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江西省南昌市八一中学2013-2104学年高一文理分科测试数学试题 Word版含答案


高一文理分科测试数学试题
第I卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求的) ? x ?1 1. 设集合 A= ?x x ? 3? , B ? ? x ) ? 0? ,则 A B=( ? x?4 A. ? B. (3,4) C. (-2,1) D. (4+ ? ) ?x 2.当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a 与y ? loga x 的图象是( )
y 1 o x 1 y 1 o 1 y 1 o 1 y 1 o

x

x

1

x

A. B. 2 3.函数 f ( x) ? log1 ( x ? 4x ? 3) 的递增区间是(
2

C. )

D.

(2, ? ?) D. 1 4.在等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 80 ,则 a7 ? a8 的值为( 2 A.4 B.6 C.10 D. 8 5.如图,执行程序框图后,输出的结果为( ) A.8 B.10 C.12 D.32 6.阅读以下程序: INPUT x IF x< 0 THEN y=x﹡x-3﹡x+5 ELSE y=(x -1) ﹡ (x -1) END IF PRINT y END 若输出 y=9, 则输入的 x 值应该是( ) A.-1 B.4 或-1 C.4 D.2 或-2 2 8 7、若 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,则 xy 有( )第 5 题图 x y

( ? ?, 1 ) A.

(3, ? ?) B.

( ? ?, 2) C.



A .最小值 64 D.最大值

B .最大值 64

C .最小值

1 64

1 2 8.若对任意 x∈R,不等式|x|≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<-1 B.D.a≥1 C.| a |<1 | a |≤1 9.一个均匀的正方体玩具,各面上分别标有数字-1,-2,-3,1,2,3,连续掷 两次,向上一面的数字分别为 a,b,则向量(a,b)与(1,-1)的夹角为锐角 的概率是( )

A.

5 12

B.

7 12

C.

1 3

D.

1 2

10、如图,质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位 置为 p0 ( 2 , ? 2 ) ,角速度为 1,那么点 p 到 x 轴距离
d 关于时间 t 的函数图像大致为

(

)

第 II 卷 二、填空题(本题共有 5 小题,每题填对得 5 分,本题满分 25 分.) 11. 某路段属于限速路段,规定通过该路段的汽车时速不得超过 70km/h,否则 视为违规扣分,某天有 1000 辆汽车经过了该路段,经过雷达测速得到这些汽车 运行时速的频率分布直方图,如图所示,则违规扣分的汽车大约为_____辆。 ? ? 1 12. 在区间 [ ? , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2 ? 13. 设 f (sin ? ? cos? ) ? sin ? ? cos? , 则 f (sin ) 的值为 6 14.等差数列{an}的公差为 1,它的前 n 项和为 Sn,且 S12 是{Sn}中唯一的最小项, 则 a6 的取值范围为 . 15.下列命题: ① ?ABC 中,若 A ? B ,则 cos 2 A ? cos 2 B ; ②若 A,B,C 为 ?ABC 的三个内角,则
4 1 9 ? 的最小值为 A B?C ?

③已知 an ? sin

n? 16 19 ? (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 中的最小项为 ; 6 2 ? sin n? 3 6

④若函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,且 0 ? a ? b ? c ,则

f (a) f (b) f (c) ; ? ? a b c

⑤函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 13 的最小值为 29 . 其中所有正确命题的序号是

三、 解答题(本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 16. (本小题满分 12 分)在某次数学考试中,从高一年级 300 名男生和 300 名 女生中,各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下: (1)根据样本统计结果,估计全年级 90 分以上的共有多少人? (2)若记不低于 90 分者为优秀,则在抽取的样本里不低于 86 分的男生和女 生中各选一人,求两人均为优秀的概率。

17(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? , x ? R. (1)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别 a, b, c, 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin( A ? C) ? 2sin A, 求 a , b 的值.

1 2

18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 定 义 一 种 运 算 : 8 1 ? 1 a ? b ? ( x1 x2 , y1 y2 ) 。已知 p ? ( , 2) , m ? ( ,1) , n ? ( , ? ) 。 ? 2 4 2 (1)证明: p ? m ? n ;

?

?

(2)点 P( x0 , y0 ) 在函数 g ( x) ? sin x 的图象上运动,点 Q( x, y ) 在函数 y ? f ( x) 的 图象上运动,且满足 OQ ? m ? OP ? n(其中 O 为坐标原点) ,求函数 f ( x) 的单调 递减区间。

19 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ? 1 , 且 lo g bn ? an ? 是等差数列,首项为 1 ,公差为 2, 其中 2 an?1 ? l o g 2 an ? 1 ,数列 ?

n ? N ?. ①求数列 ?an ?的通项公式; ②求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n .

20. (本小题满分 13 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x2 ? (3 ? a) x ? 2(1 ? a) (其 中 a ? R ). (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? x ? 3 对任意 x ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

21.

14 分 ) 已 知 数 列 n ?1 a1 ? 1 a , ?1 a ?2 a 3 ?3 nan ? an? n ? N ? 1 ( ) 2 ? ??? 2 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?n2an ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若存在 n ? N ? ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.

( 本 小 题 满 分

?an ? 中 ,

故两人均为优秀的概率 P=

5 12

12 分

18. (本题满分 12 分)
8 1 4 ? 1 解: (Ⅰ) p ? ( , 2) , m ? ( ,1) ,依题意得 p ? m ? ( , 2) ,又 n ? ( , ? ) , ? 2 ? 4 2 4 ? 1 ( p ? m) ? n ? ? ? 2 ? ( ? ) ? 0 , 2 分 ? 4 2 ∴

( p ? m) ? n . -------------------------------------------------------4

分 (Ⅱ ) OP ? ( x0 ,sin x0 ) , OQ ? ( x, y ) ,4 分

1 ? 1 由 OQ ? m ? OP ? n 得 ( x, y ) ? ( x0 ? ,sin x0 ? ) , -6 分 2 4 2 1 ? ? x ? x0? ? ? 2 4 , 即? ----7 分 ? y ? sin x ? 1 0 ? ? 2 ? 1 1 1 消去 x0 , 得 y ? sin(2 x ? ) ? ? ? cos 2 x ? , 即 f ( x) ? ? cos 2 x ? -------10 2 2 2 2
分 令 2 k? ? ? ? 2 x ? 2 k? ( k ? Z ) 得 k? ?
? 函数的单调递减区间是 k? ?

?
2

? x ? k? (k ? Z ) --11 分

?
2

? x ? k? (k ? Z ) --12 分

19 解: (1)由题可得: 列。

a n?1 ? 2 ,∴ 数列 ?an ?是以 1 为首项,2 为公比的等比数 an

∴ an ? 2n?1 .??????????????6 分 (2)由题知: bn ? an ? 2n ? 1, ? bn ? 2n?1 ? 2n ? 1, ?1 ? 2n ? 1?n ? 2 n ? n 2 ? 1 .????12 分 ∴ S n ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 20 解: (Ⅰ) f ( x) ? ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] , 而 x1 ? x2 ? 2 ?1 ? a ? a ? 1 , f ( x) ? 0 等价于 ( x ? 2)[ x ? (1 ? a)] ? 0 ,于是 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) (1 ? a, ??) ;????2 分

?

?

当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??, 2) (2, ??) ;????4 分 当 a ? ?1 时, x1 ? x2 ,原不等式的解集为 (??,1 ? a) (2, ??) ????7 分
x2 ? 4 x ? 5 恒成立????9 分 x?2 x2 ? 4 x ? 5 1 又 当 x ? 2 时, ? = ?( x ? 2 ? ) ? ?2 ( 当 且仅 当 x ? 3 时取“ = ” x?2 x?2

(Ⅱ)不等式 f ( x ) ? x ? 3 ,即 a ? ?

号). ????11 分 ? a ? ?2 ????13 分
n ?1 an?1 , n ? N ? ① 2 n ?a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? (n ? 1)an ? an , n ? 2 ② 2 n ?1 n 3n n ?1 ①-②: nan ? an?1 ? an ,? an ? an?1 ,????2 分 2 2 2 2 即 (n ? 1)an ?1 ? 3 ? nan ( n ? 2 ) ,又 2a2 =2,

21 解: (Ⅰ) a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ?

? n ? 2 时,数列 ?nan ? 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.

?nan ? 2 ? 3n?2 (n ? 2) ?1 n ? ? an ? ? 2 n ? 2 ?3 n? ? ?n


, , 1


2

.????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 n ? 2 时, n2an ? 2n ? 3n?2 , ?当 n ? 1 时, T1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ??? ? 2n ? 3n?2 ,①
3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ??? ? 2(n ? 1) ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1 ,②

①-②得, ?2Tn ? 2 ? 2(31 ? 32 ? ??? ? 3n?2 ) ? 2n ? 3n?1 = 2 ? 3 ? 3n?1 ? 2n ? 3n?1 = ?1 ? (1 ? 2n) ? 3n?1
?Tn ? 1 1 ? (n ? )3n?1 (n ? 2) ,又 T1 ? 1 也满足 2 2 1 1 ?Tn ? ? (n ? )3n?1 (n ? N ? ) 2 2

.????

9分



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