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江苏省苏州大学2013届高三高考考前指导卷(1) 数学试题 Word版含答案


苏州大学 2013 届高考考前指导卷(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上. ........ 1.已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数为 ? ,若 2z = ? ? 2 ? 3 i ,则 z ? . z z 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y ? 3 x 是双曲线

一条渐近线方程,则此双曲线的离心率为 .
x2 y 2 ? ?1的 a 2 b2

3.如图是样本容量为 200 的频率分布直方图.根据此样本的频率分 布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为________.

4.函数 f ( x) ?

x 2 ? ax 为奇函数的充要条件是 a = ( x ? 1)( x ? 1)2



5.某团队有 6 人入住宾馆中的 6 个房间,其中的房号 301 与 302 对门,303 与 304 对门, 305 与 306 对门,若每人随机地拿了这 6 个房间中的一把钥匙,则其中的甲、乙两人恰 好对门的概率为_______. 6.阅读如图所示的流程图,运行相应的程序,若输入 x 的值为-4,则输出 y 的值为________. 7.底面边长为 2,侧棱与底面成 60?的正四棱锥的侧面积为____. 8.已知 f ( x) ? 3sin(2 x ?
π ) ,若存在 ? ? (0, π ) ,使 f (x ? ?) ? f (x ? ?) 对一切 6 实数 x 恒成立,则 ? = .

9.在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),(4,2),(2,6).如 果 P(x,y)是△ ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 ω = xy 取到最大值 时,点 P 的坐标是________. 10.已知 A = { (x,y) | x2 ? y2 ≤4 },B = { (x,y) | (x ? a)2 ? (y ? a)2≤2a2,a ? 0 },则 A∩B 表 示区域的面积的取值范围是___________. 11.方程 | e x ? 1| ? ax ? 1 ? 0 有两个不同的解,则实数 a 的取值范围是________. 12 . 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 正 实 数 集 上 的 单 调 函 数 , 且 满 足 对 任 意 x > 0 , 都 有

f [ f ( x) ? ln x] ? 1 ? e ,则 f (1) = ________.
2 → → → 13.已知 O 是△ABC 的外心,AB = 2a,AC = a,∠BAC = 120?,若 AO = x AB +y AC ,则 x+

y 的最小值是 . 14.记集合 P = { 0,2,4,6,8 },Q = { m | m = 100a1 ?10a2 ? a3,且 a1,a2,a3?P },将集 合 Q 中的所有元素排成一个递增的数列,则此数列的第 68 项是_______. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必 ........ 要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos ? B ? C ? ?1 ? 6cos Bcos C . (1)求 cos A ; (2)若 a = 3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.

16. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC ? AA1 ? 3a, BC ? 2a,D 是 BC 的中点,E,F 分别是 A1A,C1C 上一点, 且 AE ? CF ? 2a. (1)求证:B1F⊥平面 ADF; (2)求三棱锥 B1 ? ADF 的体积; (3)求证:BE∥平面 ADF. A E A1
1

C

1

1

B1 F

1

C

D

B

17. (本小题满分 14 分) 如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线 AE 排 水管 l1 , 在路南侧沿直线 CF 排水管 l 2 , 现要在矩形区域 ABCD 内沿直线 EF 将 l1 与 l 2 接通. 已 知 AB = 60 m,BC = 80 m,公路两侧排管费用为每米 1 万元,穿过公路的 EF 部分的排管费用 为每米 2 万元,设 EF 与 AB 所成角为 ? .矩形区域 ABCD 内的排管费用为 W. (1)求 W 关于 ? 的函数关系式; (2)求 W 的最小值及相应的角 ? .
l1 A E D

公路

公路

B

F

C

l2

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,它的上顶点为 A,左、右焦点分 2 3 a b

别为 F1 , F2 ,直线 AF1,AF2 分别交椭圆于点 B,C. (1)求证直线 BO 平分线段 AC; (2)设点 P(m,n) (m,n 为常数)在直线 BO 上且在椭圆外,过 P 的动直线 l 与椭 圆交于两个不同点 M,N,在线段 MN 上取点 Q,满足 直线上.

MP MQ ,试证明点 Q 恒在一定 ? PN QN

y A P F1 B M F2 O Q C N x

19. (本小题满分 16 分) 数列{an}满足:a1 = 5,an+1-an = 足: Sn = 2(1-bn). (1)证明:数列{an+1-an}是一个等差数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式,并求出数列{anbn}的最大项. 2(an+1+an)+15 (n ? N ) ,数列{bn}的前 n 项和 Sn 满
*

20. (本小题满分 16 分) 已知三次函数 f(x) = 4x3+ax2+bx+c(a,b,c ?R ) (1)如果 f(x)是奇函数,过点(2,10)作 y = f(x)图象的切线 l,若这样的切线有三条,求 实数 b 的取值范围; (2)当-1≤x≤1 时有-1≤f(x)≤1,求 a,b,c 的所有可能的取值.

苏州大学 2013 届高考考前指导卷(1)参考答案
1.2 ? i 6.2 2.2 7. 4 7 3.64 8. 4.? 1
1 5 5 9. (0,2π) 10.(2,5)

5.

π 2 11.a < ? e 12. e 13.2 14.464 15.解:(1) 3(cos B cos C ? sin B sin C) ? 1 ? 6cos B cos C ,

得 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 .

1 即 3cos( B ? C) ? ?1 ,从而 cos A ? ? cos ? B ? C ? ? . 3
(2) 由于 0 ? A ? π ,所以 sin A ?

2 2 . 3

1 又 S?ABC ? bc sin A ? 2 2 ,解得 bc = 6.① 2
由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? c2 =13.② 由①②两式联立可得 b = 2,c = 3 或 b = 3,c = 2. 16. (1)证明:∵AB ? AC,D 为 BC 中点,∴AD⊥BC. 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∵B1B⊥底面 ABC,AD ? 底面 ABC,∴AD⊥B1B. ∵BC ? B1B ? B,∴AD⊥平面 B1BCC1. ∵B1F ? 平面 B1BCC1,∴AD⊥B1F. 在矩形 B1BCC1 中,∵C1F ? CD ? a,B1C1 ? CF ? 2a, ∴Rt△ DCF ≌ Rt△ FC1B1. ∴?CFD ? ?C1B1F.∴?B1FD ? 90°.∴B1F⊥FD. ∵AD ? FD ? D,∴B1F⊥平面 AFD. (2)∵B1F⊥平面 AFD,
1 1 5 2a3 1 ∴ VB1 ? ADF ? ? S△ ADF ? B1F = ? ? AD ? DF ? B1F ? . 3 2 3 3 (3)连 EF,EC,设 EC ? AF ? M ,连 DM ,

C A1
1

1

1

B1 F

1

E M C A

D

? AE ? CF ? 2a ,∴四边形 AEFC 为矩形,? M 为 EC 中点. ? D 为 BC 中点,? MD / / BE . . ? MD ? 平面 ADF , BE ? 平面 ADF ,? BE / / 平面 ADF
17.解: (1)如图,过 E 作 EM ? BC , 垂足为 M,由题意得 ?MEF ? ? (0 ? tan ? ? ) ,

B

4 3

60 , AE ? FC ? 80 ? 60 tan ? , cos ? 60 所以 W ? (80 ? 60 tan ? ) ?1 ? ?2 cos ?
故有 MF ? 60tan ? , EF ?

sin ? 1 ? 120 cos ? cos ? sin ? ? 2 . ? 80 ? 60 cos ? sin ? ? 2 π 4 (2)设 f (? ) ? (其中 0≤? ≤? 0 ? , tan ? 0 ? ) , cos ? 2 3 cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? 则 f ?(? ) ? . ? cos 2 ? cos 2 ? 1 ? 令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ,得 ? ? . 6 2 ? 80 ? 60
列表

?
f ?(? ) f (? )
所以当 ? ?

(0, ) 6
+ 单调递增

?

? 6
0 极大值

( ,?0 ) 6
单调递减

?

?
6

时有 f (? ) max ? ? 3 ,此时有 Wmin ? 80 ? 60 3 .

答:排管的最小费用为 80 ? 60 3 万元,相应的角 ? ?

?
6



18.(1)由题意,

c 3 2 2 2 2 ? ,则 a ? 3c , b ? a ? c ? 2c , a 3 x2 y2 故椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 3c 2c 2 2 2 即 2 x ? 3 y ? 6c ? 0 ,其中 A(0, 2c) , F1 (?c,0) ,
∴直线 AF1 的斜率为 2 ,此时直线 AF1 的方程为 y ? 联立 ?

2( x ? c) ,

? 2 x ? 3 y ? 6c ? 0, ?
2 2 2

? y ? 2 ( x ? c ), ?

2 得 2 x ? 3cx ? 0 , 解得 x1 ? 0 ( 舍 ) 和 x2 ? ? c , 即

3 2

3 2 B ( ? c, ? c) , 2 2 2 c) . 2 2 3c 2c x ,线段 AC 的中点坐标为 ( , ), 直线 BO 的方程为 y ? 3 4 4 3c 2c ) 满足直线 BO 的方程,即直线 BO 平分线段 AC. AC 的中点坐标 ( , 4 4 (2) 设过 P 的直线 l 与椭圆交于两个不同点的坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , Qxy ) , 点 (,
由对称性知 C ( c, ? 则 2 x1 ? 3 y1 ? 6c , 2 x2 ? 3 y2 ? 6c .
2 2 2 2 2 2

3 2

???? ???? ???? ? ???? MP MQ MP MQ ? ? ? ? ,则 MP ? ?? PN , MQ ? ? QN , ,∴设 PN QN PN QN x ? ? x2 x ? ? x2 y ? ? y2 y ? ? y2 求得 m ? 1 ,n ? 1 , ,x ? 1 ,y ? 1 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?


2 2 x12 ? ? 2 x2 y12 ? ? 2 y2 ∴ mx ? , , ny ? 1? ?2 1? ?2 2 2 2 2 2 x 2 ? 2? 2 x2 ? 3 y12 ? 3? 2 y2 2 x12 ? 3 y12 ? ? 2 (2 x2 ? 3 y2 ) ∴ 2mx ? 3ny ? 1 ? ? 6c 2 , 1? ?2 1? ?2 2 由于 m,n,C 为常数,所以点 Q 恒在直线 2mx ? 3ny ? 6c ? 0 上.

19.解 (1)令 n = 1 得 a2-5 = 2(a2+5)+15,解得 a2 = 12,由已知得 (an+1-an)2 = 2(an+1+an)+15 ① 2 (an+2-an+1) = 2(an+2+an+1)+15 ② 将②-①得(an+2-an)(an+2-2an+1+an) = 2(an+2-an), 由于数列{an}单调递增,所以 an+2-an≠0,于是 an+2-2an+1+an = 2,即(an+2-an+1)-(an+1-an) = 2, 所以{an+1-an}是首项为 7,公差为 2 的等差数列,于是 an+1-an = 7+2(n-1) = 2n+5,所以 an = (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 = (2n+3)+(2n+1)+…+7+5 = n(n+4). 2 (2)在 Sn = 2(1-bn)中令 n = 1 得 b1 = 2(1-b1),解得 b1 = 3, 因为 Sn = 2(1-bn),Sn+1 = 2(1-bn+1),相减得 bn+1 = -2bn+1+2bn,即 3bn+1 = 2bn,所以{bn}是 2 2 首项和公比均为3的等比数列,所以 bn = (3)n. 2 从而 anbn = n(n+4)(3)n.设数列{anbn}的最大项为 akbk,则有 2 2 2 2 k(k+4)(3)k≥(k+1)(k+5)(3)k+1,且 k(k+4)(3)k≥(k-1)(k+3)(3)k-1, 所以 k2≥10, k2-2k-9≤0, 且 因为 k 是自然数, 解得 k = 4. 所以数列{anbn}的最大项为 a4b4 512 = 81 . 20.解 (1) 因为 f(x)是奇函数,所以由 f(-x) = -f(x)得 a = c = 0, 设切点为 P(t, 3+bt), 4t 则切线 l 的方程为 y-(4t3+bt) = (12t2+b)(x-t), 由于切线 l 过点 (2, 3 2 3 2 10) ,所以 10-(4t +bt) = (12t +b)(2-t),整理得 b = 4t -12t +5, 令 g(t) = 4t3-12t2+5-b,则 g′(t) = 12t 2-24t = 12t(t-2), 所以 g(t)在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,要使切线 l 有三条,当且仅当 g(t) = 0 有三个实数根,g(t) = 0 有三个实数根当且仅当 g(0)>0,且 g(2) <0,解得-11<b<5. 1 (2)由题意,当 x = ±1,±2时,均有-1≤f(x)≤1,故 -1≤4+a+b+c≤1, ① -1≤-4+a-b+c≤1, 即-1≤4-a+b-c≤1, ② 1 a b -1≤2+4+2+c≤1, 1 a b -1≤-2+4-2+c≤1, ③

1 a b 即-1≤2-4+2-c≤1, ④ ①+②得-2≤8+2b≤2,从而 b≤-3; ③+④得-2≤1+2b≤2,从而 b≥-3. a 代入①②③④得 a+c = 0,4+c = 0,从而 a = c = 0. 下面证明:f(x) = 4x3-3x 满足条件. 1 1 1 事实上,f ′(x) = 12x2-3 = 3(2x+1)(2x-1),所以 f(x)在(-1, -2)上单调递增,在(-2, 2) 1 1 1 上单调递减,在(2,1)上单调递增,而 f(-1) = -1,f(-2) = 1,f(2) = -1,f(1) = 1,所以当 -1≤x≤1 时 f(x)满足-1≤f(x)≤1.


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