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全国高中数学联赛模拟试题9附答案


全国高中数学联赛模拟试题(九) 第一试 一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、已知 n、s 是整数.若不论 n 是什么整数,方程 x2?8nx+7s=0 没有整数解, 则所有这样的数 s 的集合是 (A)奇数集 (B)所有形如 6k+1 的数集 (C)偶数集 (D)所有形如 4k+3 的数集 2、某个货场有 1997 辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装 9 箱货物,每 相邻的 4 辆车装货总数为 34 箱.为满足上述要求,至少应该有货物的箱 数是 (A)16966 (B)16975 (C)16984 (D)17009 3、非常数数列{ai}满足 ai2?1 ? ai ai ?1 ? ai2 ? 0 ,且 ai ?1 ? ai ?1 ,i=0,1,2,…,n.对 于给定的自然数 n,a1=an+1=1,则 ? a i 等于 i ?0 n ?1 (A)2 (B)?1 (C)1 (D)0 4、已知?、?是方程 ax2+bx+c=0(a、b、c 为实数)的两根,且?是虚数, ?? 是实数,则 ? ? ? k ?1 ? ? 5985 ?2 ? ? ? 的值是 ? ? k (A)1 (B)2 2 (C)0 2 2 (D) 3 i 2 2 2 ?1 ? b ??1 ? c ? ? ?1 ? a ??1 ? c ? ? ?1 ? a ??1 ? b ? ,则 A 5、已知 a+b+c=abc, A ? bc ac ab 的值是 (A)3 (B)?3 n (C)4 (D)?4 6、对 xi∈{1,2,…,n}, i=1,2,…,n, ? xi ? 有 i ?1 n?n ? 1? ,1x2…xn=n!使 x1,x2,…,xn, x , 2 一定是 1,2,…,n 的一个排列的最大数 n 是 (A)4 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分) 1、设点 P 是凸多边形 A1A2…An 内一点,点 P 到直线 A1A2 的距离为 h1,到 直线 A2A3 的距离为 h2,…,到直线 An-1An 的距离为 hn-1,到直线 AnA1 的 1 距离为 hn.若存在点 P 使 a a1 a 2 ? ? ? ? n (ai=AiAi+1,i=1,2,…,n?1, h1 h2 hn an=AnA1)取得最小值,则此凸多边形一定符合条件 . 2、已知 a 为自然数,存在一个以 a 为首项系数的二次整数系数的多项式, 它有两个小于 1 的不同正根.那么,a 的最小值是 . 3、已知 F ?a,? ? ? a 2 ? 2a sin ? ? 2 ,a、?∈R,a≠0.那么,对于任意的 a、 a 2 ? 2a cos? ? 2 ?,F(a,?)的最大值和最小值分别是 . 4、已知 t>0,关于 x 的方程为 x ? t ? x 2 ? 2 ,则这个方程有相异实根的 个数情况是 . 5、已知集合{1,2,3,…,3n?1,3n},可以分为 n 个互不相交的三元组{x,y,z},其 中 x+y=3z,则满足上述要求的两个最小的正整数 n 是 . n k 6、任给一个自然数 k,一定存在整数 n,使得 x +x+1 被 x +x+1 整除,则这 样的有序实数对(n,k)是(对于给定的 k) . 三、 (20 分) 过正方体的某条对角线的截面面积为 S,试求 S 最大 S 最小 之值. 四、 (20 分) 数列{an}定义如下:a1=3,an= 3an ?1 (n≥2) .试求 a

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