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75中高二数学竞赛训练试卷(4)


75 中高二数学竞赛训练试卷(4) 班级
一、选择题 1.设函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 8, 如果 f (bx ? c) ? 4x 2 ? 16x ? 15, 那么 c ? 2b 的值等于( )

姓名

A.3 B.7 C.-3 D.-7 2.已知 P 为四面体 S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点

P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底面 ABC 的距离,那么在侧面 SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( ) A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

3xn ? 1 3 ? xn

2005

,则

?x
n ?1

n

=(



A,1

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) 4 . 已 知 f ( x) ? ? , 定 义 f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)),其中f1 ( x) ? f ( x) , 则 1 ?2(1 ? x), x ? [ ,1] 2 ? 1 f 2007 ( )等于 ( ) 5 1 3 4 2 A. B. C. D. 5 5 5 5 C sin B 5. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别记为 a、 b、 c(b≠1), 且 , 都是方程 log b x=logb(4x-4) A sin A
的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形 二、填空题 6.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 7.如果: (1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 8.设 t ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 则关于 x 的方程 (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) ? 0 的所有实数解之和为
x x x

1 2

2 3

5 6

9.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 10.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 。 11.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的 所有整数 a=__________. 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分)

1

12.已知 a, b, c∈R+,且满足

kabc ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。 a?b?c

13.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外 切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求 ∠MAN 的度数。

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? ? 2 14. 数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? ? an ?1
已知 an ?
30 ,求正整数 n. 19

2

高二数学竞赛模拟试卷(4)答案
一、选择题 1.设函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 8, 如果 f (bx ? c) ? 4x 2 ? 16x ? 15, 那么 c ? 2b 的值等于( A.3 B.7 C.-3
2



D.-7

解 :取 x ? ?2, 有f (c ? 2b) ? 16 ? 16? 2 ? 15 ? ?1 ,而 当 x ? 6 x ? 8 ? ?1 时有x ? ?3 ,所 以

c ? 2b ? ?3 ,故选 C.
2.已知 P 为四面体 S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底面 ABC 的距离,那么在侧面 SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( ) A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆 解:把问题转化成动点 P 到 S 的距离与它到边 BC 的距离比值问题,容易的出答案 D 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

3xn ? 1 3 ? xn

2005

,则

?x
n ?1

n

=(



A,1

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

3 ? 3 , 解: xn+1= 令 xn=tanα n, ∴xn+1=tan(α n+ ), ∴xn+6=xn, x1=1, x2=2+ 3 , x3=-2- 3 , x4=-1, 6 3 1? xn 3 xn ?
2005

x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,……,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。故选 A。

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) 4 . 已 知 f ( x) ? ? , 定 义 f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)),其中f1 ( x) ? f ( x) , 则 1 ?2(1 ? x), x ? [ ,1] 2 ? 1 f 2007 ( )等于 ( ) 5 1 3 4 2 A. B. C. D. 5 5 5 5 7 1 7 1 3 1 4 1 2 1 9 1 1 1 , f2 ( ) ? , f3 ( ) ? , f4 ( ) ? , f5 ( ) ? , f6 ( ) ? , f7 ( ) ? 解: 计算 f 1 ( ) ? 5 10 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 10 1 1 1 1 1 4 可知 f n ( ) 是最小正周期为6的函数。即得 f n ? 6 ( ) ? f n ( ) ,所以 f 2007 ( ) ? f 3 ( ) = , 5 5 5 5 5 5
故选 C. 5. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别记为 a、 b、 c(b≠1), 且 的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形

C sin B , 都是方程 log A sin A

b

x=logb(4x-4)

B.是直角三角形,但不是等腰三角形

3

C.是等腰直角三角形 解: 由 log
b

D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

x=logb(4x-4)得: x2-4x+4=0, 所以 x1=x2=2, 故 C=2A, sinB=2sinA, 因 A+B+C=180°,

所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA≠0, 所以 sin2A=

1 1 ,而 sinA>0,∴sinA= 。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 4 2

二、填空题 6.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.

?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ?? 2 答案: 3 。 ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )(x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?
由对称性只考虑 y ≥ 0 ,因为 x>0 ,∴只须求 x-y 的最小值,令 x-y=u ,代入 x2-4y2=4 ,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 7.如果: (1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 答案:46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 4 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同数
1 1 1 1 1 字时,能组成 C3 C 2 C2 ? C2 C2 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时,能组成 A 4 =24 个不
4 2

同数,所以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 8.设 t ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 则关于 x 的方程 (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) ? 0 的所有实数解之和为
x x x

1 2

2 3

5 6

答案:4 解:令

1 2 5 3 4 5 f(x) ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x , 变形为 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x , 可以发现 2 3 6 6 6 6

函 数 f ( x) 是 R 上 的 减 函 数 。 又 因 为 f (3) ? 1, f (1) ? 2, f (0) ? 3 , 从 而 关 于 x 的 方 程

(t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) ? 0 的解分别为 0、1、3,
9.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 答案:

t ?1 t ?1 13 ? 1 21 ? 1 ? 1, , 。 解: ①若 t2-4>0, 即 t<-2 或 t>2, 则由 2 >x(|x|≤1)恒成立, 得 2 t ?4 t ?4 2 2

t+1>t2-4, t2-t-s<0 解得

1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 ?t ? ,从而 <t<-2 或 2<t< 。②若 t2-4=0, 2 2 2 2
t ?1 t ?1 ? ?1 , <x(|x|≤1)恒成立, 得 2 t+1>-t2+4; 2 t ?4 t ?4

则 t=2 符合题意。 ③若 t2-4<0, 即-2<t<2, 则由

t2+t-3>0,解得:t<

? 1 ? 13 ? 1 ? 13 ? 1 ? 13 或 t> ,从而 <t<2。综上所述,t 的取值范围是: 2 2 2

4

13 ? 1 21 ? 1 <t< 。 2 2
10.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 解 : 设 直 角 三 角 形 的 三 边 为 a,b, 。

a 2 ? b2

,





1 1 ab =a+b+ a 2 ? b 2 ,? ab - a - b ? a 2 ? b 2 ,两边平方并整理有 ab-4a-4b+8=0, ? (a-4)(b-4)= 2 2 8,? a,b 都是正整数,? a=5 时 b=12;a=6 时 b=8,所以满足题意的三角形有 2 个。
11.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的 所有整数 a=__________. 答案: 1 或-2。 令 x=y=0 得 f(0)=-1; 令 x=y=-1, 由 f(-2)=-2 得, f(-1)=-2, 又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1, 再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时,f(y+1)-f(y)>0, 由 f(1)=1 可知对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的 正整数 t,恒有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 三、解答题: 12.解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2ac +2 2bc )2= 4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以

(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ? (a ? b ? c) abc

≥ 8(53

1 a 2b 2 c 5 ) ? ( 5 ) ? 100。 2a 2 b 2 c 2 24

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 13.解:以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0), 点 A(k, λ ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x 2 ? 22 =1+r。所以 x=±

r 2 ? 2r ? 3 , ∴tan∠MAN=

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM

o?r o?h ? ? x?r?h x?r?h o?h o?h 1? ? x?r?h x?r?k

?

2rh 2rh 2rh ,令 ? ? 2 2 (x ? k) ? r ? h (? r 2 ? 2r ? 3 ) 2 ? r 2 ? h 2 h 2 ? k 2 ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2

2m=h2+k2-3,tan∠MAN=

1 ,所以 m+r ? k r 2 ? 2r ? 3 =nhr,∴m+(1-nh)r= ? k r 2 ? 2r ? 3 , n

两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对于任意实数 r≥1,上式恒成立,所

5

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 1 以 ?2m(1 ? nh) ? 2k 2 (2) ,由(1) (2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n= 。由 2m=h2+k2-3 h ?(1 ? nh) 2 ? k 2 (3) ?
得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN=

1 =h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍) (当 Q(0, 0), r=1 时 n

∠MAN=60°) ,故∠MAN=60°。 14. 解 由题设易知,an ? 0, n ?1, 2, . 又由 a1 ? 1 , 可得, 当 n 为偶数时,an ? 1 ; 当 n (?1 )

是奇数时,an ?

1 ? 1. an ?1

由 an ?

30 30 11 ? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ? ? 1 ? ? 1 ,所以, 19 19 19 2

n n n?2 19 19 8 是奇数. 于是依次可得:a n ? 是奇数, ? 1 , ? 1 是偶数,a n ?2 ? ? 1 ? ? 1 , ? 1 2 2 4 11 11 11 2 4

an?2 ?
4 ?1

n?6 n?6 n ? 14 11 11 3 8 是偶数, a n ?6 ? 是奇数, a n ?6 ? ? 1 , 是 ? 1, ? 1 ? ? 1, ?1 8 4 8 8 8 8 3 8 8 n ? 14 8 5 是偶数, ?1 ? ? 1 , 16 3 3 n ? 14 5 2 是奇数, a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 32 3 3 32

偶 数 , a n ?14 ?
16

a n ?14 ?
32 ?1

n ? 46 n ? 46 3 3 1 是偶数, a n ? 46 ? ? 1 ? ? 1 , 是奇数, ? 1, 32 64 2 2 2 64

an?46 ? 2 ? 1 ,
64 ?1

n ? 110 是偶数, 64

an?110 ? 2 ? 1 ? 1 ,
128

所以,

n ? 110 ? 1 ,解得,n=238. 128

6


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