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2.5不等式的证明(拓展课教学设计)


§2.5 不等式的证明
一.教学内容: 有关不等式的证明问题一直是数学中的难点, 除一些基本方法外还牵涉到相当多的技巧 问题,作为高一的不等式证明重在基本证明思路、方法的介绍。所以教材中也不牵涉过多的 技巧问题,主要涉及利用不等式基本性质以及基本不等式来进行证明。 二.教学目标: 1.掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路; 2.能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明; 3.在证明的过程中,加强不等式性质及基本不等式的应用; 4.代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。 三.重点难点: 重点:利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明. 难点:分析法的基本思路及其表达. 四.教学过程: (一)比较法------比较法有两种: (1)作差法:求差与 0 比较. (2)作商法:求商与 1 比较,(要注意讨论分母的符号). *例题 1.求证: (1) x ? x ? 2 ? ? ? x ? 1? ;
2

(2) x ? 2 x ? 2 .
2
2

证明: (1)因为 所以 (2)因为 所以

x ? x ? 2 ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ?1 ? 0 , x ? x ? 2 ? ? ? x ? 1? ;
2

x 2 ? ? 2 x ? 2 ? ? ? x 2 ? 2 x ? 1? ? 1 ? ? x ? 1? ? 1 ? 1 ? 0 ,
2

x2 ? 2 x ? 2 .



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[说明] 本例具有的几何意义: (1) y ? x ? x ? 2? 的图像在 y ? ? x ? 1? 的下方,
2

如图所示(A 点比 B 点低 1 个单位).

A

? ? 1个单位 ?

B

(2) y ? x2 的图像在 y ? 2 x ? 2 的图像上方,

A
如图所示(A 点比 B 点高).

? ? ? 1个单位 ?

B

*例题 2.设 a ? 0 ,b ? 0 ,求证:

a b 1 1 ? 2 ? ? . 2 b a a b

2 2 2 2 3 3 2 2 ? a b ? ? 1 1 ? a ? b ? ab ? a b a ? a ? b ? ? b ? a ? b ? 证明: ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?= ? a 2b 2 a 2b 2 ?b a ? ?a b?

?a ?
因为 a ? 0 , b ? 0 ?
2

2

? b2 ? ? a ? b ? a 2b 2
2

? a ? b? ? a ? b? ?
2

a 2b 2

? a ? b? a ? b ? 0 ,又,
a 2b 2

? 0 ,当且仅当 a ? b ? 0 时等号成立,
a b 1 1 ? 2 ? ? . 2 b a a b

? a ? b ? ? a ? b ? ? 0 ,当且仅当 a ? b ? 0 时等号成立.故 所以,
ab
2 2

另证:因为 a ? 0 , b ? 0 ,所以 ab ? 0 ,则



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a b ? 3 3 2 2 2 2 b2 a 2 ? a ? b ? a ? b ? ab ? a ? b ? 1 ? 2ab ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 . 1 1 ab ? a ? b ? ab ab ab ? a b
当且仅当 a ? b ? 0 时等号成立. 又 a ? 0 ,b ? 0 ?

1 1 a b 1 1 ? ? 0 ,故 2 ? 2 ? ? .当且仅当 a ? b ? 0 时等号成立. a b b a a b

[感悟] 此例采用了比差和比商两种方法给出证明, 由证明过程体会两种方法各自的 “优点” . (二)综合法----从已知条件出发, 利用各种已知的定理和运算性质作为依据, 推导出要证的 结论.这种证明方法称为综合法. *例题 3.已知 a 、 b 、 c 均为正数,求证: ab ? a ? b? ? bc ?b ? c ? ? ca ? c ? a ? ? 6abc . 证明: ab ? a ? b? ? bc ?b ? c ? ? ca ? c ? a ? ? a b ? ab ? b c ? bc ? c a ? ca
2 2 2 2 2 2

? ? a 2b ? bc 2 ? ? ? b 2c ? ca 2 ? ? ? c 2 a ? ab 2 ? ,
因为 a 、 b 、 c 均为正数,由基本不等式 2 和不等式性质得:

? 2abc ? ? ? 2 b 2c ? ca 2 ? 2 ? bca ? ? 2abc ? ? ? a 2b ? bc 2 ? ? ? b 2 c ? ca 2 ? ? ? c 2 a ? ab 2 ? ? 6abc ? 2 2 2 c a ? ab ? 2 ? cab ? ? 2abc ? ? a 2b ? bc 2 ? 2

? abc ?

2

即: ab ? a ? b? ? bc ?b ? c ? ? ca ? c ? a ? ? 6abc .

?a 2b ? bc 2 ? 2 2 2 2 2 当且仅当 ?b c ? ca ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 0 时等号成立. ?c 2 a ? ab 2 ?
所以,不等式 ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc 成立. *例题 4.已知 a 、 b ? R ,求证: 2 a ? b
2

?

2

? ? ?a ? b?

2

.
2

证明: 2 a ? b
2

?

2

? ? a ? ?a
2

2

? b 2 ? ? b 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? ? a ? b ? .

2 2 2 当且仅当 a ? b 时等号成立.所以不等式 2(a ? b ) ? (a ? b) 成立.



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*例题 5.求证:

x2 ? 2 x2 ? 1

? 2.

证明:因为 x2 ? 1 ? 1 ? 0 ,由基本不等式得,

x2 ? 2 x ?1
2

?x ?

2

? 1? ? 1 x ?1
2

? x2 ? 1 ?

1 x ?1
2

?2

x2 ? 1 ?

1 x2 ? 1

?2.

当且仅当 x ? 1 ?
2

1 x ?1
2

? x 2 ? 1 ? 1 ? x ? 0 时等号成立.

所以,不等式

x2 ? 2 x2 ? 1

? 2 成立.

[说明] 此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法. *例题 6.求证: a ? b ?

a 2 ? 1 ? b2 ? 1 ?

1 2 ? a ? b2 ? 1? . 2

证明:一方面, a2 ? 1 ? b2 ? 1 ?

?a

2

2 ? 1?? b 2 ? 1? ? a 2 ? ?? ab ? ? 12 ? ? b 2 ? ?

? a 2 ? 2ab ? b2 ?
当且仅当 ?

? a ? b?

2

? a?b ? a?b.

?ab ? 1 时等号成立. ?a ? b ? 0
2 2

另一方面, a ? 1 ? b ? 1 ?

?

a2 ? 1 ? 2

? ?
2

b2 ? 1

?

2

?

1 2 2 ?a ? b ? ?1. 2

当且仅当 a2 ? 1 ? b2 ? 1 ? a ? b 时等号成立. 所以, a ? b ?

a 2 ? 1 ? b2 ? 1 ?

1 2 ? a ? b2 ? ? 1 , 2

?ab ? 1 ? 当且仅当 ? a ? b ? 0 ? a ? b ? 1 等号同时成立. ?a ? b ?
[说明] 利用基本不等式证明此例有一定难度,可适当选用. (三)分析法----从要证的结论出发,经过适当的变形,分析出使这个结论成立的条件,把证 明结论转化为判定这些条件是否成立的问题,如果能够判定这些条件都成
第 页4 8 页 共

立,那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法. ***分析法也可以如下叙述为: 欲证结论 Q ,需先证得 P , 1 欲要证得 P ,需先证得 P , 1 2 欲要证得 P ,需先证得 P , 2 3 ???????????, 欲要证得 Pn ?1 ,需先证得 P . n 当 P 成立时,若以上步步可逆,则结论 Q 成立.用数学语言表述,必须保证 n 下述过程成立:

Q ? P1 ? P2 ? P ?? ? Pn ?1 ? Pn ,因为 Pn 成立,所以结论 Q 成立. 3
[说明]: 分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向 成立,所以需慎重使用. *例题 7.求证: 1 ? 3 ? 7 . 证明:因为 1 ? 3 ? 0 , 7 ? 0 ,则要证 1 ? 3 ? 7 成立, 即证: 1 ? 3

?

?

2

? ( 7)2 ? 7 成立,

即证: 4 ? 2 3 ? 7 成立. 即证 2 3 ? 3 成立,即证 2 3

?

?

2

? 32 成立,即证 12 ? 9 成立.

因为 12 ? 9 成立,且以上步步可逆,所以, 1 ? 3 ? 7 .
2 2 2 2 2 *例题 8.已知: ad ? bc ,求证: (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) .

证明:要证 a ? b
2

?

2

?? c

2

? d 2 ? ? ? ac ? bd ? 成立,
2

即证 a c ? a d ? b c ? b d ? a c ? 2acbd ? b d 成立
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



页5 8 页 共

即证 a2d 2 ? 2 ? ad ??bc ? ? b2c2 ? 0 成立, 即证 ? ad ? bc ? ? 0 成立,
2

由 ad ? bc ? ad ? bc ? 0 ? (ad ? bc)2 ? 0 成立,且以上步步可逆, 故有

?a

2

? b 2 ?? c 2 ? d 2 ? ? ? ac ? bd ? .
2

*例题 9.设 a 、 b ? R ,求证: a ? b ? a ? b ? a ? b ,并指出等号成立的条件. 证:先证“ a ? b ? a ? b ”. 注意到 a ? b ? 0 , a ? b ? 0 ,则对于任意 a 、 b ? R , 要证 a ? b ? a ? b 成立,
2 2 2

即证 a ? b
2

2

? ? a ? b ? 成立,
2

即证 a ? 2ab ? b ? a ? 2 ab ? b 成立, 即证 ab ? ab 成立, 由 绝 对 值 定 义 知 , 任 意 a 、 b ? R , 都 有 ab ? ab , 且 以 上 步 步 可 逆 , 因 而

a ? b ? a ? b ,且等号成立 ? ab ? 0 .
再证; a ? b ? a ? b ”. “ 由 a ? b ? 0 , a ? b ? 0 ,则对于任意 a 、 b ? R ,要证 a ? b ? a ? b 成立, 即证 a ? b
2

2

? a ? b 成立, 即证 ? a ? b ? ? ? a ? b ? 成立,
2 2 2
2

2 2 即证 a ? 2 a ? b ? b ? a ? 2ab ? b 成立,

即证 ab ? ? ab 成立, 由绝对值定义知,任意 a 、 b ? R ,都有 ab ? ? ab ,且以上步步可逆, 因而 a ? b ? a ? b ,且等号成立 ? ab ? 0 ; 综上可得,任意 a 、 b ? R ,不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b 成立.
第 页6 8 页 共

(推广说明) 例 9 证明的不等式对任意的实数 a 、 b 成立,以 ?b 换 b 得到的不等式

a ? ?b ? a ? b ? a ? ?b ,即 a ? b ? a ? b ? a ? b 也成立,此时,右端等号成立

? a ? ?b ? ? 0 ? ab ? 0 ,左端等号成立 ? a ? ?b ? ? 0 ? ab ? 0 .
以上证得的两个不等式,是绝对值不等式的重要性质,称之为三角不等式: 对于任意

a、b? R ,
(1) a ? b ? a ? b ? a ? b ,左端等号成立 ? ab ? 0 ,右端等号成立 ? ab ? 0 . (2) a ? b ? a ? b ? a ? b ,左端等号成立 ? ab ? 0 ,右端等号成立 ? ab ? 0 . [说明]有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分,可视学生的具体情况而定. *例题 10.已知 x ? a ?

?
2

, y?a ?

?
2

,求证: x ? y ? ? .

证明:由三角不等式可得:

x ? y ? ? x ? a? ? ? y ? a? ? x ? a ? y ? a ?
[说明] 此例为练习 2.4(5)中的一题.

?
2

?

?
2

? ? .所以, | x ? y | ? ? .

(四)课堂小结

(五)作业布置 选用练习 2.4(4) (6) (5) 、习题 2.3 中的部分练习.

五.教学目标说明: 有关不等式的证明可分为两个课时进行.第一课时为比较法、综合法; 第二课时为分析 法. 有关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解,难度不易过高,特 别是在证明的技巧性上需严格控制, 只需对不等式的基本性质以及基本不等式做适当应用即 可.



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教学中的难点为分析法的讲解,一定要慎重.讲清思路以及它的理论依据,特别在书写 格式上应提出严格的要求,防止学生出现证明过程由结论推至条件的严重错误. 三种方法介绍完之后,师生应有所归纳与小结,理清证明思路.事实上,一题往往会有 多种证法,关键在于对题目的分析,选用哪种证法更为合适显得尤为重要.



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