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第1部分 第二章 2.2 2.2.1 应用创新演练


1.下列各式不一定成立的是( A.a+b=b+a

) B.0+a=a D.|a+b|=|a|+|b|

? ??? ? ??? ? ??? C. AC + CB = AB

解析:A 成立,为向量加法交换律;B 正确,这是规定;C 成立,即三角形法则;D 不 一定成立,只有 a,b 同向或有一者为零向量时,才有|a+b|=|a|+|b|. 答案:D 2.在矩形 ABCD 中,| AB |=4,| BC |=2,则向量 AB + AD + AC 的长度等于( A.2 5 C.12 B.4 5 D.6

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

解析:因为 AB + AD = AC ,所以 AB + AD + AC 的长度为 AC 的模的 2 倍,故答 案是 4 5. 答案:B

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? 3.设 a=( AB + CD )+( BC + DA ),b 是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为
( ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② C.①③⑤ B.①③ D.③④⑤ )

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0,
∴①③⑤是正确的. 答案:C 4.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA + PB = PC ,下列结论 中正确的是( )

??? ?

??? ?

??? ?

A.P 在△ABC 的内部 B.P 在△ABC 的边 AB 上 C.P 在 AB 边所在的直线上 D.P 在△ABC 的外部 ??? ? ??? ? ??? ? 解析:∵ PA + PB = PC ,根据平行四边形法则,如图,点 P 在△ABC 外. 答案:D 5.若 a 等于“向东走 8 km”,b 等于“向北走 8 km”,则|a+b|=________,a+b 的 方向是________.

解析:如图所示,设 AB =a, BC =b,则 AC =a+b,且△ABC 为等腰直角三角形,则| AC |=8 2,∠BAC=45° . 答案:8 2 km 北偏东 45° 6.若向量 a,b 满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值是________,最小值是________. 解析:当 a,b 同向时,|a+b|max=8+12=20; 当 a,b 反向时,|a+b|min=12-8=4. 答案:20 4 7.如图,O 为正六边形 ABCDEF 的中心,根据图示计算:

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(1) (2) (3)

??? ? ??? ? OA + OC ; ? ??? ? ??? BC + FE ; ? ??? ? ??? OA + FE .
??? ?

解: (1)因为四边形 OABC 是以 OA、 OC 为邻边的平行四边形, OB 为其对角线, 所以 OA ? ??? ? ??? + OC = OB . ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? (2)因为 BC 与 FE 方向相同且长度相等,所以 BC 与 FE 是相等向量,故 BC + FE 与

? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? BC 方向相同,长度为 BC 长度的 2 倍,因此 BC + FE 可用 AD 表示.所以 BC + FE = ??? ? AD . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3)∵ FE = AO ,∴ OA + FE = OA + AO =0.
8.在汶川 5· 12 大地震后,一架救援直升飞机从 A 地沿北偏东 60° 方向飞行了 40 km 到 B 地,再由 B 地沿正北方向飞行 40 km 到达 C 地,求此时直升飞机与 A 地的相对位置. ??? ? ??? ? ??? ? 解:如图所示,设 AB 、 BC 分别是直升飞机两次位移,则 AC 表示两次 ? ??? ??? ? ??? ? 位移的合位移,即 AC = AB + BC , 在 Rt△ABD 中, ??? ? ??? ? | DB |=20 km,| AD |=20 3 km, 在 Rt△ACD 中, AC= AD2+CD2= ?20 3?2+?40+20?2=40 3(km),∠CAD=60° . 所以此时直升飞机在 A 地的北偏东 30° ,距离为 40 3 km 的位置.


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