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2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查理科数学


2015 年宁德市普通高中毕业班单科质量检查

数学(理科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效

.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,
s?

, x n 的标准差
2 ? ? xn ? x ? ? ?

锥体体积公式
1 V ? Sh 3

1? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? n

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? {2, 3, 4, 5} ,B ? {x | x ? 3} , 则满足 m ? A 且 m ? B 的实数 m 所 组成的集合为 A. {2} B. {3} C. {4, 5} D. {2, 3}

2.命题“若 x ? ?1 ,则 x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是 A.若 x ? ?1 ,则 x 2 ? x ? 2 ? 0 C.若 x ? ?1 ,则 x 2 ? x ? 2 ? 0 B.若 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? ?1 D.若 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? ?1

理科数学试题 第 1 页 共 6 页

3. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了下表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 19 9 不喜爱打篮球 6 16 合计 25 25

28 22 50 2 根据表中的数据及随机变量 ? 的公式,算得 ? 2 ? 8.12 . 临界值表: P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

0.001 10.828

根据临界值表,你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是 A.97.5% B.99% C.99.5% D.99.9%
开始

4.某公司将 4 名新招聘的员工分配至 3 个不同 的部门,每个部门至少分配一名员工.其中 甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分 配方法的总数为 A.6 B.12 C.24 D.36

x ?1, y ? 0

x ? 2x , y ? y ? 1


5.运行如图所示的程序框图,则输出的所有实数对
( x, y ) 所对应的点都在函数 y ? 4?
否 结束 输出 ( x , y )

A. y ? x ? 1 的图象上 B. y ? x ? 1 的图象上 C. y ? 2x ?1 ? 1 的图象上 D. y ? log 2 x 的图象上 6.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 且 z ? 2 x ? y 的
? y ? ?1, ? 最大值和最小值分别为 m 和 n ,则 m ? n 等于 ? y ? x, ?
2

2 正视图

侧视图

A.8

B.7

C.6

D.5
π 3

7.已知某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 5? 4? ? A. B. C. ? D. 3 3 3

俯视图

理科数学试题 第 2 页 共 6 页

8.已知函数 f ( x) ? 2 3sin(? ? x) ? cos x ? 1 ? 2cos2 x ,其中 x ? R ,则下列结论中正确的是 ? A. f ( x) 的一条对称轴是 x ? 2 ? ? B. f ( x) 在 [? , ] 上单调递增 3 6 C. f ( x) 是最小正周期为 ? 的奇函数 D.将函数 y ? 2sin 2 x 的图象左移

? 个单位得到函数 f ( x) 的图象 6

9 . 已 知 O 为 坐 标 原 点 , 向 量 OA ? (1, 0), OB ? (?1,2) . 若 平 面 区 域 D 由 所 有 满 足 ( ?2 ? ? ? 2 , ?1 ? ? ? 1 )的点 C 组成,则能够把区域 D 的周长和面 OC ? ? OA ? ? OB 积同时分为相等的两部分的曲线是 A. y ?

1 x
5? x 5? x

B. y ? x ? cos x D. y ? ex ? e? x ? 1

C. y ? ln

10.斜率为 k (k ? 0) 的两条直线分别切函数 f ( x) ? x3 ? (t ? 1) x2 ? 1 的图象于 A , B 两点.若 直线 AB 的方程为 y ? 2 x ? 1 ,则 t ? k 的值为 A.8 B.7 C.6 D.5

第 II 卷

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.已知复数 z ? i(1 ? i) ( i 是虚数单位),则 z 的模 z ? _______. 12.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为 3∶5∶7, 现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本, 其中乙 种产品有 30 件,则样本容量 n=________. 13.如图,直线 y ? kx (k ? 0) 与函数 y ? x 2 的图象交于点 O , P , 过 P 作 PA ? x 轴于 A .在 ?OAP 中任取一点,则该点落在阴
O A x P y

影部分的概率为________.

b 14.已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为 a , b, c ,且 a, , c 成等差数列.若其对角 2
线长为 6 ,则 b 的最大值为________. 理科数学试题 第 3 页 共 6 页

15.如图, ?A0 B1 A1 , ?A1B2 A2 , L , ?An ?1 Bn An 均为 等腰直角三角形, 其直角顶点 B1 , B2 , Bn (n ? N ) L ,
*

y

1 在曲线 y ? ( x ? 0) 上, A0 与坐标原点 O 重合, x
Ai (i ? N ) 在 x 轴正半轴上.设 Bn 的纵坐标为 yn ,
*

B1 B2 O(A0) A1 A2 B3 A3 x

则 y1 ? y2 ? L ? yn ? ________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 某渔池年初放养一批鱼苗,为了解这批鱼苗的生长、 健康状况,一个月后,从该渔池中随机捞出 n 条鱼称其 重量(单位:克) ,并将所得数据进行分组,得到如右频 率分布表. (Ⅰ)求频率分布表中的 n , x , y 的值; (Ⅱ)从捞出的重量不超过 100 克的鱼中,随机抽取 3 条 作病理检测,记这 3 条鱼中,重量不超过 90 克的鱼的条 数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

分组 (80,90] (90,100] (100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,150] 合计

频数 3 7
x

频率 0.03 0.07 0.10
y

20 35 20 5

0.35 0.20 0.05 1.00

n

17.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 ,且 an?1 ? 1 an ? 2 ? ( 1 )n?1 .
3 3 3

(Ⅰ)求证:数列 3n ? an 是等差数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

?

?

理科数学试题 第 4 页 共 6 页

18.(本小题满分 13 分) 如图 (1) 所示, 直角梯形 ABCD 中,?BCD ? 90 ,AD // BC ,AD ? 6 ,DC ? BC ? 3 . 过

B 作 BE ? AD 于 E , P 是线段 DE 上的一个动点.将 ?ABE 沿 BE 向上折起,使平面
) . AEB ? 平面 BCDE .连结 PA , PC , AC (如图(2) (Ⅰ) 取线段 AC 的中点 Q , 问: 是否存在点 P , 使得 PQ // 平面 AEB ?若存在, 求出 PD 的长;不存在,说明理由;

2 (Ⅱ)当 EP ? ED 时,求平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值. 3 A
A E P

?

D

E B C 图(1)
19. (本小题满分 13 分)

Q

P

D

B 图(2)

C

某供货商拟从码头 A 发货至其对岸 l 的两个商场 B , C 处, 通常货物先由 A 处船运至 BC 之间的中转站 D ,再利用车 辆转运.如图,码头 A 与两商场 B , C 的距离相等,两商 场间的距离为 20 千米,且 ?BAC ?
? .若一批货物从码头 A 2

l

B

D

C

A 至 D 处的运费为 100 元/千米,这批货到 D 后需分别发车 2 辆、 D B ? ? , 该批货总运费为 S 元. 4 辆转运至 B 、C 处, 每辆汽车运费为 25 元/千米. 设 ?A (Ⅰ)写出 S 关于 ? 的函数关系式,并指出 ? 的取值范围; (Ⅱ)当 ? 为何值时,总运费 S 最小?并求出 S 的最小值. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? ln x(a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ?( x) 在 (0,1) 有唯一的零点 x 0 ,求 a 的取值范围;
1 (Ⅲ)若 a ? (? , 0) ,设 g ( x) ? a(1? x)2 ? 2x ? 1? ln(1? x ),求证: g ( x) 在 (0,1) 内有唯一 2 的零点 x1 ,且对(Ⅱ)中的 x 0 ,满足 x0 ? x1 ? 1 .

理科数学试题 第 5 页 共 6 页

21.(本小题满分 14 分) 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如 果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 7 分)
? 1? 已知二阶矩阵 A 有特征值 ?1 ? 1 , ?2 ? 2 ,其对应的一个特征向量分别为 e1 ? ? ? , ? 1? ?1? e2 ? ? ? . ? 0?

(Ⅰ)求矩阵 A; (Ⅱ)求圆 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A 所对应的线性变换作用下得到曲线 C ? 的方程.

(2)选修 4-4 参数方程与极坐标(本小题满分 7 分) ? x ? 2sin ? , ? (? 是参数 ) 相交于 A , 已知倾斜角为 , 过点 P (1,1) 的直线 l 与曲线 C:? 6 ? y ? 2 ? 2cos ?

B 两点.
(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求 PA ? PB 的值.

(3)选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 7 分) 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,坐标原点为 O , P 点坐标为 ( x, y, z ) . (Ⅰ)若点 P 在 x 轴上,且坐标满足 2 x ? 5 ? 3 ,求点 P 到原点 O 的距离的最小值; (Ⅱ)若点 P 到坐标原点 O 的距离为 2 3 ,求 x ? y ? z 的最大值.

理科数学试题 第 6 页 共 6 页


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