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河北省保定市高阳中学2014-2015学年高二下学期第二次月考数学(理)试题


2014-2015 学年第二学期 5 月月考 高二理科数学
(考试时间:120 分钟 题目要求的。 1.复数 z ? A. i 分值:150 分 ) 一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

4 ? 3i 的虚部为( 1 ? 2i
B. ?i

) C. ?1 D.

1

2.设 x, m 均为复数,若 x2 ? m, 则称复数 x 是复数 m 的平方根,那么复数 3 ? 4i ( i 是虚 数单位)的平方根为( A. 2 ? i 或 ?2 ? i ) C. 2 ? i 或 2 ? i D . ?2 ? i 或 ?2 ? i )

B. 2 ? i 或 ?2 ? i

3.满足条件|z-i|=|3-4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( A.一条直线 B.两条直线 C.圆

D.椭圆

4.设⊕是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意 a ,b∈A,有 a ⊕b∈A,则称 A 对运 算⊕封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 ( ) B.整数集 C.有理数集 ) D.无理数集

A.自然数集 5.曲线的参数方程为 ? A.线段

? x ? 3t 2 ? 2
2 ? y ? t ?1

(t 是参数),则曲线是(

B.双曲线的一支

C.圆

D.射线
2

6.已知函数 y ? f ( x) 上任一点 x0, f ( x0 ) 处的切线斜率 k ? ? x0 ? 2 ?? x0 ? 1? 单调递减区间为( A. ? ?1, ??? B. ? ??, 2? ) B. ? ??, ?1? , ?1,2?

?

?

,则该函数的

D. ? 2, ??? )

7.由曲线 y ? A.

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为(
B.4 C.

10 3
-2x

16 3

D.6 ).

8.曲线 y=e 1 A. 3

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为( 1 B. 2 2 C. 3 D.1

9.设 x,y,z∈(0,+∞) , a =x+

1 1 1 ,b ? y ? ,c ? z ? ,则 a, b, c 三数( z x y
C.至少有一个不小于 2



A.至少有一个不大于 2

B.都小于 2

D.都大于 2

10.设 f ' ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ' ( x) 和 y ? f ( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

11.函数 y ? x sin x ? cos x , x ? ? ?? , ? ? 的单调递增区间是( A. ? ?? , ?



?? ? ?? ? ? , ? 0, ? 2? ? 2? ? ? ? ?? ? ? C. ? ?? , ? ? , ? , ? ? 2? ?2 ? ?

B. ? ?

? ? ? ? ?? , 0 ? , ? 0, ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ?? ? D. ? ? , 0 ? , ? , ? ? ? 2 ? ?2 ?

12. 设函数 f ( x ) 的导函数为 f ' ( x) , 对任意 x∈R 都有 f ( x ) > f ' ( x) 成立, 则 A. 3f(ln2)<2f(ln3) C. 3f(ln2)>2f(ln3) 二、填空题(每空 5 分,共 20 分) 。 13.在极坐标系中,过点 A( 4 , ? B. 3f(ln2)=2f(ln3) D. 3f(ln2)与 2f(ln3) 的大小不确定

?
2

)引圆 ? ? 4sin ? 的一条切线,则切线长

.

14.若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列 bn ? dn=

a1 ? a2 ? ? ? an (n∈N*) 也是等差数 n

列;类比上述性质,相应地:若数列{cn}是等比数列,且 cn>0,则有数列

?n ? N ?
*

也是等比数列。 .

15.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是

3 2 16.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx ? c 在 ? ??,0? 上是减函数, 在 ? 0,1? 是增函数, 函数 f ( x )

在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点,则 f (2) 的取值范围是

.

三、解答题: (共 70 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 aln x b 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x x+1 x +2y-3=0,求 a、b 的值.

18.(本小题满分 12 分)在极坐标中,已知圆 C 经过点 P

?

2,

? ,圆心为直线 4

?

? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3? 2 ?

?

??

3

19.(本小题满分 12 分)如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

20. (本小题满分 12 分) 已知 a ∈R, 函数 f ( x ) =(-x + ax ) e (x∈R, e 为自然对数的底数).
2

x

(1)当 a =2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若函数 f ( x ) 在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围;

21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C1 x ? y ? 1 ,以平面直角坐 标系 xoy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? (2 cos? ? sin ? ) ? 6
2 2

(1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2 倍后得到曲线 C2,试 写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程. (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

22.(本小题满 12 分)己知函数 f ( x) ? 1n(ax ? 1) ? x3 ? x2 ? ax .

2 为 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值; 3 b 3 (2) 若 a =-1 时,方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? 有实根,求实数 b 的取值范围. x
(1) 若 x =

高二 5 月考理科数学参考答案
一、CACCD 二、13. 4 2 BCACD 14.
n

AC

c1c2c3 ? cn

15. ( ??, 0)

16. ? ?

? 5 ? , ?? ? ? 2 ?

x+1 ? a? ? x -ln x? b 三、17.解 f′(x)= - 2,-------------4 分 x ?x+1?2 1 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为- ,且过点(1,1),-------------6 分 2 f?1?=1, b=1, ? ? ? ? 故? 1 即?a 1 ------------9 分 f′?1?=- -b=- . ? ? 2 2 ? ?2 解得 a=1,b=1. -------------10 分

?? 3 ? 18.解:圆 C 的圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3 2 ? ?
∴在 ? sin(? ?

?
3

)? ?

3 ,中令θ =0,得 ? =1. 2
----------5 分 -------------8 分

-------------3 分

∴圆 C 的圆心坐标为(1,0). ∵圆 C 经过点 ? ? 2,

? ?

??

?, 4?
2 2

∴圆 C 的半径为 PC= ( 2) ? 1 ? 2 ?1? 2 ? cos

?
4

=1.

---------------10 分

∴圆 C 经过极点. ∴圆 C 的极坐标方程为ρ =2cosθ . -------------12 分 19. 解 : 设 小 正 方 形 的 边 长 为 x 厘 米 , 则 盒 子 底 面 长 为 8 ? 2 x , 宽 为

5 ? 2x ( 0 ? x ?

5 )----------3 分 2
--------------6 分

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ?


10 10 , x ? (舍去) 3 3

---------------9

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ?V最大值 ? 18 --------------12 分
20.解:(1)当 a =2 时,f(x)=(-x +2x)e ,
2

x

∴f′(x)=(-2x+2)e +(-x +2x)e =(-x +2)e . -------------2 分

x

2

x

2

x

令 f′(x)>0,即(-x +2)e >0,--------------3 分 x 2 ∵e >0,∴-x +2>0, 解得- 2<x< 2.--------------5 分 ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2).-------------6 分 (2)∵函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, ∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立.--------------8 分 2 x ∵f′(x)=[-x +( a -2)x+ a ]e , 2 x ∴[-x +( a -2)x+ a ]e ≥0 对 x∈(-1,1)都成立. x ∵e >0, 2 ∴-x +( a -2)x+ a ≥0 对 x∈(-1,1)都成立, 2 即 x -( a -2)x- a ≤0 对 x∈(-1,1)恒成立.------------9 分 2 设 h(x)=x -( a -2)x- a ,

2

x

?h(?1) ? 0 3 ,解得 a ≥ .------------12 分 2 ? h(1) ? 0 21.解: (1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:
只需满足 ? 2x-y-6=0 -----------2 分

∵曲线 C2 的直角坐标方程为 ? ∴曲线 C2 的参数方程为

? x ? ? y? ? ? ? ? ? 1 --------------4 分 ? 3? ?2?

2

2

(θ 为参数) 。--------------6 分 (2)设点 P 的坐标 则点 P 到直线 l 的距离为: d ? --------------10 分 ∴当 sin( 60 ? ? )=-1 时,点 P ? ? ,1? --------------11 分
?

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(60? ? ? ) ? 6 | ? 5 5
? 3 ? ? 2 ?

此时

dmax ?

|4?6| ? 2 5 。--------------12 分 5
a x[3ax 2 ? (3 ? 2a) x ? (a 2 ? 2)] 2 ? 3x ? 2 x ? a ? ax ? 1 ax ? 1

22 解:( 1 ) f ?( x) ? --------2 分

?x ?

2 2 为 f(x)的极值点, ? f ?( ) ? 0 3 3 2 2 2 2 ? 3( a ) + (3-2a ) ? (a 2 ? 2) ? 0 且 a ? 1 ? 0 ? a ? 0 ------------4 分 3 3 3
又当 a =0 时, f ?(x ) ? x (3x ? 2) , -----------5 分

2 为 f(x)的极值点成立. -------------6 分 3 b b 3 2 (2)若 a ? ?1 时,方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? 可得 ln x ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? x x
从而 x ? 即 b ? x ln x ? x (1 ? x )2 ? x (1 ? x ) ? x ln x ? x 2 ? x 3 在 x ? 0 上有解----------8 分 即求函数 g (x ) ? x ln x ? x 2 ? x 3 的值域.

b ? x (ln x ? x ? x 2 )
令 h (x ) ? ln x ? x ? x 2 , 由 h ?(x ) ?



1 (2x ? 1)(1 ? x ) ? 1 ? 2x ? ------------10 分 x x

? x)>0 , 从 而 h(x) 在 (0,1) 上 为 增 函 数 ; 当 x ? 1 时 , ? x ? 0? 当 0 ? x ? 1 时 , h ( h ?(x ) ? 0 ,
从而 h(x)在 (1, ??) 上为减函数.? h (x ) ? h (1) ? 0 ,而 h(x)可以无穷小, ? b 的取值范 围为 ( ??, 0] .------------12 分

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