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浙江省杭州地区重点中学2016届高三上学期期中联考数学(文)答案(PDF版)


2015 学年第一学期期中杭州地区 (含周边)重点中学 高三年级数学(文科)试卷答案

选择题部分(共 40 分)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 2 , B ? ? x A.

?


?

1 ? ? ? 0 ? ,则 ? CU A? ? B ? ? x ?1 ?
C. ?1, 2? D.

(

)B

??2,1?

B.

? 2, ?? ?

? ??, ?2?

2.已知 a,b∈R,则“ | a ? b |?| a | ? | b | ” 是“ ab ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 3.已知 ? ? R , cos ? ? 3sin ? ? 5 ,则 tan 2? = A.

( )B D.既不充分又不必要条件 ( )A

4 3 4 3 B. C. ? D. ? 3 4 3 4 2 4.若命题“ ?x0∈R,x0 ? (a ? 3) x0 ? 4 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是 ( )B A. (?1,7) B. [ ?1,7] C. (?1,7] D. [?1,7) 4 ,则{an}的前 2015 项的和 S2015 所在的区间 5.已知数列{an}的通项公式为 an ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) 为 ( )C A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ?1, x ? 0 ? 6.已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 ,则函数 f(x)=sgn(lnx)-lnx 的零点个数为 ( )C ? ? 1, x ? 0 ? A.0 B.1 C .3 D.4 7.如图,△ABC 中 AB=2,AC=1,∠C=90°,点 D 满足 AB ? 4 AD , C 点 E 为△ABC 外接圆上的动点,则数量积 CD ? CE 的最大值为 ( )D A. 3 B. 3 2 B A D 3 2 ? 6 3 ? 2 3 C. D. 4 4 E 8 .设函数 y ? f ( x) 在 R 上有定义,对于任一给定的正数 p ,定义函数
? f ( x), f ( x) ? p f p ( x) ? ? ,则称函数 f p ( x ) 为 f ( x ) 的“ p 界函数”若给定函 ? p, f ( x ) ? p 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1, p ? 2 ,则下列结论不成立 的是 ...
1

(

)B

A. f p [ f (0)] ? f [ f p (0)] C. f p [ f (2)] ? f [ f p (2)]

B. f p [ f (1)] ? f [ f p (1)] D. f p [ f (3)] ? f [ f p (3)]

2

非选择题部分(共 110 分)
二.填空题:本大题共 7 小题,共 36 分. 9.设{an}是公比 q 不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn,若 a4,a3,a5 成等差数列,则公比 q 的 S 值为 , 4 ? .-2,5 S2 10.若非零向量 a ,b 满足 a ? (a ? 2b) ,b ? (b ? 2a) ,则 | a | 与 | b | 的大小关系为_______, a 与 b 的夹角为_______. | a | = | b | ;60°

? x ? y≥0 ? 11.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y≤2 ,则相应可行域的面积为_______;若 z=ax+y 的最大值为 ? ? y≥0
4,则 a=_______.1;2 ? 12.已知函数 f(x)=∣sin(?x+ )∣(?>0),(1)当?=2 时,它的最小正周期为 6 ;

(2)若将函数 f(x)图象向右平移 ? 个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则实数?的最小 9 值是 .? ; 3 2 2

?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 13. f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为 1 x ? ? a , x ? 0 , ? x ?

. 0≤a≤2

2 14.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 ? ln x 的值域为 (0, ??) ,则实数 a 的最小值为_________.-2 x ?1

15.若实数 a,b,c 满足 2a+b=2,且 ab+c=3,则 abc 的最大值是

.5 4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 14 分)设集合 A 为函数 y ? ln(? x 2 ? 2 x ? 8) 的定义域, 集合 B 为函数 y ? 2 x ?3 ? 21? x

1 )( x ? 4) ? 0 (a<0)的解集. a (Ⅰ)求 A B ;(Ⅱ)若(?RA)∩C=C,求实数 a 的取值范围.
的值域,集合 C 为不等式 (ax ? 解:(Ⅰ)由-x2-2x+8>0,解得 A=(-4,2), 又 y ? 2 x ?3 ? 21? x≥2 1 =1 , 所以 B=[1,+∞). ??2 分 ??4 分 ??6 分 ??7 分

4

所以 A∪B=(-4,+∞) (Ⅱ)由?RA=(-∞,-4]∪[2,+∞). 由(?RA)∩C=C 得 C??RA; 1 1 x- 2?(x+4)≥0, 由 (ax ? )( x ? 4) ? 0 ,且 a<0 得? a ? ? a 1 ? ∴C=(-∞,-4)∪? ?a2,+∞?,

??11 分

3

1 欲使 C??RA,则 2≥2, a 解得- 2 2 2 ≤a<0 或 0<a≤ .又 a<0,所以- ≤a<0. 2 2 2

综上所述,所求 a 的取值范围是?-

?

2 ? ,0 . 2 ?

??14 分

4

17.(本小题满分 15 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c ,已知 3cos B cos C ? 1

? 3sin B sin C ? cos 2 A
(Ⅰ)求角 A 的大小;

5 ,求△ABC 的面积 S . 7 解:(Ⅰ)由 3 cos B cos C ? 1 ? 3 sin B sin C ? cos 2 A, 得到
(Ⅱ)若 b ? 5 , sin B sin C ?

3cos B cosC ? 2 ? 3sin B sinC? 2cos2 A ,得 2cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 1 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 解得 cos A ? 或 cos A ? ?2(舍去) 2 ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? 3 b c bc 5 2 (Ⅱ)由又由正弦定理,得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin A ? a a 7 a 25 2 2 2 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,又 b ? 5 ,所以 c ? 4或c ? 4 125 3 1 由 S ? bc sin A ? S ? 5 3或S ? 8 2

??3 分 ??5 分 ??7 分 ??10 分 ??13 分 ??15 分

18.(本小题满分 15 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(a,a),B(2,3),C(3,2). (Ⅰ)若向量 AB 与 AC 夹角为钝角,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=1,点 P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)内, OP ? mAB ? nAC (m,n∈R), 求 m-n 的最大值. 解: (Ⅰ)由 AB ? (2 ? a,3 ? a), AC ? (3 ? a, 2 ? a) ,

? ? AB ? AC ? 0 得 ? AB ? ? AC ? ?
……5 分 ……7 分

AB ? AC ? 2(a 2 ? 5a ? 6) ? 0 , 2 ? a ? 3 .
又 a ? 5 时 AB 与 AC 夹角为 ? ,与题不符,∴ a ? (2, 5 ) ( 5 ,3) . 2 2 2 → → → (Ⅱ)∵OP=mAB+nAC,(x,y)=m(1,2)+n(2,1),即 x=m+2n . ……10 分 y=2m+n

?

解得 m-n=y-x.令 y-x=t, 由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m-n 的最大值为 1.

……15 分

5

19.(本小题满分 15 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2015,且对任意 n∈N*均有 an≠0, an ? an?1 ? ? Sn ? 2015 ,其中 ? 为常数. (Ⅰ)求证: an ? 2 ? an ? ? (n∈N*); (Ⅱ)若 ? ? ?53 ,试确定数列{Sn}中第几项为最大项. 解:(Ⅰ)证明: 由已知 an ? an?1 ? ? Sn ? 2015 ……①

∴ an?1 ? an? 2 ? ? Sn?1 ? 2015 ……② ②-①得 (an?2 ? an ) ? an?1 ? ? an?1 ,又 an+1≠0,∴ an ? 2 ? an ? ? .

……6 分

(Ⅱ)将 a1=2015 代入 a1 ? a2 ? ?53a1 ? 2015 得 a2 ? ?54 <0, 由(Ⅰ)知{a2n}是公差为-53 的等差数列,于是 a2n ? a2 n?2 ? … ? a2 ? 0 , 可见 Sn 取最大值时 n 只能是奇数.

n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ? (n ? 1)(? ? 1) ? ? = ? n 2 ? (2014 ? ? )n ? 1 2 2 ? ?53n 2 ? 2067 n ? 1 , …11 分 相应二次函数 y ? ?53x 2 ? 2067 x ? 1 的对称轴为 x ? 39 , 2 故当 n=19 或 n=20 时 S2n-1 取到最大值,即 S37 与 S39 为所求的最大项. ……15 分
S2n-1= 2015n ? 20.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| , g ( x) ? x ? 1 ? a ,其中 a 为常数,且 a≥-3. (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 对 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ?? 2,2? 上的最大值.

?2, x ? -1 ? 解:(Ⅰ) f ( x) ? g ( x) ? a≤ x ? 1 ? x ? 1 ,而函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 ? ??2 x, ?1≤x≤1 的最小值为 ? ??2, x ? 1 -2,∴a≤-2,又由题知 a≥-3,∴-3≤a≤-2. ……5 分 2 ? x ? ax ? a ? 1, -2 ≤ x ? ?1 ? (Ⅱ)因为 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?| x ? 1| ?(| x ? 1| ? a) = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, ? 1 ≤ x ? 1 ……6 分 ? 2 ? x ? ax ? a ? 1, 1 ≤ x ≤ 2 (1)当-1< ? a <1,即-2<a<2 时,由图象特征可知,h(x)max=max{h(-2),h( ? a ),h(2)}, 2 2 2 2 而 h(-2)=3a+3,h( ? a )= a ? a ? 1 ,h(2)=a+3,其中 h( ? a )-h(2)= a ? 2 <0, 4 4 2 2 3a ? 3,0≤a ? 2 故而 h(x)max=max{h(-2),h(2)}= . ……10 分 a ? 3, ?2≤a ? 0

?

(2)当-3≤a≤-2 或 a≥2 时,h(x)max=max{h(-2),h(-1),h(1),h(2)}, 而 h(-2)=3a+3,h(-1)=2a,h(1)=0,h(2)=a+3, ⅰ)当 a≥2 时,3a+3>a+3>2a>0,∴h(x)max=3a+3; ⅱ)当-3≤a≤-2,a+3≥0>3a+3≥2a,∴h(x)max= a+3. 3a ? 3, a≥0 综上得 h(x)max= . a ? 3, ?3≤a ? 0

?

……14 分 ……15 分

6


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