ,则有 共有 24 种. 选 A.
-7-

) D. 36 种

2 1 1 1 1 1 C3 C2C2 ? 12 . 孪生姐妹不乘坐甲车,则有 C3 C2C2 ? 12 .

9. ( x ?

展开式中常数项为( 1 ? 2) 5 x B. 252

) D. 160
1 1

A. -252 解析:

C. -160

(10? r ) ? r r 2 r 5? r 1 1 10 (?1) r x 2 ? (?1) r C10 x ( x ? ? 2)5 ? ( x ? ) . 展开式通项公式 Tr ?1 ? C10 x x x

当且仅当 10.命题

r ?5

时,

-252

为常数项. 选 A.

p : sin ? ?

1 1 ? 无实数解,命题 ? tan ? ? (0 ? ? ? ) tan ? sin ? 4
) C. p 且(? q ) D.

q : ex ?

1 1 无实数解. 则下列 ? ln x ? x ln x e

命题错误的是( A. p 或 q 解析:

B. (? p )或 (?q )

p 且q

f ( x) ? x ?

1 在 (0,1) 单调递减,由 0 ? sin ? ? tan ? ? 1 得 x

sin ? ?

x

1 1 ? ,命题 p 为真; ? tan ? ? (0 ? ? ? ) sin ? tan ? 4

x 1 1 ln x ? e x ,当 x ? 0 时,易知 e ? ln x ? 0 x e ? ? ln x ? x ? e ? ln x ? x ln x e e ln x



ln x ? ?

1 的 图 像 知 , 存 在 x0 ? (0,1) , 使 1 , 由 同 一 坐 标 系 中 y ? ln x , 1 ,故 y ? ? ln x ? ? 0 ex ex e x0

ex ?

1 1 有实数解,命题 q 为假.选 D. ? ln x ? x ln x e
) C. 1 D. 4

11.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为( A.

1 6

B. 1

3
10

3

解析:由题意,原几何体为三棱锥,如图所示.

1 1 4 . 选 D. V ? ? ? 2? 2? 2 ? 3 2 3
8

6

4

2

5

12.已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 的函数,且 f ( x) ? 0 . 满足 2 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,则下列不等式正确的是(
2 A. 2016f (2016 ) ? 2015f (2015 )

5

10

15



B. 2016f (2016 ) ? 2015f (2015 )
3 3 D. 2015 f (2015 ) ? 2016 f (2016 )

C.

2 2 解 析 : 构 造 函 数 g ( x) ? x f ( x), g?( x) ? 2xf ( x) ? x f ?( x) ? 0 , 所 以 g ( x) 在 (0,??) 单 调 递 增 , 所 以 2 2015 f (2015 ) ? 20162 f (2016 ) ,结合不等式性质. 选 D. 6

3 3 2015 f( 2015 ) ? 2016 f (2016 ) 4

-88

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答.第 22 题~第 24 题为选考 题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. r r r 1 3 r 13.已知向量 a ? ( , ? ), b ? (1, 0) ,则 b 在 a 上的投影等于______________. 2 2 解析:由定义,

| b | cos ? a, b ??

a ?b |a|

?

1 2

. 答数 1 .

2

? x? y?2?0 ? 2 2 14.x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 x ? y 的取值范围为____________. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

解析:如图,约束条件对应的可形域为 ?BCD 所围成的阴影部分,则目标函数对应的范围为 0 ? x 2 ? y 2 ? 8

15.已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中,?BAD ? 60? ,沿对角线 BD 折成二面角为 120? 的四面体,则四面体的外接 球的表面积为________.

解析:如图 1,取 BD 的中点 E, 连 AE, CE. 由已知条件, 面 ACE ? 面 BCD . 则外接球球心在面 ACE 内,如图 2,

OG ? CE , OE 垂直平分 AC ,其中 CG ? 2GE ,

?CEA ? 120? . 分别解 ?OCG, ?EGO 得 R ? OC ? OA ? 7 ,外接球的表面积为 28? .
16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 3(a ? c) ? b, A ? C ? 解析:

?
3

,则 B ? _________________.

sin A ? sin(

A?C A?C A?C A?C A?C A?C , ? ) ? sin cos ? cos sin 2 2 2 2 2 2

sin C ? sin(

A?C A?C A?C A?C A?C A?C , - ) ? sin cos -cos sin 2 2 2 2 2 2
-9-

两式相减得

sin A ? sin C ? 2 cos

A?C A?C . sin 2 2

由正弦定理得

B 3 ?. 3(sin A ? sin C) ? sin B ? 3 cos A ? C sin A ? C ? 2 sin B cos B ? cos ? ?B? 2 2 2 2 2 2 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,数列 {a },{b } 分别满足 a ? f (n),b ? f (b ) ,且 b ? 1 . 定义 x ? [ x] ? ( x) , [ x ] 1 n n n n n?1 为实数 x 的整数部分, ( x ) 为小数部分,且 0 ? ( x) ? 1 . (1)分别求 {a },{b } 的通项公式; n n (2)记 c ? n 解析: (1)

(

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和. ) bn ? 1

an ? 2n ?1, bn ? 2n ?1 ; a1 3 1 a2 5 1 ? , c2 ? ; (2)依题意, ? , c1 ? ; b1 2 2 b2 4 4
当 n ? 3 时,可以证明 0 ? 2n ? 1 ? 2n ,即 0 ? 所以 c n ? (

2n ? 1 2n ? 1 )? (n ? 3) , 2n 2n 1 1 7 9 2n ? 1 1 1 1 3 ? ... ? n (n ? 3) . 则 S1 ? , S 2 ? ? ? , S n ? ? ? ? 2 4 8 16 2 2 2 4 4 7 9 2n ? 1 1 7 9 2n ? 1 ? ... ? n (n ? 3) , W ? ? ? ... ? n ?1 (n ? 3) , 令W ? ? 8 16 2 2 16 32 2 9 1 2n ? 1 9 2n ? 5 = ? (n ? 3) . 两式相减得 W ? ? n ? 2 ? 4 2 2n 4 2n 2n ? 5 (n ? 3) ,检验知, n ? 1 不合, n ? 2 适合, ∴ Sn ? 3 ? 2n 1 ? ,n ?1 ? ? 2 ∴ Sn ? ? . ?3 ? 2n ? 5 , n ? 2 ? ? 2n
18. 某校课改实行选修走班制,现有甲,乙,丙,丁四位学生准备选修物理,化学,生物三个科目. 设每位学生只 选修一个科目,且选修其中任何一个科目是等可能的. (1)恰有 2 人选修物理的概率; (2)选修科目个数 ? 的分布列及期望. 解:这是等可能性事件的概率计算问题. (I)解法一:所有可能的选修方式有 34 种,恰有 2 人选修物理的方式 率为 C 2 ? 22 4
2 C4 ? 22 种,从而恰有 2 人选修物理的概

2n ? 1 ?1, 2n

3

4

?

8 . 27
1 P ( A) ? . 3

解法二:设对每位学生选修为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“选修物理”为事件 A,则

从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人选修物理的概率为
- 10 -

8 2 1 2 2 2 P4 (2) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 27
(II)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又

3 1 ? , 4 27 3 C 2 (C1C 3 ? C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? 3 2 4 4 4 2 ? (或P(? ? 2) ? 3 4 ? ) 27 27 3 3 1 2 1 2 3 C C4 C2 4 C A 4 P(? ? 3) ? 3 4 ? (或P(? ? 3) ? 4 4 3 ? ). 9 9 3 3 P(? ? 1) ?
综上知,ξ 有分布列 ξ P 从而有 1 2 3

1 27 E? ? 1 ?

14 27

4 9

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27

19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 120? .点 E 是棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱

PD 交于点 F .
(1)求证: AB / / EF ; (2)若 PA ? PD ? AD ? 2 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值.

P F D A E C B

19. 试题解析: (1)∵底面 ABCD 是菱形,∴ AB / / CD ,又∵ AB ? 面 PCD , CD ? 面 PCD ,∴ AB / / 面 PCD , 又∵ A , B , E , F 四点共面,且平面 ABEF ? 平面 PCD ? EF ,∴ AB / / EF ; (2)取 AD 中点 G ,连接 PG ,

GB ,∵ PA ? PD ,∴ PG ? AD ,又∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,∴ PG ? 平
面 ABCD ,∴ PG ? GB ,在菱形 ABCD 中,∵ AB ? AD ,

?DAB ? 60? , G 是 AD 中点,∴ AD ? GB ,如图,建立空间直角坐标系 G ? xyz ,
z

P F G A
x

E D C B
y

设 PA ? PD ? AD ? 2 ,则 G (0,0,0)

, A(1,0,0) ,

B(0, 3,0) C(?2, 3,0) ,D(?1,0,0) D(?2, 0, 0) , P(0,0, 3) ,
- 11 -

又∵ AB / / EF ,点 E 是棱 PC 中点, ∴点 F 是棱 PD 中点,∴

3 3 , 3 3 , 1 3 , 1 3 , , ) F (? ,0, ) AF ? (? ,0, ) EF ? ( ,? ,0) 2 2 2 2 2 2 2 2 r uuu r 设平面 AFE 的法向量为 ? ,∴ , n ? ( x, y, z) ,则有 ? ? z ? 3x n ? AF ?0 ? ? r ? r uuu ? 3 ? ? n ? EF ? 0 x ?y ? 3 ? 不妨令 x ? 3 ,则平面 AFE 的一个法向量为 ? n ? (3, 3,3 3) , E (?1,
∵ BG ? 平面 PAD ,∴ 是平面 PAF 的一个法向量, GB ? (0, 3,0) ∵

r uu u r ,∴平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为 13 . r uu u r n ? GB 6 13 cos < n, GB >? r uu ? u r ? 13 39 ? 2 3 13 n ? GB

20. 已知抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,M 为抛物线 C 上一动点, A(a,0)(a ? 0) 为其对称轴上一点, 直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N. 当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时, △MON 的面积为

18 .
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)记

t?

1 1 ? AM AN

,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点” ,试求出所有“稳定点” ,若没

有,请说明理由. 解析: (Ⅰ)由题意, ,∴ p ? 6 , 1 1 p p2 S△MON ? ? | OA | ? | MN |? ? ? 2 p ? ? 18 2 2 2 2 抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 12 x . (Ⅱ)设 M ( x ,y ),N ( x ,y ) ,设直线 MN 的方程为 x ? my ? a ,联立 x ? my ? a ? 1 1 2 2 ? 2 ? y ? 12 x
? ? 144m2 ? 48a ? 0 ,

得 y 2 ? 12my ? 12a ? 0 ,

y1 ? y2 ? 12m , y1 y2 ? ?12a ,

由对称性,不妨设 m ? 0 ,

(ⅰ) a ? 0 时,∵ y y ? ?12a ? 0 ,∴ y ,y 同号, 1 2 1 2 又

1 1 1 1 t? ? ? ? 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 |



∴t 2 ?

( y ? y2 ) 2 1 1 144m2 1 ? 1 g 1 ? g ? ?1 ? 2 2 1 ? m ( y1 y2 ) 1 ? m2 144a 2 a 2 ? 1 ? m 2

? ? ?



不论 a 取何值,t 均与 m 有关, 即 a ? 0 时,A 不是“稳定点” ; (ⅱ) a ? 0 时,∵ y y ? ?12a ? 0 ,∴ y ,y 异号,又 1 2 1 2

t?

1 1 1 1 ? ? ? 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 |



∴t 2 ?

, 1 144m2 ? 48a 1 ( y1 ? y2 ) 2 1 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 1 ? ? ? ? a ? 1 g ? ? 2 2 ? 1 ? 1? m 144a 1 ? m 2 ( y1 y2 ) 2 1 ? m2 ( y1 y2 )2 ? 2 ?1 ? 3 2 ? a ? 1? m ? ? ? ? ?
3 a ?1 ? 0

∴仅当 1

,即 a ? 3 时,t 与 m 无关,

21. 已知函数

f ( x) ?

. x ln(1 ? x)
- 12 -

当 x ? 0 时,证明:

f ( x) ?

x?2; 2

当 x ? ?1 ,且 x ? 0 时,不等式 (1 ? kx) f ( x) ? 1 ? x 成立,求实数的值. 证明: (1)? x ? 0,ln(1 ? x) ? 0 ? 令 h( x) ? ln(1 ? x) ?

x x?2 2x ? ? ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 2 x?2

2x . x?2

x2 ? 0 ,则 h( x) 在 (0, ??) 上是增函数. (1 ? x)(2 ? x)2 故 h( x) ? h(0) ? 0 ,即命题结论成立………………5 分 x ? 0 ,1 ? x ? 0 ; (2)当 x ? 0 时, ln(1 ? x) x ? 0 ,1 ? x ? 0 当 0 ? x ? ?1 时, ln(1 ? x) h?( x) ?
所以 1 ? kx ? 0 ,原不等式可化为

(1 ? x) ln(1 ? x) ? x ? kx 2 ?0. x
2

令 g ( x) ? (1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? kx . 令 h( x) ? g ?( x) ? ln(1 ? x) ? 2kx, h?( x) ?

1 ? 2k 1? x

1 ?1 1 ? x 当 时,有 . 令 2k ? 1 ,则 h?( x) ? 0 ,故 g ?( x ) 在上 (0, ??) 是减函数,即 g ?( x) ? g ?(0) ? 0 .
x?0

0?

因此 g ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,

1 (1 ? x) ln(1 ? x) ? x ? kx 2 时,对于 x ? 0 ,有 ?0 2 x 1 ? 1. 当 ?1 ? x ? 0 时,有 1? x 令 2k ? 1 ,则 h?( x) ? 0 ,故 g ?( x ) 在 (?1, 0) 上是增函数,即 g ?( x) ? g ?(0) ? 0 .
所以,当 k ? 因此, g ( x) 在 (?1, 0) 上是减函数,从而, g ( x) ? g (0) ? 0 .

1 (1 ? x) ln(1 ? x) ? x ? kx 2 时,对于 ?1 ? x ? 0 有 ?0 2 x 1 综上,当 k ? 时,在 x ? ?1 ,且 x ? 0 时,不等式 (1 ? kx) f ( x) ? 1 ? x 成立. 2
所以,当 k ? 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题 目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修 4—1:几何证明选讲 如 图 , AB 是 圆 O 的 直 径 , 点 C 在 圆 O 上 , 延 长 BC 到 D 使 BC ? CD , 过 C 作 圆 O 的 切 线 交 AD 于 E . 若

AB ? 6 , ED ? 2 .
(1)求证: CE ? AD ; (2)求 BC 的长. 【解析】 (1)连接 O, C ,因 O, C 分别为 AB, BD 的中点,所以 OC // AD ,又 CE 为圆 O 的切线, CE ? OC ,所以

CE ? AD .

- 13 -

(2)依题意易知 ?ABC ? ?CDE ,所以

AB BC ? ,又 BC ? CD ,所以 BC 2 ? AB ? DE ? 12 ,从而 BC ? 2 3 . CD DE

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ? 轴建立极坐标系. (1)求 l 的极坐标方程;

? x ? 2 cos t ? ? ? y ? 2 sin t

( t 为参数), C 在点 ?1,1? 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极

1 3 任作一直线交曲线 C 于 A, B 两点,求 | AB | 的最小值. M (? , ) 4 4 ?? ? 2 2 【解析】 (1) ? sin ? ? ? ? ? 2 ;曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 2 ,其在点 ?1,1? 处的切线 l 的方程为 x ? y ? 2 , 4 ? ? ?? ? 对应的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ,即 ? sin ? ? ? ? ? 2 . 4? ?
(2)过点 (2)

| OM |?

1 , | AB |min ? 7 . 2

24.选修 4—5:不等式选讲: 设函数

f ( x) ?| x ?

. 4 | ? | x ? a | ( a ? 0) a ; 4 4 4 | ? | x ? a |?| x ? a ? ? x |? a ? ? 4 a a a

(I)证明: f ( x) ? 4 ; (II)若 f (2) ? 5 ,求 a 的取值范围. (I)证:

| x?

(II)解: (1)当 a ? 2 时, 当 0 ? a ? 2 时,

|2?

显然满足; 4 | ? | 2 ? a |? 5 a

(2)

即 (3)当

4 ? 5, a a 2 ? 5a ? 4 ? 0, ?1 ? a ? 4 ?a?
a?2
时,

,联立求解得

1? a ? 2

;

? a2 ? a ? 4 ? 0



? 1 ? 17
2

?a?

1 ? 17 , 2

联立求解得 2 ? a ? 综上,

1 ? 17 2 1 ? 17 . 2

a 的取值范围为

1? a ?

- 14 -


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