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广东省江门市2015届高三3月模拟数学理试题


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2015 年高考模拟考试

数学(理科)

2015.3

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 2. 做选择题时,必须用

2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式, b ?

?x y
i ?1 n i

n

i 2

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

,a ? y ?bx.

?

?

i

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.

1. i 是虚数单位, A.

1 ? (1 ? i )2
i 2
C.

1 D. 2i 2 2.函数 f ( x) 的定义域为实数集 R , “ f ( x) 是奇函数”是“ | f ( x) | 是偶函数”的
B. ? A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件

i 2

3. ?an ? 是等差数列, a1 与 a2 的等差中项为 1, a2 与 a3 的等差中项为 2,则公差 d ? A. 2 B.

3 2

C. 1

D.

1 2

4.函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 在区间 ( A. 0 B.

?
3

,

2? ) 上单调递增,常数 ? 的值可能是 3
D.
·1 ·

? 2

C. ?

3? 2

5.双曲线 C : A.

8 15

x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线夹角(锐角)为 ? ,则 tan ? ? 4 15 3 4 B. C. D. 8 4 3

6.一个四面体如图 1,若该四面体的正视图(主视图) 、 侧视图(左视图)和俯视图都是直角边长为 1 的等腰 直角三角形,则它的体积 V ? A. 7. (

1 2

B.

1 3

C.

1 6

D.

1 12

图1

y x

?

x y

)16 的二项展开式 17 个项中,整式的个数是
B. 3 C. 5 D. 7

A. 1

8.设 a ? b ? 1 ,集合 A ? ?x | x ? Z , 0 ? x ? a? , B ? ?x | x ? Z , ? b ? x ? b?,记“从集合 A 中 任取一个元素 x , x ? B ”为事件 M , “从集合 A 中任取一个元素 x , x ? B ”为事件 N .给 定下列三个命题: ①当 a ? 5 , b ? 3 时, P( M ) ? P ( N ) ? ②若 P( M ) ? 1 ,则 a ? 2 , b ? 1 ; ③ P( M ) ? P( N ) ? 1 恒成立. 其中,为真命题的是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

1 ; 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
开始

9.不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 的解集为



10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F , P 是 C 上一点, 若 P 在第一象限, | PF |? 8 ,则点 P 的坐标为

k ? 1, S ? 0
k ? k ?1



?x 2 ? y 2 ? 1 ? 11.若变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 0 ,则 ?y ? 0 ?
z ? x ? 2 y 的最大值 M ?
. . 12.运行如图 2 所示的程序框图,输出的结果 S ? 13.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

S ? S ? 2k
k ? 5?
否 输出 S 结束 是

图2

x

3

4
·2 ·

5

6

3 4 4.5 ? ? ? 假设根据上表数据所得线性回归方程为 y ? b x ? a ,根据中间两组数据(4,3)和(5,4) 求得的直线方程为 y ? bx ? a ,则 b ____b , a ____a . (填“ ? ”或“ ? ” )

y

2.5

?

?

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? ? 2 上到直线 ? cos(? ? 1 的点的个数是 .

?
4

) ? 1 的距离为

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 的弦 AB 、 CD 相交于 点 P ,若 AC ? AD ? 2 , PB ? 3 ,则 AB ? .

图3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 顶点的直角坐标分别是 A(3 , 5) 、 B(0 , 1) 、 C (8 , ? 7) . ⑴求 cos B 的值; ⑵若 AD ? (?2 , ? 5) ,证明: B 、 C 、 D 三点共线. 17. (本小题满分 13 分) 某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况,随机抽取了 100 株树苗,分别测出 它们的高度(单位: cm ) ,并将所得数据分组,画出频率分布表如下: 组 距 [100,102) [102,104) [104,106) [106,108) [108,110) [110,112) 合计 ⑴求上表中 a 、 b 的值; 频 数 17 18 24 频 率 0.17 0.18 0.24

a
6 3 100

b
0.06 0.03 1

⑵估计该基地榕树树苗平均高度; ⑶基地从上述 100 株榕树苗中高度在[108,112)范围内的树苗中随机选出 5 株进行育种研 究,其中在[110,112)内的有 X 株,求 X 的分布列和期望. 18. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ⑴求 a1 的值;
·3 ·

n(n ? 1)( 4n ? 1) ,n? N*. 6

⑵求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶证明:对一切正整数 n ,有

1 a1
2

?

4 a2
2

???

n2 an
2

5 ? . 4

19. (本小题满分 13 分) 如图 4,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,侧面是正方形, ?DAB ? 600 , E 是 棱 CB 的延长线上一点,经过点 A 、 C1 、 E 的平面交棱 BB1 于点 F , B1 F ? 2BF . ⑴求证:平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ; ⑵求二面角 E ? AC1 ? C 的平面角的余弦值.

D1

A1

B1

C1

D A
20. (本小题满分 14 分) 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 ? :
图4

F

C
B E

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,焦点为 F1 、 2 3 a b F2 ,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 经过焦点 F2 ,并与 ? 相交于 A 、 B 两点.
⑴求 ? 的方程; ⑵在 ? 上是否存在 C 、 D 两点,满足 CD // AB , F1C ? F1 D ?若存在,求直线 CD 的方程; 若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e x (ln x ? a) , e 是自然对数的底数, e ? 2.718 ? , a ? R 为常数. ⑴若 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线 l 的斜率为 2e ,求 a 的值; ⑵在⑴的条件下,证明切线 l 与曲线 y ? f ( x) 在区间 (0 ,

1 ) 至少有 1 个公共点; 2

⑶若 [ln 2 , ln 3] 是 y ? f ( x) 的一个单调区间,求 a 的取值范围.

评分参考
一、选择题 二、填空题 BACD DCBB ⒐ (?? , ? 2] ? [3 , ? ?) 或 ?x | x ? ?2或x ? 3?(每个区间 2 分,在此基础上正确用
·4 ·

区间或集合表示 1 分;若混淆闭区间与开区间则扣该区间 1 分。 )

⒑ (6 , 4 3) (若写成 (6 , ? 4 3) 或 (6 , ? 4 3) 给 3 分,其他不给分) ⒒

5

⒓ 62

⒔ ? , ? (若两空一对一错,给 3 分)

⒕3

⒖4

三、解答题 ⒗⑴(方法一) AB ?

(0 ? 3) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 5 , AC ? 13 , BC ? 8 2 ??3 分

cos B ?

AB2 ? BC 2 ? AC 2 5 2 ? (8 2 ) 2 ?132 2 ??6 分(公式 2 分) ? ?? 2 ? AB ? BC 10 2? 5?8 2

(方法二) BA ? (3 , 4) , BC ? (8 , ? 8) ??2 分

cos B ?

BA ? BC | BA | ? | BC |

?

3? 8 ? 4 ?8 5?8 2

??

2 ??6 分(公式 2 分) 10

⑵(方法一) BC ? (8 , ? 8) , BD ? BA ? AD ? (1 , ? 1) ??9 分

∵ BC ? 8BD ,∴ BC 、 BD 共线??11 分 ∵ BC 、 BD 有共同的始点,∴ B 、 C 、 D 三点共线??12 分
(方法二)经过 B(0 , 1) 、 C (8 , ? 7) 两点的直线 BC 的方程为

y ?1 x?0 ? (即 x ? y ? 1 )??9 分 ? 7 ?1 8 ? 0
设 D(m , n) ,由 AD ? (?2 , ? 5) 得 ( x ? 3 , y ? 5) ? (?2 , ? 5) ??10 分 解得 D(1 , 0) ??11 分 ∵

0 ?1 1? 0 ? (或 1 ? 0 ? 1 ) ,∴( D 在 BC 上) B 、 C 、 D 三点共线??12 分 ? 7 ?1 8 ? 0 32 ? 0.32 ??2 分 100

⒘⑴ a ? 100 ? 17 ? 18 ? 24 ? 6 ? 3 ? 32 , b ? ⑵估计该基地榕树树苗平均高度为

101 ? 17 ? 103 ? 18 ? 105 ? 24 ? 107 ? 32 ? 109 ? 6 ? 111 ? 3 ? 105 .02 ( cm )??6 分 100
(列式 2 分,求值 1 分,文字说明与单位完整 1 分。 ) ⑶由频率分布表知树苗高度在[108,112)范围内的有 9 株,在[110,112)范围内的有 3 株, 因此 X 的所有可能取值为 0,1,2,3??7 分





, ??11 分
·5 ·

X 的分布列为 X
0 1 2 3

P
??12 分

1 21

5 14

10 21

5 42

X 的期望为 EX ? 0 ?

1 5 10 5 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ??13 分(列式正确 1 分) 21 14 21 42 3

⒙⑴ a1 ? S1 ?

1? 2 ? 3 ? 1??1 分 6 n(n ? 1)( 4n ? 1) (n ? 1)n(4n ? 5) ? ? n(2n ? 1) 6 6

⑵ n ? 1 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

??4 分(上式每个等号 1 分)

n ? 1 时, n(2n ? 1) ? 1 ? a1 ,所以 ?n ? N * , an ? n(2n ? 1) ??5 分
⑶由⑵知, n ? 1 时,

n2 an
2
2

?

1 1 1 ??7 分 ? 2 ? 2 (2n ? 1) 4n ? 4n ? 1 4n(n ? 1)

1 a1
2

?

4 a2
2

? ??

n2 an

? 1?

1 1 1 ??9 分 ? ??? 4 ? 2 ?1 4 ? 3 ? 2 4n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? )?( ? ) ???[ ? ] ??11 分 4 4? 2 4? 2 4?3 4 ? (n ? 1) 4n
1 1 1 5 ? 1 ? ( ? ) ??12 分, ? 1 ? ? ??13 分 4 4n 4 4


1 a1
2

?

4 a2
2

???

n2 an
2

单调递增,∴ ?n ? N * ,

1 a1
2

?

4 a2
2

???

n2 an
2

5 ? ??14 分 4

⒚⑴设四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a

a ??1 分 2 3a 由 ?DAB ? 600 ? ?ABE , ?ABC ? 1200 ,得 AE ? , AC ? 3a ??2 分 2 3a ∵ CE ? ,∴ AE 2 ? CE 2 ? AC 2 , AE ? CE ??3 分 2 ABCD ? A1 B1C1 D1 是 直 四 棱 柱 , C1C ? A B C D , 又 AE ? A B C D, ∴ C1C ? AE , ∵ CE ? CC1 ? C ,∴ AE ? 平面 BCC1 B1 ??4 分 ∵ AE ? 平面 AC1 E ,∴平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ??5 分
∵ B1 F ? 2BF , ?B1C1 F ∽ ?BEF ,∴ BE ?
·6 ·

⑵(方法一)过 C 作 CG ? AC1 于 G , CH ? C1 F 于 H ,连接 GH ??6 分 由平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ,平面 AC1 E ? 平面 BCC1 B1 ? C1 E ,

CH ? 平面 AC1 E ??7 分 ∴ CH ? AC1 ,又 CG ? AC1 ,CG ? CH ? C ,∴ AC1 ? 平面 CGH , AC1 ? GH ,?CGH 是二面角 E ? AC1 ? C 的平面角??9 分

3 3 在 Rt?E a, C C 1 中,CE ? a , 2 2 3 13 3 3 13 13 a ( CG ? a 、 CH ? a 求得任何一个给 2 分, CC1 ? a , EC1 ? a , CH ? 13 2 13 2
在 Rt?ACC1 中,AC ? 3a ,CC1 ? a ,AC1 ? 2a ,CG ? 两个全对给 3 分)??12 分

39 GH 13 ??13 分 a , cos?CGH ? ? 26 CG 13 (方法二)以 E 为原点, EC 、 EA 所在直线为 x 轴、 y 轴,平行于 BB1 的直线 EE1 为 z 轴建 GH ? CG 2 ? CH 2 ?
立空间直角坐标系??6 分,则

3 3 a , 0) , C1 ( a , 0 , a) ??7 分 2 2 ? 3 n ? EA ? aq ? 0 ? ? 2 设平面 E A C 的一个法向量为 ,则 ?? 9 分,即 n ? ( p , q , r ) ? 1 ?n ? EC ? 3 ap ? ar ? 0 1 ? 2 ? ?q ? 0 1 3 ,不妨取 n ? (?2 , 0 , 3) ??10 分,由⑴知 B ( a , 0 , 0) , D(a , a , 0) ?? ? 2 2 ?3 p ? 2r ? 0

E (0 , 0 , 0) , A(0 ,

11 分,平面 BCC1 B1 的一个法向量为 n1 ? BD ? ( a ,

1 2

3 a , 0) 2
| n1 ? n | | n1 | ? | n | ? 13 ??13 分 13

??12 分,二面角 E ? AC1 ? C 的平面角的余弦值 cos? ?

c 6 得 a ? 6 ??3 分 ? a 3 x2 y2 ? 1 ??4 分 b ? a 2 ? c 2 ? 2 ,椭圆 ? 的方程为 ? 6 2 ⑵(方法一)若存在满足条件的直线 CD ,∵ CD // AB ,∴ kCD ? k AB ? ?1 ,设直线 CD 的方 程为 y ? ? x ? m ??5 分
⒛⑴依题意 F2 (2 , 0) , c ? 2 ??2 分,由 e ?

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 6 ??6 分,得 x 2 ? 3(? x ? m) 2 ? 6 ? 0 ??7 分 2 ? y ? ?x ? m ? 4 x 2 ? 6mx ? (3m 2 ? 6) ? 0 , ? ? (?6m) 2 ? 4 ? 4 ? (3m 2 ? 6) ? 96 ? 12m2 ? 0 (*)
·7 ·

??8 分

3m 3m 2 ? 6 , x1 x 2 ? ??9 分 2 4 1 由已知 F1C ? F1 D ,若线段 CD 的中点为 E ,则 F1 E ? CD , k F1E ? ? ? 1 ??10 分 k CD x ? x 2 y1 ? y 2 3m m , ) ??11 分 , ) 即 E( F1 (?2 , 0) , E ( 1 4 4 2 2 m 4 ? 1 ??12 分,解得 m ? ?4 ??13 分 由 k F1E ? 3m ?2 4 m ? ?4 时, 96 ? 12m 2 ? ?96 ? 0 ,与(*)矛盾,∴不存在满足条件的直线 CD
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ??14 分 ( 方 法 二 ) 假 设 存 在 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , 线 段 CD 的 中 点 为 E ( x0 , y0 ) , 则

x0 ?

x1 ? x 2 , 2

y0 ?

y1 ? y 2 y ? y2 , 1 ? ?1 ??5 分 2 x1 ? x2

? x1 2 y1 2 ? ?1 ? 1 1 ? 6 2 由? 两式相减得: ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 2 2 6 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2 ? 6 1 ??7 分,代入、化简得: x0 ? y 0 ? 0 ①??8 分 3 1 由已知 F1C ? F1 D ,则 F1 E ? CD , k F1E ? ? ? 1 ??9 分 k CD y0 由 k F1E ? ②??10 分 ? 1 得, y0 ? x0 ? 2 x0 ? 2
由①②解得 x0 ? ?3,

y0 ? ?1 ,即 E(?3,?1) ??11 分

直线 CD 的方程为: y ? ?( x ? 4) ??12 分

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 6 得 4 x 2 ? 24x ? 42 ? 0 ??13 分 2 ? y ? ?x ? 4 ?
∵ ? ? 242 ? 4 ? 4 ? 42 ? ?96 ? 0 ,方程(组)无解,∴不存在满足条件的直线 CD ??14 分
/ x 21.⑴ f ( x) ? e (ln x ? a ? ) ??1 分 / 1 依题意, k ? f (1) ? e (ln 1 ? a ? ) ? 2e ,解得 a ? ?1 ??2 分

1 x

1 1

·8 ·

⑵由⑴ f (1) ? e ,直线 l 的方程为 y ? e ? 2e( x ? 1) ,即 y ? 2ex ? e ??3 分 作 g ( x) ? f ( x) ? (2ex ? e) ? e x (ln x ? 1) ? 2ex ? e , 则 g ( ) ? e (1 ? ln 2) ? 0 ??4 分, g (e ?4 ) ? ?3ee ? 2e ?3 ? e ? ?3 ? e ? 0 ??5 分(用其 他适当的数替代 e ?4 亦可) 因为 y ? g ( x) 在 (e ? 4 , 有零点,(e ? 4 6分
/ x ⑶ f ( x) ? e (ln x ? a ? ) , [ln 2 , ln 3] 是 y ? f ( x) 的一个单调区间当且仅当 f / ( x) 在

1 2

?4

1 1 1 ) 上是连续不断的曲线, g (e ? 4 ) g ( ) ? 0 , y ? g ( x) 在 (e ? 4 , ) 内 2 2 2 1 1 1 , ) ? (0 , ) ,从而切线 l 与曲线 y ? f ( x) 在区间 (0 , ) 至少有 1 个公共点?? 2 2 2 1 x

[ln 2 , ln 3] 上恒大于等于零,或恒小于等于零,由 e x ? 0 ,作 h( x) ? ln x ?
h / ( x) ? 1 1 1 1 ? 2 ,由 h / ( x) ? ? 2 ? 0 得 x ? 1 ??7 分 x x x x [ln 2 , 1) 1
- ↘ 0 最小值

1 x

x
h / ( x)
h( x )

(1 , ln 3]
+ ↗

??9 分

h( x) 在 [ln 2 , ln 3] 上的最小值为 m ? 1 , 所以, 当且仅当 a ? 1 时,y ? f ( x) 在 [ln 2 , ln 3] 上
单调递增??11 分 下面比较 h(ln 2) 与 h(ln 3) 的大小 (方法一)由 2 ? 3 ? e , 2 ? 3 ? e , ln 2 ?
3 2 3

2 3

2 ln 3 ? 1 以及 h( x) 在 [ln 2 , 1) 上单调递减 3

得 h(ln 2) ? h( ln 3) ??12 分

2 3

2 2 1 h(ln 2) ? h(ln 3) ? h( ln 3) ? h(ln 3) ? ln ? ? 3 3 2 ln 3 2 ln 3 9 1 9 1 27 1 1 ln 3 ln ? (ln 3 ? ln ) 2 ? (ln ) 2 ? (ln 7) 2 ? (ln e 2 ) 2 ? 1 , 4 4 4 4 4 4 4 1 ∴ h(ln 2) ? h(ln 3) ,当且仅当 a ? ln ln 2 ? 时, y ? f ( x) 在 [ln 2 , ln 3] 上单调递减,综 ln 2 1 , ? ?) ??14 分 上所述, a 的取值范围为 (?? , 1] ? [ln ln 2 ? ln 2

1 ? ln 3 ln

9 4 ??13 分

·9 ·

(方法二) 由 ln 2 ln 3 ? ( 的单调性知, ln ln 2 ?

ln 2 ? ln 3 2 ln 6 2 1 1 ) ?( ) ? 1 ,0 ? ln 2 ? ? 1, 以及 h( x) ? ln x ? 2 2 ln 3 x

1 ? ? ln ln 3 ? ln 3 ??12 分 ln 2 2 1 1 1 ? 1 ? ( ) 2 ? ?(1 ? ) 2 ? 0 知, p( x) ? 2 ln x ? x ? 单调递减??13 x x x x 1 ? p(1) ? 0 , ln 3 ? ln ln 3 ? ln 3 ? ln ln 3 ? 1 ln 3

由 (2 ln x ? x ? ) / ? 分 由

1 x

ln 3 ? 1 得

2 ln ln 3x ? ln 3 ?



ln ln 2 ?

1 1 1 ? ln ln 3 ? ,∴ h(ln 2) ? h(ln 3) ,当且仅当 a ? ln ln 2 ? 时, y ? f ( x) 在 ln 2 ln 3 ln 2
1 , ? ?) ??14 分 ln 2

[ln 2 , ln 3] 上单调递减,综上所述, a 的取值范围为 (?? , 1] ? [ln ln 2 ?
( “单调递增??11 分”以下,若直接写 a ? max?ln ln 2 ?

? ?

1 1 ? , ln ln 3 ? ? ,再给 1 分) ln 2 ln 3 ?

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·10·


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