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福建省福州市八县2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


2014-2015 学年度第二学期八县(市)一中期末联考 高中二年数学(理)科试卷
第一部分 选择题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 n ? N ? ,则 (20 ? n)(21 ? n)(22 ? n).....(100 ? n) 等于 A. A100?n
80

( ☆ ) D.
81

A100 ?n

B.

20?n A100 ?n

C.

81 A20 ?n

2. 5 名运动员同时参加 3 项冠军争夺赛(每项比赛无并列冠军) ,获得冠 军的可能种数为: ( ☆ ) A. 3
5

B. 5

3

3 C. A5

3 D. C5

3.某机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析,得到如下数据: 记忆能力 x 识图能力 y

4
3

6
5
?

8
6

10
8

由表中数据,求得线性回归方程为 y ? 记忆能力为 12,则他识图能力为

4? ? 4 ? ? y ? x) x? a ( a ,若某儿童 5 5
( ☆ )

A . 9.2
7

B . 9.8

C . 9.5

D .10
( ☆ )

4. (x ? y)的展开式,系数最大的项是 A.第 4 项 B.第 4、5 两项 C.第 5 项

D.第 3、4 两项

5.箱子里有 5 个黄球,4 个白球,每次随机取一个球,若取出黄球,则放 回箱中重新取球,若取出白球,则停止取球,那么在 4 次取球之后停止取 球的概率为 ( ☆ )

3 1 ? 5 4 5 3 4 C . 4?( ) ? 9 9 33 6. 2 除以 9 的余数是
A.

B.

5 4 ( )3 ? 9 9 4 3 5 D. 4 ? ( ) ? 9 9
( ☆ )
1

A.1

B.2

C.4
a n(n ? 1)

D.8
(n ? 1, 2, 3, 4), 其中

7. 随机变量 X 的概率分布列规律为 P( X ? n) ?

a 为常数,则 P ( ? X ? ) 的值为
2 2
A.

1

5

( ☆ ) C.

2 3

B.

3 4

4 5

D.

5 6

8. 把座位编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人,每 人至少分一张,至多分两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同分 法种数为 A. 240 B. 144 C. 196 ( ☆ ) D .288

9. 李老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布列如下表:

x
P(? ? x)

1 !

2 ?

3 !

请小王同学计算 ? 的数学期望.尽管“?”处完全无法看清,且两个“! ” 处字迹模糊,但能断定这两个“! ”处的数值相同.据此,小王给出了 E? 的 正确答案为 A. 错误! 未找到引用源。 误!未找到引用源。 10、已知袋中装有标号为 1,2,3 的三个小球,每次从中任取一个小球(取 后放回) ,连取三次,则取到的小球的最大标号为 3 的概率为( ☆ ) A .错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 B .错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 B. 2 ( ☆ ) C. 7 D. 错

2

11、现安排甲乙丙丁戊 5 名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学 学科的科代表,要求甲不当语文课代表,乙不当数学课代表,若丙当物理 课代表则丁必须当化学课代表,则不同的选法共有多少种 ( ☆ ) A、53 B、67 C、85 D、91 12.记 a1a2a3 ??? an 为一个 n 位正整数,其中 a1, a2, ???, an 都是正整数,

1 ? a1 ? 9 , 0 ? ai ? 9, (i ? 2,3, ???, n) , 若 对 任 意 的 正 整 数
,至少存在另一个正整数 j( 1? j? n ) k (1 ? k ? n) ,使得 a j ? ak ,则称 这个数为 “ n 位重复数” . 根据上述定义, “四位重复数” 的个数为 ( ☆ ) A.1994 个 B.4464 个 C.4536 个 D.9000 个 第二部分 非选择题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已 知 随 机变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (1,? ), 且 P(? ? 2) ? 0.6 ,则
2

P(0 ? ? ? 1) ?



14.一盒子装有 4 只产品,其中有 3 只一等品,1 只二等品.从中取产品两次, 每次任取一只,作不放回抽样.设事件 A 为“第一次取到的是一等品” ,事 件 B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率 P(B|A)= ☆ 15. 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有

n 个 (n = 1,2,3,4). 现 从 袋 中 任 取 一 球 , ? 表 示 所 取 球 的 标 号 . 若

? ? a? ? 2 , E (? ) ? 1 , 则 D (? ) 的值为
1 2 3 n



16. 计算 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? ? ? nCn ,可以采用以下方法: 构造等式: Cn ? Cn x ? Cn x ? Cn x ? ? ? ? ? Cn x ? (1 ? x)
0 1 2 2 3 3 n n n

两边对 x 求导得: Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? ? ? nCn x
1 2 3 2 n 1 2 3 n n?1 令 x = 1 ,有 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? ? ? nCn ? n2

n?1

? n(1 ? x) n?1

类比上述计算方法,计算 Cn ? 2 Cn ? 3 Cn ? ? ? ? ? n Cn ?
1 2 2 2 3 2 n



3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、演算步 骤或推证过程)

17. (本小题满分 12 分) 已知错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。 . (Ⅰ)若错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。展开式中含错误! 未找到引用源。项的系数相等,求实数错误!未找到引用源。的值; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。展开式中含错误!未找到引用源。项的系 数相等,求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 在对人们休闲方式的一次调查中,仅就看电视与运动这两种休闲方式比较 喜欢哪一种进行了调查. 调查结果:接受调查总人数 110 人,其中男、女 各 55 人;受调查者中,女性有 30 人比较喜欢看电视,男性有 35 人比较喜 欢运动. (Ⅰ)请根据题目所提供的调查结果填写下列 2 ? 2 列联表; 看电视 女 男 合计 (Ⅱ)已知 P( K ? 3.841) ? 0.05 .能否在犯错误的概率不超过 0.05 的
2

运动

合计

前提下认为“性别与休闲方式有关系” ? (注: K ?
2

n(ad ? bc)2 , (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

容量) )

4

19. (本小题满分 12 分) 为支持”2015 福州全国青年运动会”,某班拟选派 4 人为志愿者,经过初 选确定 5 男 4 女共 9 名同学成为候选人,每位候选人当选志愿者的机会均 等。 (1)求女生 1 人,男生 3 人当选时的概率? (2)设至少有 n 名男同学当选的概率为 Pn ,当 Pn ?

3 时,n 的最小值? 4

20.(本小题满分 12 分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球自由下 落,小球在下落的过程中,将遇到黑色障碍物 3 次,最后落入 A 袋或 B 袋 中.已知小球每次遇到障碍物时,向左、 右两边下落的概率分别是

p,

1? p 。
(Ⅰ)当 p 为何值时,小球落入 B 袋中的概率最大,并求出最大值; (Ⅱ) 在容器的入口处依次放入 4 个小球, 记 ? 为落入 B 袋中的小球个数,

1 当 p ? 时, 求 ? 的数学期望. 3

21. (本小题满分 12 分) 现有如下投资方案,一年后投资盈亏的情况如下:
5

(1)投资股市: 投资结果 概 率 获利 40% 不赔不赚 亏损 20%

1 2

1 8

3 8

(2)购买基金: 投资结果 概 率 获利 20% 不赔不赚 亏损 10%

p

1 3

q

(Ⅰ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行 投资, 如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于
4 , 求 5

p 的取值范围;

(Ⅱ)丙要将家中闲置的 20 万元钱进行投资,决定在“投资股市” 、 “购买基金” , 或 “等额同时投资股市和购买基金” 这三种方案中选择一种, 已知 p =
1 ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学 2

期望较大?(其中第三方案须考察两项获利之和的随机变量 Z),给出结果 并说明理由. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原 点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,倾斜角为 ? 的直线 l 的 参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? (t是参数) . ? y ? t sin ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 的倾斜角 ? 的值.

AB ? 14

,求直线

6

2014-2015 学年度第二学期八县(市)一中期末联考 高中二年数学(理)科答案 D B C C B 13 D D B B D. 14、 B B 15. 11 16. n(n ? 1)2 n?2

0.1

2 3

17. (本小题满分 12 分) 17.略解: (Ⅰ)错误!未找到引用源。时错误!未找到引用源。与错误! 未找到引用源。 . 由题意得:错误!未找到引用源。 , ????.(3 分) 解 得 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ???????????(6 分) (Ⅱ)由题意得错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用 源。 ?????? ?..(9 分) ∵ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, ∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ????????(12 分) 注:要有简明的计算过程,只有结果没有过程,阅卷老师可酌情扣分。 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据题目所提供的调查结果,可得下列 2 ? 2 列联表: 看电视 女 男 合计 30 20 50 运动 25 35 60 合计 55 55 110 ?? 6 分 (Ⅱ)根据列联表中的数据,可计算 K 的观测值 k :
2

110 ? 30 ? 35 ? 20 ? 25? k? ? 3.67 , 50 ? 60 ? 55 ? 55
2

??10 分

∵ k ? 3.67 ? k0 ? 3.841 , ∴不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“性别与休闲方 式有关系” . ???12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)由于每位候选人当选的机会均等,9 名同学中选 4 人共有
4 C9

种选
7

法,其中女生 1 人且男生 3 人当选共有
1 3 C4 C5 20 P? ? . 4 63 C9

1 3 C4 C5

种选法,故可求概率

??4 分 ?? 6 分

4 C5 5 1 ? (2) Q P4 ? 4 ? C9 126 2
4 3 1 C5 C5 C4 5 20 5 1 ? ? ? ? ? 4 4 126 63 14 2 C9 C9

P3 ?

?? 8 分

P2 ?

4 3 1 2 2 C5 C5 C4 C5 C4 5 10 5 3 ? ? ? ? ? ? 4 4 4 14 21 6 4 C9 C9 C9

?? 10 分

∴要使

Pn ?

3 4 ,n 的最大值为 2.

?? 12 分

20(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记“小球落入 A 袋中”为事件 M ,“小球落入 B 袋中”为事件

N
N.









M

















????????????????1 分

而小球落入 A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故

1 1 3 P( M ) ? p 3 ? ?1 ? p ? ? p 3 ? 1 ? 3 p ? 3 p 2 ? p 3 ? 3( p ? ) 2 ? ,?4 分 2 4
∴当 p =

1 1 1 3 时, P( M ) 取最小值 , P( N ) 取最大值 1 ? ? ??6 分 2 4 4 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 p ?
3 3

1 时, 3

1 8 1 ?1? ? 2? P( M ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 27 27 3
从而 P ( N ) ? 1 ? P ( M ) ? 1 ?

1 2 ? . 3 3

?????8 分

8

? : B (4, ) 3 .????10 分 随机变量 ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3, 4 . 且 ? ~
E (? ) ? 4 ?


2

2 8 ? 3 3?

????12 分

法 2:随机变量 ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3, 4 .

1 ? 2? ?1? P(? ? 0) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 81
0 4 1 3 2 2

0

4



8 8 ?1? ?1? 1?2? 2?2? P(? ? 1) ? C4 P(? ? 2) ? C4 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 81 , ? 3 ? ? 3 ? 27 ,

? 2 ? ? 1 ? 32 ? 1 ? 16 4?2? P(? ? 3) ? C ? ? ? ? ? ? P(? ? 4) ? C4 ? ? ?? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 81 , ? 3 ? ? 3 ? 81 .
3 4

3

1

4

0

则 ? 的分布列为

?

0

1
8 81

2

3

4

P

1 81

8 27

32 81

16 81

????????10 分 故 ? 的数学期望为 E (? ) ?

8 . ?????????????12 分 3

21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: 记事件 A 为 “甲投资股市且盈利” ,事件 B 为“乙购买基金且盈利” ,事件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利” , 则 C = AB U AB U AB ,且 A,B 独立. ?? 1 分

9

由上表可知, P ( A) =

1 , P( B) = p . 2

所以 P(C) = P( AB) + P( AB) + P( AB) =
=

1 1 1 ? (1 ? p ) ? ? p ? ? p 2 2 2
1 1 + p 2 2 .

?? 3 分 3 1 1 4 因为 P(C ) = + p > , 所以 p > . 2 2 5 5 1 2 又因为 p + + q = 1 , q≥0 , 所以 p≤ . 3 3
3 2 所以 < p≤ . 5 3

??? 4 分

(Ⅱ)解:解:假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记 X 为丙投资 股票的获利金额(单位:万元) ,所以随机变量 X 的分布列为:
X

8

0

?4



P
E( X ) ? 8 ?

1 2

1 8

3 8
?? 6 分

1 1 3 5 ? 0 ? ? (?4) ? ? . 2 8 8 2

假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记 Y 为丙购买基金的获利 金额(单位:万元) , 所以随机变量 Y 的分布列为: Y 4
1 2

0
1 3

?2
1 6

P
则 E (Y ) ? 4 ?

1 1 1 5 ? 0 ? ? (?2) ? ? . ?? 8 分 2 3 6 3

假设丙选择“等额同时投资股市和购买基金”方案进行投资, 且记 Z 为丙购买基金的获利金额(单位:万元) ,
10

Z 可能取值为 6,4,3,2,0, ?1 , ?2 , ?3

P( Z ? 6) ?

1 1 1 1 1 1 ? ? , P ( Z ? 4) ? ? ? 2 2 4 2 3 6 1 1 1 1 1 1 P( Z ? 3) ? ? ? P( Z ? 2) ? ? ? , 2 6 12 8 2 16 1 1 3 1 11 P ( Z ? 0) ? ? ? ? ? 8 3 8 2 48 1 1 1 3 1 1 P( Z ? ?1) ? ? ? P( Z ? ?2) ? ? ? , 8 6 48 8 3 8 3 1 1 P( Z ? ?3) ? ? ? 8 6 16
所以随机变量 Z 的分布列为:

Z

6

4

3

2

0

?1

?2

?3
1 16

P
E (Z ) ? 6 ?

1 4

1 6

1 12

1 16

11 48

1 48

1 8

1 1 1 1 11 1 1 1 25 ? 4 ? ? 3? ? 2 ? ? 0 ? ? ? 2 ? ? 3? ? 4 6 12 16 48 48 8 16 12
?11 分 ∴ E ( X ) 最大

所以丙选择“投资股市” ,才能使一年后的投资收益的数学期望较大.12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 2 解: (1)由 ? ? 4cos? 得 ( x ? 2) ? y ? 4

?????3 分

? x ? 1 ? t cos? ? (t cos? ?1) 2 (2)将 ? y ? t sin ? 代入圆的方程得

? (t sin ? ) 2 ? 4 ,
?????5 分

化简得 t ? 2t cos? ? 3 ? 0 .
2

设 A 、 B 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 t1 、 t 2 , 则
11

?t1 ? t 2 ? 2 cos? ? ? t1t 2 ? ?3 ,
? AB ? t1 ? t 2 ?
? 4 cos
2

???7 分

?t1 ? t 2 ?

2

? 4t1t 2 ? 4 cos2 ? ? 12 ? 14

,

? ? 2,

cos? ? ?

2 2 ,

∵ ? ??0, ? ?

?

??

?

3? 4或 4

.

?????10 分

12


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