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1.1.2集合间的基本关系(两课时)


1.1.2

集合间的基本关系

Network Optimization Expert Team

复习
1.集合元素的特征. 2.集合的表示方法.
确定性,互异性,无序性

练习(1)已知A={a,2,2a2+5a,12},且-3∈A,
求a的值. 3 a ? ?3

或a ? ?1或a ? ? 2
(2)设集合 P ? ?x ? y, x ? y, xy?, Q ? x 2 ? y 2 , x 2 ? y 2 ,0 若P=Q,求x,y的值。

?

?

Network Optimization Expert Team

观察思考
观察下面几个例子,你能发现两个集合之间 的关系吗?
(1)A={1,2, 3}, B={1, 2, 3, 4 ,5}; (2)A={育新高中13级高一女生}, B={育新高中13级高一学生}; (3)设C={x|x是两条边相等的三角形},
1,2,3 4,5

D={x|x是等腰三角形}; (4)A={1,2}, B={2,3}.
Network Optimization Expert Team

知识点
实数有相等关系,大小关系,类比 实数之间的关系,集合之间是否具备类 似的关系?

示例1:观察下面三个集合, 找出它们之 间的关系: A={1,2,3} B={1,2,7} C={1,2,3,4,5}

1.子 集
一般地,对于两个集合,如果A中 任意一个元素都是B的元素,称集合A 是集合B的子集,记作A?B.读作“A包 含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集 合B的子集.(文字语言)

(符号语言:若x ? A, 则x ? B, 则A ? B)
注意: 元素与集合之间用∈表示, 集合与集合之间用?表示,

B

A

A={1,2,3} B={1,2,7} C={1,2,3,4,5} 我们说集合A是集合C的子集. 而从B与C来看,显然B不包含于C.

2.集合相等 A={ x|x是两边相等的三角形}, 示例2: B={ x|x是等腰三角形}, 有A?B,B?A,则A=B.
文字语言:用子集概念描述:如果集合A是 集合B的子集( A?B)且集合B也是集合 A的子集( B?A),因此集合A和集合B 中的元素是一样的,就说A与B相等,记 A=B. 类似于a≥b,b≥a,则a=b.

?数学语言:若A?B,B?A,则A=B.

3.真子集 示例3:A={1, 2, 7},B={1, 2, 3, 7}, 如果A?B,但存在元素x∈B,且

x∈A,称A是B的真子集.
记作A?B,或B?A.

?

?

4.空集的性质 规定:空集是任何集合的子集,空集 是任何集合的真子集.

4.空集的性质 示例4:考察下列集合,并指出集合中的 元素是什么? A={(x, y)| x+y=2}; B={x| x2+1=0,x∈R}.
A中的元素是x+y=2上的所有的点; ? B没有元素,是空集。 因为空集是任何集合的子集,空集 是任何集合的真子集. 由此可知,B是A的真子集.

练习1:观察下列各组集合,并指明两个 集合的关系 ① A=Z ,B=N; ② A={长方形}, B={平行四边形方形}; ③ A={x|x2-3x+2=0}, B={1,2}.

练习2:

? ? ? ? 1. N ___ N ___ Z ___ Q ___ R
?

? 2. 若A ? B, B ? C , 则A ____ C .
?

子集的传递性

随堂练习

另: 与? 用在_____和______之间. ?

? (?)与 ? (? )用在_____和______之间.

Network Optimization Expert Team

例:
1.用适当的符号填空: ? (1) 0_____φ ? (2) N_____Q ? (3) {0}____φ (4) {0} {{0},{0,1},{1}}
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② ?∈{? } ③ {0}?φ ④0?φ⑤ φ≠{0} ⑥φ={φ},其中正确的序 号是: ①②③④⑤

2.以下六个关系式:① ??{? }

Network Optimization Expert Team

例题
例1⑴写出集合{a,b}的所有子集; ⑵写出所有{a,b,c}的所有子集; ⑶写出所有{a,b,c,d}的所有子集.

写集合子集的一般方法:先写空集,然后按照集 ⑴ ? ,{a},{b},{a,b} 合元素从少到多的顺序写出来,一直到集合本身. ⑵?; {a},{b},{c},{a,b},{a,b,c}, 写集合真子集时除去集合本身外其余子集都是它 {a,c},{b, c}, 的真子集.

⑶?; {a},{b},{c},{d},{a, b},{b, c}, {a, d},{a, c}, {b, d}, {c, d}, {a,b,c},{a,b,d}, {b,c,d}, {a,d,c} {a,b,c,d},

例题
例1⑴写出集合{a,b}的所有子集; ⑵写出所有{a,b,c}的所有子集; ⑶写出所有{a,b,c,d}的所有子集. 思考:
集合{a1,a2,…,an}有多少个子集?多少个真子集?多少 个非空真子集? 2n 2n-1 2n-2

一般地,集合A含有n个元素, 则A的子集共有2n个,A的真子集 共有2n-1个.

例2在以下六个写法中

①{0}∈{0,1}

②??{0} ? ③{0,-1,1}?{-1,0,1} ④ {1, 2} ? ? {1}, 2} , , 2} { {1 ? ⑤??{?} ? ⑥{(0,0)}={0}.
错误个数为 A.3个 B.4个 ( A) C.5个 D.6个

?

例3已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若 A=B,求c的值.

解:

例3设集合A={1, a, b},B={a, a2, ab},

若A=B,求实数a, b.

例4已知A={x | x2-2x-3=0},

B={x | ax-1=0},
若B?A, 求实数a的值.

课堂小结
?子集:A?B?任意x∈A? x∈B. A?B ? x∈A,x∈B,但存在 ?真子集: x0∈A且x0?A. ?集合相等:A=B? A?B且B?A. ?空集:?. 性质:①??A,若A非空, 则??A. ? ②A?A. ③A?B,B?C?A?C.

?

课堂小结
?子集的性质
1、一般地,集合A含有n个元素, 则A的子集共有2n个,A的真子集 共有2n-1个.

2、 子集的传递性
3、空集是任何集合的子集,空集 是任何集合的真子集. 4、A?A

要记住的五个结论:
(1)对于集合A,B,C,如果A? B、 B ? C,那么A ?C (2)任何一个集合都是它本身的子集. (3)空集是任何集合的子集. (4)空集是任何非空集合的真子集. (5)空集没有真子集.

课堂练习
练习1 设A={x,x2,xy}, B={1,x,y}, 且A=B,求实数x,y的值.

练习2 若A={x -3≤x≤4}, ? B={x 2m-1≤x≤m+1},当B A时, 求实数m的取值范围.

能力提高 1、已知集合P={x︱x2+x-6=0}, S ={x︱ax+1=0},若S ? P, 求实数a的取值集合。

2、已知集合A={x︱ax2+2x+1=0,a、x∈R}, 至多只有一个真子集,求实数a的取值 集合。

3.

已知集合M满足{1,2}? ? M {1,2,3,4,5}, 8 则这样的集合M共有_______个? 思考:若集合P中有m个元素,集合Q中

? 有n个元素,且P ≠ Q,则满足 P? ? Z Q的集合Z共有_______个 2n-m

必做题:
已知M={x|2-x<0},集合N{x|ax=1},若N 实数a的取值范围。 M,求

1、已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} 选做题:

B ? {x | x ? 2} 且满足 A ? B
D ? {正方形}

,求a的值。

2、设集合 A ? {四边形},B ? {平行四边形},C ? {矩形}

试用Venn图表示它们之间的关系。

典例剖析:

利用集合间关系解题

3 已知集合A ? { x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ,

? 值构成的集合为______. 1 ?

B ? { x | ax ? 1 若B }, ? A,则实数a的

? ?0, 1, ? 2? ? 特别提醒:若A ? B,A ? B时,
特别要注意考虑A =?的情形.

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4

已知集合A ? {x | ?1 ? x ? 2},

B ? {x | x ? a}, 若A ? B,求实数a 的取值范围.

a ? ?1

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6

已知A ? {x | ?2 ? x ? 5},

B ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1},B ? A, 求实数a的取值范围.

讨论B ? ?和B ? ?
5 已知集合A ? {x | 1 ? x ? 2},

B ? {x | ax ? 2 ? 0}, 若A ? B,求实 数a的值组成的集合.
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课后作业

补充:已知M ? {x | a ? x ? a ? 3}, N ? {x | x ? ?1, 或x ? 5},若M ? N,求实数a的取值范围.
k 1 思考:设集合M ? { x | x ? ? , k ? Z }, 2 4 k 1 N ?{ x| x ? ? ,k?Z },则M 与N 有何关系? 4 2

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