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2013届高考数学知识点复习测试题19


第1讲

随机事件及其概率

★ 知 识 梳 理 ★ 1
王新敞
奎屯 新疆

事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的

事件;必然事件:在一定条件下必然发生的事件;不可能事件:在一 定条件下不可能发生的事件
王新敞
奎屯 新疆

r />2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发
m 生的频率 n 总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫

做事件 A 的概率,记作 P( A) . 特别提醒:只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下,计算出的 基本事件的个数才是正确的,才能用等可能事件的概率计算公式
m P ( A) = n 来进行计算

王新敞
奎屯

新疆

3. 概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的 频率近似地作为它的概率; 4.概率的性质:必然事件的概率为1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机 事件的概率为 0 ? P( A) ? 1,必然事件和不可能事件看作随机事件的两 个极端情形
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 一般地:如果事件 A1 , A2 ,?, An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事 件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥
王新敞
奎屯 新疆

特别提醒:若事件 A 与 B 不是互斥事件而是相互独立事件,那么在

计算 P( A ? B) 的值时绝对不可以使用 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 这个公式

王新敞
奎屯

新疆

6.对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P( A ? A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( A) 7.互斥事件的概率的求法:如果事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥,那么
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )
王新敞
奎屯 新疆

特别提醒:一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解: 1.互斥事件研究的是两个事件之间的关系; 2.所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 3.两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的. 从集合角度来看,A、B 两个事件互斥,则表示 A、B 这两个事件所 含结果组成的集合的交集是空集. 二. 对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且 仅有一个发生的两个事件, 集合 A 的对立事件记作 A , 从集合的角度 来看,事件 A 所含结果的集合正是全集 U 中由事件 A 所含结果组成 集合的补集,即 A∪ A =U,A∩ A = ? .对立事件一定是互斥事件,但 互斥事件不一定是对立事件. 三.事件 A、B 的和记作 A+B,表示事件 A、B 至少有一个发生.当 A、 B 为互斥事件时,事件 A+B 是由“A 发生而 B 不发生”以及“B 发 生而 A 不发生”构成的.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:了解随机事件,了解两个互斥事件的概率加法公式。 2.难点:会用基本公式计算相关的概率问题. 3.重难点:. (1) “有序”与“无序”混同. 问题 1: 从 10 件产品(其中次品 3 件)中,一件一件地不放回地任 意取出 4 件,求 4 件中恰有 1 件次品的概率。 错解:因为第一次有 10 种取法,第二次有 9 种取法,第三次有 8 种 取法,第四次有 7 种取法,由乘法原理可知从 10 件取 4 件共有 10× 9×8×7 种取法,故从 10 件产品(其中次品 3 件)中,一件一件地 不放回地任意取出 4 件含有 10×9×8×7 个可能的结果。 设 A=“取出的 4 件中恰有 1 件次品” ,则 A 含有 C3 ? C7 种结果(先从
1 3

3 件次品中取 1 件,再从 7 件正品中取 3 件) ,
P( A) ?
1 3 C3 ? C7 1 ? . 10 ? 9 ? 8 ? 7 48

点拨: 计算所有可能结果个数是用排列的方法, 即考虑了抽取的顺序; 而计算事件 A 所包含结果个数时是用组合的方法,即没有考虑抽取 的顺序。 正解: (1)都用排列方法 所有可能的结果共有 A10 个,事件 A 包含 A4 ? A3 ? A7 个结果(4 件中要
4

1

1

3

恰有 1 件次品,可以看成四次抽取中有一次抽到次品,有 A4 种方式, 对于每一方式,从 3 件次品中取一件,再从 7 件正品中一件一件地取

1

3 件,共有 A4 ? A3 ? A7 种取法)
1 1 3

? P( A) ?

1 1 3 A4 ? A3 ? A7 1 ? 4 2 A10

(2)都用组合方法 一件一件不放回地抽取 4 件,可以看成一次抽取 4 件,故共有 C10 个 可能的结果,事件 A 含有 C3 ? C7 种结果。
1 3
4

? P( A) ?

1 3 C3 ? C 7 1 ? . 4 2 C10

(2) “互斥”与“对立”混同 问题 2: 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥 而不对立的两个事件是( ) B.至少有 1 个白球,至少有 1 个

A.至少有 1 个白球,都是白球 红球 C.恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 错误答案(D)

D.至少有 1 个白球,都是红球

点拨: 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同 要准确解答这类问题,必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别, 这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面: (1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立; (2)互斥的概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件; (3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发 生其中一个,但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一 个发生。

正解(A)(B)不互斥,当然也不对立, , (C)互斥而不对立, (D) 不但互斥而且对立 所以正确答案应为(C) 。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一:随机事件的概率 题型 1.椭机事件的判断 [例 1](1)给出下列四个命题: ① “ 当 x ? R 时 , s i nx ? c o sx ? 1 ” 是 必 然 事 件 ; ② “ 当 x ? R 时 ,
s i nx ? c o sx ? 1 ”是不可能事件;③“当 x ? R 时, sin x ? cos x ? 2 ”是随

机事件;④“当 x ? R 时, sin x ? cos x ? 2 ”是必然事件;其中正确的命 题个数是: 0 B1 C2 D3

(2)判断是否正确: “若某疾病的死亡率是 90℅,一地区已有 9 人 患此病死亡,则第 10 个病人必能成活。 ” (3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有 10 万张,中大奖的概率是 10 万分子 1,若已有 9 万 9 千张彩票已被摸出而且没有大奖,某人包 下剩下的 1 千张彩票,那么此人必能中大奖。 ” (4)某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,经过如下表: 投篮次数 n 8 10 8 15 12 20 17 30 25 40 32 50 38

进球次数 m 6

进 球 频 率 0.75 0.8 0.8 0.85 0.83 0.8 0.76

m n

问:随着这位运动员投篮次数的无穷增加,他的进球的概率会是多 少? [解题思路]:正确理解概率的相关概念. 解析: (1)B; (2)否; (3)是; (4)0.8. [例 2] (四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)已知非空集合 A、 B 满足 A ? B,给出以下四个命题: ①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件 ②若 x ? A,则 x∈B 是不可能 事件 ③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件 ④若 x ? B, x ? A 是必然事件 则 其中正确的个数是( )
?

A、1 B、2 C、3 D、4 答案:C [解题思路]:本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用. 解析:①③④正确,②错误. 【名师指引】正确理解概率辩证的概念,它既不是机械的也不是虚无 缥缈的.此类题目多见于选择判断题,比较简单,但要求对相关的的 概念要掌握牢固,否则易出现混淆。

【新题导练】 1. (江苏省南通通州市 2008 届高三年级第二次统一测试)从一堆苹 果中任取了 20 只,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下:

分组 频数

100 , , , , , ?90, ? ?100110? ?110120? ?120130? ?130140? ?140150?

1

2

3

10

1

则 这 堆 苹 果 中 , 质 量 小 于 120 克 的 苹 果 数 约 占 苹 果 总 数 的 答案:30 2. (2009 %.
频率 0.40 0.35 年广东省广州市高三年级调研测试数学(文 0.30

科) )

某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 0.25 随机地
0.20 0.15 在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学 0.10 0.05 生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人. 分数 70 80 90 100 110 120 130

抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形 图如图 5 所示,其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分) 的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?

0

(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于 90 分的概 率.
5 ? 100 解 :(1) 由 频 率 分 布 条 形 图 知 , 抽 取 的 学 生 总 数 为 0.05

人.

??4 分

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d , 由 4 ? 22 ? 6d =100,解得 d ? 2 . ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人, 人, 人, 人. 24 26 28 8分 (2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于 90 分的概率为 ??

0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. 题型 2。求随机事件的概率 [例 3] (广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期 末联考)旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选 其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率 (2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率. [解题思路]:分别找出总事件和所求事件的个数,即可求出随机事件 的概率。 解析: (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为: (2)恰有两条线路没有被选择的概率为:
p2 ? p1 ?
3 A4 3 ? 43 8

2 2 C4 ? C32 ? A2 9 ? 3 4 16

m 【名师指引】在确定应用公式 P(A)= n 后,关键是要把 m, n 的值求

正确。 【新题导练】 3. (广东省北江中学 2009 届高三月考)将一颗骰子先后抛掷 2 次, 观察向上的点数,求: (Ⅰ)两数之和为 8 的概率; (Ⅱ)两数之和是 3 的倍数的概率; 解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 -----------1 分 记“两数之和为 8”为事件 A,则事件 A 中含有 5 个基本事件,

5 所以 P(A)= 36 ; 5 答:两数之和为 6 的概率为 36 。--------------------------------------- 5 分

(2)记“两数之和是 3 的倍数”为事件 B,则事件 B 中含有 12 个 基本事件,
1 所以 P(B)= 3 ; 1 答:两数之和是 3 的倍数的概率为 3 。------------------------------9 分

4. (珠海市斗门中学 2009 届高三上学期第三次模拟)小明、小华用 4 张扑克牌(分别是黑桃 2、黑桃 4,黑桃 5、梅花 5)玩游戏,他们 将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,小明先抽,小华后抽,抽出 的牌不放回,各抽一张. (1)若小明恰好抽到黑桃 4; ①请绘制出这种情况的树状图 ②求小华抽出的牌的牌面数字比 4 大的概率. (2)小明、小华约定:若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大,则 小明胜, 反之, 则小明负, 你认为这个游戏是否公平, 说明你的理由. 解: 1) ( 结果 2 (4,2) ① 小明抽出的牌 小华抽出的牌

4 (4,5) 5 (4,5) 3分

5

2 ② 由①可知小华抽出的牌面数字比 4 大的概率为: 3

6分 (2)小明获胜的情况有: (4,2)(5,4)(5,4)(5,2) 、 、 、 、 (5,2)
5 故 小 明 获 胜 的 概 率 为 : 12



5 7 ? 因 为 12 12 , 所 以 不 公 平 .

13 分

考点二: 互斥事件、对立事件的概率 题型 1:互斥事件 、对立事件的概念考查 [例 4]18 个篮球队中有 2 个强队,先任意将这 8 个队分成两个组(每 组 4 个队)进行比赛,则这两个强队被分在一个组内的概率 是 ;

[解题思路]:正确理解互斥事件 、对立事件的概念。 解析一:2 个强队分在同一组,包括互斥的两种情况:2 个强队都分 在 A 组和都分在 B 组。2 个强队都分在 A 组,可看成“从 8 个队中

C 62 4 抽取 4 个队,里面包括 2 个强队”这一事件,其概率为 C 8 ;2 个强

队都分在 B 组,可看成“从 8 个队中抽取 4 个队,里面没有强队”
C 64 4 这一事件,其概率为 C 8 ;因此 2 个强队分在同一个组的概率为
2 4 C6 C6 3 P? 4 ? 4 ? C8 C8 7 。

解析二: 个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2 个组中各 “2 有一个强队” ,而两个组中各有一个强队,可看成“从 8 个队中抽取
1 3 C 2 C6 4 4 个队,里面恰有一个强队” ,这一事件,其概率为 C8 ,因此 2 个 1 3 C 2 C6 4 3 P ? 1? ? 1? ? 4 7 7。 C8 强队分在同一个组的概率为:

[例 5](广东省 www.ks5u.com 高明一中 2009 届高三上学期第四次月考数学理) )甲、乙两班各派 2 名同学参加年级数学竞赛,参赛同学成绩及格的概率都为 0.6,且参 赛同学的成绩相互之间没有影响,求: (1)甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩及格的概率; (2)甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率. [解题思路]:利用概率乘法公式和互斥事件,对立事件的基础知识 解析: (1)甲班参赛同学恰有 1 名同学成绩及格的概率为 C21×0.6 ×0.4=0.48. 乙 班 参 赛 同 学 中 恰 有 一 名 同 学 成 绩 及 格 的 概 率 为 C21 × 0.6 × 0.4=0.48. 故甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩几个的概率为

p=0.48×0.48=0.230 4. (2)方法一:甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都不及格的概率为 0.44=0.025 6. 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 P=1-0.0256=0.974 4. 方法二: 乙两班参赛同学成绩及格的概率为 C41×0.6×0.43=0.153 甲、 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有 2 名同学成绩及格的概率为 C42×0.62× 0.42=0.345 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有 3 名同学成绩及格的概率为 C43×0.63× 0.4=0.345 6. 甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都及格的概率为 0.64=0.129 6. 故甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率为 p=0.153 6+0.345 6+0.345 6+0.129 6=0.974 4. 【名师指引】运用互斥事件的概率加法公式解题时, 首先要分清事 件是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重 不漏。

【新题导练】
1 5. (2008 年韶关第一次调研)一台机床有 3 的时间加工零件 A,



3 余时间加工零件 B, 加工 A 时,停机的概率是 10 ,加工 B 时,停机的概率

2 是 5 , 则这台机床停机的概率为(

) 1 D. 10

11 A. 30

7 B. 30

7 C. 10

.A 解析:机床停机的概率就是 A,B 两种零件都不能加工的概率, 1 3 2 2 11 即3×10+3×5=30. 6. (广东深圳外国语学校 2008 月考理科数学试题)有朋自远方来, 已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或飞机来的概率; (2)求他不乘轮船来的概率; (3)如果他来的概率为 0.4,请问他有可能是乘何种交通工具来的? 解:设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件 A,B,C,D, 则 P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(D)=0.4,且事件 A,B,C,D 之间 是互斥的. (1) 他 乘 火 车 或 飞 机 来 的 概 率 为 P1=P(A ∪ D)=P(A) + P(D)=0.3 + 0.4=0.7. (2)他乘轮船来的概率是 P(B)=0.2, _ 所以他不乘轮船来的概率为 P(B)=1-P(B)=1-0.2=0.8.

(3)由于 0.4=P(D)=P(A)+P(C), 所以他可能是乘飞机来,也可能是乘火车或汽车来的.

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练 1. (江苏省启东中学 2009 届高三综合测试)从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2004 人中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入 选的概率
25 1 A.不全相等 B.均不相等 C.都相等且为 1002 D.都相等且为

40

答案:C 2. (广东省佛山市三水中学 2009 届高三测试)甲、乙、丙三位同学上
4 2 课后独立完成 5 道自我检测题,甲及格概率为 5 ,乙及格概率为 5 , 2 丙及格概率为 3 ,则三人中至少有一人及格的概率为( 1 A. 25 24 B. 25


59 D.75

C.

16 75

答案:B

3.(上海市部分重点中学 2008 届高三第二次联考)某机关的 2008 年 新春联欢会原定 10 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个反映 军民联手抗击雪灾的节目,将这两个节目随机地排入原节目单,则这 两个新节目恰好排在一起的概率是_______________
2 11 A2 1 ? 答案: 11?12 6

4. (广东省深圳市 2009 届高三九校联考)从编号为 1,2,3,4,5, 6,7,8,9,10 的十个形状大小相同的球中,任取 3 个球,则这 3

个球编号之和为奇数的概率是________. 1 2
1 5

方法一:任取 3 个球有 C 10 种结果,编号之和为奇数的结果有

3

60 1 ? 3 C10 2 . C C + C =60(种) ,故所求概率为
2 5

3 5

方法二:十个球的编号中,恰好有 5 个奇数和 5 个偶数,从中任取 3 个球,3 个球编号之和为奇数与 3 个球编号之和为偶数的机会是均等 1 的,故所求概率为2. 5. (广东省黄岐高级中学 2009 届高三上学期 12 月月考) 将 A、B 两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (I)共有多少种不同的结果? (II)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是多少? 解: (I) 共有 6 ? 6 ? 36 种结果 ??????4 分

(II) 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是 3 的倍数 的结果有: (1,2)(2,1)(1,5)(5,1)(2,4)(4,2) , , , , , , (3,3)(4,5)(5,4)(3,6)(6,3)(6,6)共 12 种.??8 分 , , , , , ( III ) 两 枚 骰 子 点 数 之 和 是 3 的 倍 数 的 概 率 是 : P =
12 1 ? 36 3

????12 分

6. (江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟)在一次语文测试中,有 一道我国四大文学名著 《水浒传》 、 《三国演义》 、 《西游记》 、 《红楼梦》

与它们的作者的连线题,已知连对一个得 2 分,连错一个不得分. (Ⅰ)求该同学得 0 分的概率; (Ⅱ)求该同学至多得 4 分的概率. 解: (I)设该同学得 0 分的概率;
P? 9 9 ? 4 A4 24

(Ⅱ)解法一:该同学至多得 4 分的概率.
P?
1 1 9 C4C2 C42 9 23 ? 4 ? 4 4 1 1 24 A4 A4 A4 = 24 + + =

3 4

解法二:该同学至多得 4 分的概率.
P ? 1? P ? 1? 1 23 ? 24 24

综合拔高训练 7.有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个 数字组成,编码规则如下表:明文由表中每一排取一个字符组成,且 第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符放在第二位,第三排取 的字符放在第三位, 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成 一组成. 明 文 字 A 符 第一排 密 码 字 11 符 12 13 14 B C D

明 文 字 E 符 第二排 密 码 字 21 符 明 文 字 M 符 第三排 密 码 字 1 符 (Ⅰ)求密码中有两个不同数字的概率。 (Ⅱ)求密码中有三个不同数字的概率。 解: (Ⅰ)由密码中只有两个数字,注意到密码的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码.
P? 23 1 ? . 43 8

F

G

H

22

23

24

N

P

Q

2

3

4

(Ⅱ).由密码中只有三个数字,注意表格的第一排总含有数字 1,第 二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字 1,2,3 或 1,2,4.
p1 ?
1 2(22 A3 ? 2C32 ? 1) 19 ? . 43 32

8. (广东省 www.ks5u.com 高明一中 2009 届高三上学期第四次月考数学理) 盒中有 6 只灯泡, 其中 2 只次品, 只正品,有放回地从中任取两次, 4 每次取一只,试求下列事件的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只中正品、次品各一只;

(3)取到的 2 只中至少有一只正品。 解 : 从 6 只 灯 泡 中 有 放 回 地 任 取 两 只 , 共 有 62=36 种 不 同 取 法????? 2 分 (1)取到的 2 只都是次品情况为 22=4 种,因而所求概率为
4 1 ? 36 9

????4 分

(2)由于取到的 2 只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到 正品,第二次取到次品;及第一次取到次品,第二次取到正品。因而 所求概率为
P? 4? 2 2? 4 4 ? ? 36 36 9

????8 分

(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只 都是次品” 的对立事件, 因而所求概率为 12 分 9 . 定 义 A 与 B 的 差 集 : A ? B ? {x | x ? A 且 x ? B} 。 若
B ? { x | ?b ? x ? b }
A ? { x | a ? x ? 0}

P ?1?

1 8 ? 9 9

????



设 a ,b , x 均为整数,且 x ? A 。 P (E ) 为 x 取自 A ? B 的概率, P (F ) 为 x 取 自 A ? B 的概率,写出 a 与 b 的二组值,使
2 1

P( E ) ?

2 1 P( F ) ? 3, 3。

解:要使 P ( E ) ? 3 , P ( F ) ? 3 。可以使 A 中有 3 个元素, A? B 中有 2 个元 素,
A? B 中有

1 个元素。则 a ? ?4 , b ? 2 。
A? B 中有

② A 中有 6 个元素, A? B 中有 4 个元素,
a ? ?7 , b ? 3

2 个元素。则

10. (广州市海珠区 2009 届高三综合测试二)将一枚骰子先后抛掷 2 次,观察向上面的点数 (Ⅰ)点数之和是 5 的概率; (Ⅱ)设 a, b 分别是将一枚骰子先后抛掷 2 次向上面的点数,求式子
2 a ?b ? 1 成立的概率.

解:将一枚骰子先后抛掷 2 次,向上的点数共有 36 种不同的结果.??1 分 (Ⅰ)将一枚骰子先后抛掷 2 次,向上的点数分别记为 a, b ,点数之和是 5 的情况有以下 4 种不同的结果
?a ? 1 ?a ? 4 ?a ? 2 ?a ? 3 ,? ,? ,? ? ?b ? 4 ?b ? 1 ?b ? 3 ?b ? 2 ??5 分
P1 ? 4 1 ? . 36 9 ??6 分

因此,点数之和是 5 的概率为 (Ⅱ)由 2
a ?b

? 1 得 2 a ?b ? 2 0 ,? a ? b ? 0,? a ? b. ??8 分

而将一枚骰子先后抛掷 2 次向上的点数相等的情况有以下 6 种不同的 结果:
?a ? 1 ?a ? 2 ?a ? 3 ?a ? 4 ?a ? 5 ?a ? 6 ,? ,? ,? ,? ,? ? ?b ? 1 ?b ? 2 ?b ? 3 ?b ? 4 ?b ? 5 ?b ? 6 ??11 分
a ?b

因此,式子 2

? 1 成立的概率为

P2 ?

6 1 ? . 36 6 ??12 分


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