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1.1.1集合的概念


(第一课时) 制作教师:王袁雄
2016.8.22

了解康托尔

德国数学家,集合 论的创始者。1845 年3月3日生于圣彼 得堡(今俄罗斯列 宁格勒),1918年1 月6日病逝于哈雷。

学习目标
1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、 互异性与无序性. 2.掌握元素与集合之间的属于关系并

能用用符 号表示. 3.掌握常用数集及其专用符号
4.掌握集合的表示方法:自然语言、集合语言 (列举法、描述法),并能相互转换 .能选择适当 的方法表示集合.

集合的概念
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些 元素组成的总体叫做集合(简称为集).
思考:

(1)世界上最高的山能不能构成集合? (2)世界上的高山能不能构成集合? (3)由实数1、2、3、组成的集合有几个元素? (4)由实数1、2、3、组成的集合记为A,由实数3、 1、2、组成的集合记为B,这两个集合相等吗?

确定性:给定的集合,它的元素必须是确定
的,也就是说给定一个集合,那么任何一个元素在 不在这个集合中就确定了

互异性:一个给定的集合中的元素是互不相 同的,即集合中的元素不能相同。 无序性:集合中的元素是无先后顺序的,即
集合里的任何两个元素可以交换位置
这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.

判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1) 大于3小于11的偶数; (2) 我国的小河流.

问题
如果用A表示高一(3)班学生组成的集合,a表示高 一(3)班的一位同学,b表示高一(4)班的一位同 学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看出元

素与集合之间有什么关系?

元素与集合的关系

由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成 整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用 小写字母a,b,c等表示集合中的元素. 元素与集合的关系有两种: 如果a是集A的元素,记作:

a? A 如果a不是集A的元素,记作:a ? A
例如,用A表示“ 1~20以内所有的质数”组 成的集合,则有3 ?A,4 ?A,等等。

? ?

常用的数集
数集 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 符号 N N* 或 N + Z

有理数集
实数集

Q
R

判断0与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题 解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 弄清这个集合由哪些元素组成的.

第一课时完,布置作业

(第二课时)

1. 求集合{3 ,x , x2-2x}中,元素x应满足的条件。

2. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.

回顾交流
今天我们学习了哪些内容?
集合的含义

集合元素的性质:确定性,互异性,无序性
元素与集合的关系: ?, ? 常用数集及其表示 集合的表示法:列举法、描述法

格奥尔格· 康托尔 康托尔(Georg Cantor,1845-1918,德) 德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡 (今苏联列宁格勒),1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄 国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年 17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学,从学于 E.E.库默尔、K.(T.W.)外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾 去格丁根学习一学期。 1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲 师资格考试,后即在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。

大学期间康托尔主修数论,但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和 数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871 、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列 (即柯西序列)定义无理数的实数理论,并初步提出以高阶导出集的性质作为 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴 趣和要求。 1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金,此后时常往来并通信讨论。 1873年他估计,虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应,但全体正实数 似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的 估计,并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应,这就证明了超越数 是存在的而且有无穷多。在这篇论文中,他用一一对应关系作为对无穷集合分 类的准则。

在整数和实数两个不同的无穷集合之外,是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索,1877
说,“我见到了,但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦-雷蒙和克罗内克都反对,而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系,而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。 康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。 康托尔认为,建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在 1879~1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇,其中5篇的内容大部分 为点集论,而第5篇很长,此篇论述序关系,提出了良序集、序数及数类的概念。 他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列,并对无穷问题作了不少 的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理(每一集合都能被良序),但未给出证 明。 在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里,他证明了一集合的幂集的基数 较原集合的基数大,由此可知,没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将 连续统假设作为一个估计提出,其后在1883年论文里说即将有一严格证明,但他始 终未能给出。

19世纪70年代许多数学家只承认,有穷事物的发展过程是无穷尽的,无穷只是潜在的, 是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体,例如集合论里的各 种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷,从而遭到了一些数学家和 哲学家的批评与攻击,特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文 里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面,康托尔创建集合论的工作开始时就得到 戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展,已 成为数学的基础理论。
他的著作有:《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。 康托尔是德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡,1918年1 月6日病逝于哈雷。 康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年 入柏林大学,主修数学,1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获 博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后在该大学任讲师,1872年任副教 授,1879年任教授。 集合论是现代数学的基础,康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的 兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较 完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础。


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