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广东省清远市2013届高三质量检测数学理科卷五


广东省清远市 2013 届高三质量检测数学理科卷 5
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 复数

1 等于 (1 ? i ) 2
1 2
B -

1 1 1 C、 i D - i 2 2 2 2.下列四个条件中, p 是

q 的必要不充分条件的是( .....
A A. p : a ? b , q : a2 ? b2 B. p : a ? b , q : 2a ? 2b C. p : ax 2 ? by 2 ? c 为双曲线, q : ab ? 0 D. p : ax2 ? bx ? c ? 0 , q :



c b ? ?a ?0 x2 x

3. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则 选派方案共有 (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种 4. 在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB 内 部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( ) A.95 B.91 C.88 D.75 5. 等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 6. 设 f ( x) ? ?

? x ?1 ?2e , x ? 2, 则不等式f ( x) ? 2 的解集为 2 ? ?log3 ( x ? 1), x ? 2,
B. ( 10,??) D. (1,2)





A. (1,2) ? (3,??) C. (1,2) ? ( 10,??)

7. 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等 于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 (A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 (C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 (B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 (D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3
·1·

8. 若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12题)



D. x ? 4 y ? 3 ? 0

9. 在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,

c ? 3 ,则 B ?
10. 已知函数 f ( x ) ? a ?
x



1 ,若 f ( x ) 为奇函数,则 a ? 2 ?1

, , 11. 已知向量 a ? (1 n),b ? (?1 n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ?
12. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是 (二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (不等式选讲选做题)对于任意的实数 a(a ? 0)和b, 不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | k 恒成立,则 实数 k 的最大值是_______________。

? x ? 2t 2 14、(坐标系与参数方程选做题) 已知抛物线 C : ? , t 为参数)设 O 为坐标原点,点 ( ? y ? 2t

M ( x0 , y0 ) 在 C 上运动,点 P( x, y) 是线段 OM 的中点,则点 P 的轨迹普通方程为
15.(几何证明选讲选做题) 如右图所示, AB 是圆 O 的直径,

? ? DE , AB ? 10 , BD ? 8 ,则 cos ?BCE ? AD ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

?? ? , ? ,求函数 f (x) 的零点. ?2 ? ?

·2·

·3·

17. (本题满分 12 分) 某市一公交线路某区间内共设置六个站点(如图所示) ,分别为 A0、A1、A2、A3、A4、A5,现有甲、乙 两人同时从 A0 站点上车,且他们中的每个人在站点 Ai、 (i=1,2,3,4,5)下车是等可能的. 求: (Ⅰ)甲在 A2 站点下车的概率; (Ⅱ)甲、乙两人不在同一站点下车的概率. A0 A1 A2 A3 A4 A5

18. (本小题满分 14 分)已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=2AC=4,延长 CB 至 D,使 CB=BD. (I)求证:直线 C1B//平面 AB1D; (II)求平面 AB1D 平面 ACB 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)如果关于 x 的方程 g ( x) ?

3 2 ) ? , g ( x) ? ln x. 2 x

1 x ? m 有实数根,求实数 m 的取值集合. 2

·4·

20. (本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? ?x ? 1? , g ?x? ? 4?x ? 1?. 数列 {an } 中,对任何正整数 n ,等式
2

?an?1 ? an ?g?an ? ? f ?an ? =0 都成立,且 a1 ? 2 ,当 n ? 2 时, an ? 1 ;设 bn ? an ? 1.
(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 S n 为数列 ?nbn ?的前 n 项和, Tn ? S n ?

n ? 3n 3n ? n?2 , 求 lim Tn 的值. n ?? 4 n ?1 4

21. (本小题满分 14 分) 过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 作一条倾斜角 为

? 的直线与抛物线相交于 A,B 两点。 4

(1)用 p 表示 A,B 之间的距离; (2)证明: ?AOB 的大小是与 p 无关的定值, 并求出这个值。

·5·

参考答案
1-8 DDBBCCCA 9.

5π 6

10.

1 2

11.2

12. x ? 2 y ? 3 ? 0

13.2 14. y =x

2

15.

3 5

一、选择题 1. 答案:D 【解析】

1 1 1 ? ? i ,选 D = 2 2 (1 ? i ) 2i

2.答案:D 【解析】A. p 不是 q 的充分条件,也不是必要条件;B. p 是 q 的充要条件;C. p 是 q 的充分条件, 不是必要条件;D.正确 3.答案:B
3 3 【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A7 ? A4 =186 种,选 B.

4. 答案:B 【解析】解析一:由 y=10-

2 2 x(0≤x≤15,x∈N)转化为求满足不等式 y≤10- x(0≤x≤15,x 3 3

∈N)所有整数 y 的值.然后再求其总数.令 x=0,y 有 11 个整数,x=1,y 有 10 个,x=2 或 x=3 时,y 分别有 9 个,x=4 时,y 有 8 个,x=5 或 6 时,y 分别有 7 个,类推:x=13 时 y 有 2 个,x=14 或 15 时,y 分别有 1 个,共 91 个整点.故选 B. 解析二:将 x=0,y=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩形.如图所 示. 对角线上共有 6 个整点,矩形中(包括边界)共有 16×11=176.因此所求 △AOB 内部和边上的整点共有 5. 答案:C

176 ? 6 =91(个) 2



m(m ? 1) ? d ? 30 ?ma1 ? ? 2 【解析】解法一:由题意得方程组 ? ?2ma ? 2m(2m ? 1) d ? 100 1 ? ? 2
视 m 为已知数,解得 d

?

40 10(m ? 2) , a1 ? 2 m m2

∴ S 3m

? 3ma1 ?

3ma1 (3m ? 1) 10(m ? 2) 3m(3m ? 1) 40 d ? 3m ? ? 210 2 m2 2 m2
·6·

解法二:设前 m 项的和为 b1,第 m+1 到 2m 项之和为 b2,第 2m+1 到 3m 项之和为 b3,则 b1,b2,

b3 也成等差数列. 于是 b1=30,b2=100-30=70,公差 d=70-30=40. ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三:取 m=1,则 a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而 d=a2-a1=40. 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210.
6.答案:C 7.答案:C 【解析】 f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ?

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

8.答案:A 【解析】与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数为 4,而

y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A
二、填空题 9.答案:

5π 6
5π 1? 3 ? 7 3 ?? , ,所以 B ? . 6 2 2 ?1? 3

【解析】由正弦定理得 cos B ?

1 2 11.答案: 2
10.答案: 【解析】 2a ? b = (3, n) ,由 2a ? b 与 b 垂直可得:

(3, n) ? (?1, n) ? ?3 ? n2 ? 0 ? n ? ? 3 ,
12. 答案: x ? 2 y ? 3 ? 0

a ? 2。

【解析】 (利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x ? 1 对称点为(2-x,y) 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,? 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 化简得 x ? 2 y ? 3 ? 0 13.答案:2 2 14. 答案:y =x

? ?x ? ? 【解析】依题意有 ? ?y ? ? ?

x0 ? x ? 2 x ? 2t 2 2 2 ,即 ? 0 ,消去参数 t ,可得:y =x y0 ? y0 ? 2 y ? 2t 2

·7·

15 答案:

3 5

【解析】连结 AD、DE,则 AD=DE, ??DAE ? ?DEA ,又 ?DEA ? ?ABD ,??DAE ? ?ABD

??ACD ? ?BAD ,?

AD AC AD BD 8 4 4 ? ? ? ,即 sin ?ACD ? , ,即 = BD BA AC BA 10 5 5 3 ? cos ?BCE ? cos ?ACD ? 5

三、解答题 16. 解: (Ⅰ)

f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ?

?
4

) ????????4 分

故 T ? ? ???????????????????5 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos( 又? x ? ?

?
4

? 2 x) =0,

?? ? ,? ?2 ? ?

?? ????.7 分

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? ????????????????9 分 4 4 4 4 2 5? 5? 故x? 函数 f (x) 的零点是 x ? ????? 12 分 8 8

17. (Ⅰ)基本事件是甲在 Ai(i=1,2,3,4,5)下车 ∴基本事件为 n=5.????????????????????????3 分 记事件 A=“甲在 A2 站点下车” , 则 A 包含的基本事件数为 m=1,

? P ( A) ?

m 1 ? . ????????????????????????6 分 n 5

(Ⅱ)基本事件的总数为 n=5×5=25.????????????????8 分 记事件 B=“甲、乙两人在同一站点下车” , 则 B 包含的基本事件数为 k=5,

? P( B) ?

k 1 ? . ????????????????????????10 分 n 5 4 所以甲、乙两人不在同一站点下车的概率为 1 ? P ( B ) ? . ??????12 分 5

18. 本题主要考查空间线面、面面的位置关系等基本知识,同时考查空间想象能力,满分 14 分. 解: (Ⅰ)连结 C1B 则 C1B1=CB=DB,又 C1B1//BD, 所以,四边形 C1BDB1 是平行四边形,????(4 分) 所以,C1B//B1D,又 B1D ? 平面 AB1D,
·8·

所以,直线 C1B//平面 AB1D.????(7 分) (Ⅱ)在△ACD 中,由于 CB=BD=BA, 所以,∠DAC=90°, 以 A 为原点,建立如图空间直角坐标系,则

A(0,0,0) B1( 3 ,1,4) D(2 3 ,0,0) , ,

AD ? (2 3,0,0) , AB1 ? ( 3,1,4) ???(10 分)
设平面 AB1D 的法向量 n=(x,y,z) ,则

?n ? AD ? 0, ?2 3 ? 0, ? ? 即? ? ?n ? AB1 ? 0, ? 3x ? y ? 4 z ? 0, ? ?
所以 ?

? x ? 0, 取 z=1,则 n=(0,-4,1)??????(12 分) ? y ? ?4 z, n?m 1 4 17 ? .所以sin ? n, m ?? , | n || m | 17 17
4 17 ????(14 分) 17

取平面 ACB 的法向量为 m=(0,0,1) 则 cos ? n, m ??

所以,平面 AB1D 与平面 ACB 所成角的正弦值为 19. 解: (1)函数 f (x) 的定义域是 ( ?

3 ,0) ? (0,?? ). 2 1 2 ( x ? 1)(x ? 3) 对 f (x) 求导得 f ?( x) ? , ? 2 ? 3 x 3 2 x? x (x ? ) 2 2 3 由 f ?( x) ? 0,得 ? ? x ? ?1或x ? 3 ;由 f ?( x) ? 0,得 ? 1 ? x ? 0或0 ? x ? 3. 2 3 ? 因此 (? ,?1)和(3, ?) 是函数 f (x) 的增区间; (-1,0)和(0,3)是函数 f (x) 的减区间。 2 1 1 1 (2)[解法一]:因为 g ( x) ? x ? m ? ln x ? x ? m ? m ? ln x ? x. 2 2 2 1 所以实数 m 的取值范围就是函数 ? ( x) ? ln x ? x 的值域。 2 1 1 对 ? ( x)求导得 ? ?( x ) ? ? . x 2

x 令 ? ?( x) ? 0,得x ? 2,并且当 ? 2时,? ?( x) ? 0;当0 ? x ? 2时,? ?( x) ? 0
∴当 x=2 时 ? (x) 取得最大值,且 ? ( x) max ? ? (2) ? ln 2 ? 1.
·9·

又当 x 无限趋近于 0 时, ln x 无限趋近于 ? ?,? 进而有 ? ( x) ? ln x ?

1 x 无限趋近于 0, 2

1 x 无限趋近于-∞. 2 1 因此函数 ? ( x) ? ln x ? x 的值域是 (??, ln 2 ? 1] , 2
即实数 m 的取值范围是 (??, ln 2 ? 1] 。 [解法二]:方程 g ( x) ?

1 1 x ? m 有实数根等价于直线 g ( x) ? x ? m 与曲线 y=lnx 有公共点, 2 2 1 并且当直线 g ( x) ? x ? m 与曲线 y=lnx 相切时,m 取得最大值. 2 1 设直线 y ? x ? t与曲线 y ? ln x 相切,切点为 T ( x0 , y0 ).则对y ? ln x 求导得 2 ?1 1 ?2 ? x 0 ? 1 ? y ? ? ,根据相切关系得 y 0 ? ln x0 ? x ? 1 ? y 0 ? x0 ? t ? 2 ?
解得

x0 ? 2, y0 ? ln 2,进而t ? ln 2 ? 1. 所以 m 的最大值是 ln 2 ? 1 。
1 x ? m 与曲线 y=lnx 总有公共点。 2

而且易知当 m ? ln 2 ? 1时,直线 y ?

因此实数 m 的取值集合是 (??, ln 2 ? 1]. 20.解: (Ⅰ)? ?an?1 ? an ? ? 4?an ? 1? ? ?an ? 1? ? 0
2

? ?an ? 1? ? ?4an?1 ? 3an ? 1? ? 0.
根据已知, an ? 1

? 4a n ?1 ? 3a n ? 1 ? 0 ? a n ?1 ?

3 1 a n ? . --------------------4 分 4 4

? b1 ? a1 ? 1 ? 1, bn ?1 ? a n ?1 ? 1 ? 3 1 3 3 a n ? ? 1 ? ?a n ? 1? ? bn , 4 4 4 4
3 的 等 比 数 列 。 ------------------------------6 分 4

??bn ? 是 b1 ? 1, 公 比 q ?

·10·

?II ?? bn ? ? 3 ? ? ? ? 4?

n ?1

? 3? , nbn ? n? ? ? 4?
1

n ?1

? 3? ? 3? ? 3? ? Sn ? 1 ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? 4? ? 4? ? 4?
2 3

2

n ?1


n ?1 n

3 3 ?3? ? 3? ? 3? S n ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? ? ? 4 4 ?4? ? 4? ? 4?
①-②得

? 3? ? n?? ? ? 4?



21. 解: (1)焦点 F ?1,0? ,过抛物线的焦点且倾斜角为

? p 的直线方程是 y ? x ? 4 2

? y 2 ? 2 px p2 p2 由? ? AB ? x A ? xB ? p ? 4 p ? x 2 ? 3 px ? ? 0 ? x A ? x B ? 3 p, x A x B ? ? p 4 4 ?y ? x ? 2 ?

( 或 AB ?

2p sin
2

?
4

? 4p )

(2) cos?AOB ?

AO ? BO ? AB
2 2

2

2 AO BO

?

x A ? y A ? x B ? y B ? ?x A ? x B ? ? ? y A ? y B ?
2 2 2 2 2

2

2 xA ? yA
2

?

2

??x

2 B

? yB

2

?

?

?x

x A xB ? y A y B
2 A

? yA

2

??x

2 B

? yB

2

?

?

2 p ?x A ? x B ? ? p 3 41 2 4 ?? 2 41 x A x B x A x B ? 2 p? x A ? x B ? ? 4 p

2x A xB ?

?

?

∴ ?AOB 的大小是与 p 无关的定值, ?AOB ? ? ? arccos3 41 。 41

·11·


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