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2013届青阳中学第一次调研考前训练(2) 2013-1-12


2013 届青阳中学第一次调研考前训练(2)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? x | y ?

2013-1-12

. x ? 1 ,则 CU M ? 2.设 z1 ? 1 ? i , z 2 ? a ? 2ai (a ? R) ,其中 i 是虚数单位,若复数 z1 ? z 2 是纯虚数,则 a = . 3.一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色,若随机投掷该四面体两次, 则两次底面颜色相同的概率是 . 4.设函数 f ( x) ?

?

?

5.设定义在区间 0, π 上的函数 y ? sin 2 x 的图象与 y ? 1 cos x 图象的交点横坐标为 ? ,则 2 2 . tan? 的值为 6.已知 cos31 ? m ,则 sin 239 tan149 ? (用含 m 的式子表示) . 7.已知 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,则不等式 f ( x2 ? x) ? f (0) 的解集 为 . 8.如图, Ni 表示第 i 个学生的学号, Gi 表示第 i 个学生的成绩,已知学号在 1~10 的学生 的成绩依次为 401、392、385、359、372、327、354、361、345、337,则打印出的第 5 组 数据是 .
0 0 0

?

1 ? a 是奇函数,则实数 a= 2 ?1
x



?

9.在△OAC 中,B 为 AC 的中点,若 OC ? xOA ? yOB ,则 x-y=
开始
i ?1

??? ?

??? ?

??? ?



C
N

Gi ≥360

Y
打印Ni, i G
i ? i ?1 N i ? 50

B O A 第 9 题图

Y
结束

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点,若点 A a 2 b2 x2 y 2 关于点 B 的对称点 C 在双曲线 2 ? 2 ? 1 上,则该双曲线的离心率为 . a b ?x ? 0 ? 11.若 A 为不等式 ? y ? 0 组表示的平面区域,则当实数 a 从 ?1 连续变化到 1 时,动直 ?y ? x ? 2 ? 线 x ? y ? a 扫过 A 中部分的区域面积为 .
10.已知点 A(0, b) , B 为双曲线 12.设 x ? y , xy ? ? ( ? 为常数) ,且
x2 ? y2 的最小值为 2 2 ,则 ? ? x? y

(第 3 题图)



1

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e x ( x ? 0) 的图象上的动点,该图 象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵 坐标为 t,则 t 的最大值是_____________. 14.已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 、 N 分别为线段 BC 、 CD 上的两个不 ???? ? ???? ???? ? 同点,且 MN ≤1 ,则 OM ? ON 的取值范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 15.设△ABC 的三个内角 A,B,C 对边分别是 a,b,c,已知 (1)求角 B ; (2)若 A 是△ABC 的最大内角,求 cos(B ? C) ? 3 sin A 的取值范围.

a b , ? sinA 3 cos B

16.在如图所示的多面体中, AA1 // BB1 , CC1 ? AC,CC1 ? BC . (1)求证: CC1 ? AB ; (2)求证: CC1 // AA1 .

A

A1

C

C1 B1

B

(第 16 题图)

2

17.某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有 200 m 的坝面渗水.经测算 知渗水现象正在以每天 4 m 的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人 平均每天可抢修渗水面积 2 m ,每人每天所消耗的维修材料费 75 元,劳务费 50 元,给每 人发放 50 元的服装补贴,每渗水 1 m 的损失为 250 元.现在共派去 x 名工人,抢修完成共 用 n 天. (1)写出 n 关于 x 的函数关系式; (2)要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失 = 渗水损失 + 政府支出) .
2
2 2

2

18.如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴为 AB ,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直.直线 a 2 b2 (2 ? k ) x ? (1 ? 2k) y ? (1 ? 2 k) ? 0( k ? R) 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的

3 . 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, PH ? x 轴, H 为垂足,延长 HP 到点 Q 使得 HP ? PQ ,连结 AQ 延长交直线 l 于点 M , N 为 MB 的中点.试判断直线 QN 与以 AB 为直

离心率 e ?

径的圆 O 的位置关系.

y
Q

M
N

P A
O

H

B
l

x

3

19.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0) ,数列 {bn } 满足 bn ? an an?1 (n ? N *) . (1)若 {an } 是等差数列,且 b3 ? 12 ,求 a 的值及 {an } 的通项公式; (2)若 {an } 是等比数列,求 {bn } 的前项和 S n ; (3)当 {bn } 是公比为 a ? 1 的等比数列时,{an } 能否为等比数列?若能,求出 a 的值;若不 能,请说明理由.

20.已知函数 f ( x) ?

ln x , x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 a ? 0, 求函数 f ( x ) 在 ? 2a, 4a? 上的最小值; (3)某同学发现:总存在正实数 a 、 b(a ? b) ,使 a b ? b a ,试问:他的判断是否正确?若 不正确,请说明理由;若正确,请直接写出 a 的取值范围(不需要解答过程) .

4

参考答案 13、解:设切点坐标为(m,em) ∴该图象在点 P 处的切线 l 的方程为 y-em=em(x-m) 令 x=0,解得 y=(1-m)em 过点 P 作 l 的垂线的切线方程为 y-em=-e-m(x-m) 令 x=0,解得 y=em+me-m ∴线段 MN 的中点的纵坐标为 t= 1/2 [(2-m)em+me-m] 令 t'=0 解得:m=1 当 m∈(0,1)时,t'>0,当 m∈(1,+∞)时,t'<0 ∴当 m=1 时 t 取最大值 1/2 (e+e-1) 故答案为: 1/2(e+e-1)

设 P 点坐标为(x0,e^x0) 则切线方程是 y=xe^x0+e^xo(1-x0) 所以 M 点坐标是(0,e^xo(1-x0),) 过点 P 作 L 的垂线方程是 y=-x/e^x0+(x0/e^xo+e^xo) 所以 N 点的坐标是(0,(x0/e^xo+e^xo)) 线段 MN 的中点的纵坐标为 T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0 下面再求函数 T=x0/e^x0+2e^x0-e^x0 的最大值即可,将函数求导得导函数是[e^(2x0)+1](1-x0)/e^x0 容易判断函数在 x0=1 处取得极大值 ,也是最大值 带入求解即可 T 的最大值是 e+1/e
f'(x)=e^x, 设 P(x0,e^(x0)),切线 l: y=e^(x0)(x-x0+1),令 x=0,得 M(0,e^(x0)· (1-x0)).法线 l': y=-e^(-x0)(x-x0)+e^(x0),令 x=0,得 N(0,x0· e^(-x0)+e^(x0)). ∴ 2t=2e^(x0)-x0[e^(x0)-e^(-x0)], ∵ 2t'=[e^(x0)+e^(-x0)](1-x0)=0,得驻点 x0=1. ∵ x0,1iht'>0,函数 t 是增函数,t<1 时,t'<0, 函数 t 是减函数, ∴ x0=1 时,t 有最大值[e+e^(-1)]/2.

5

解答:解:由题意可得

?

解: (Ⅰ)由题意得

所以

.…………… 4 分

(Ⅱ)设总损失为

……… 8 分

当且仅当

时,即

时,等号成立. ……………………… 11 分

所以应派 52 名工人去抢修,总损失最小.

……………………… 12 分

6

18、 (1)将 (2 ? k ) x ? (1 ? 2k ) y ? (1 ? 2k ) ? 0 整理得 (? x ? 2 y ? 2)k ? 2 x ? y ? 1 ? 0 解方程组 ?

?? x ? 2 y ? 2 ? 0 得直线所经过的定点(0,1) ,所以 b ? 1 . ?2 x ? y ? 1 ? 0
y
Q

3 由离心率 e ? 得a ? 2. 2

M
N

所以椭圆的标准方程为 (2)设 P ? x0 , y0 ? ,则

x2 ? y 2 ? 1 .---------------------4 分 4

P
O

x0 2 ? y0 2 ? 1 . 4

A

H

B
l

x

∵ HP ? PQ ,∴ Q ? x0 ,2 y0 ? .∴ OQ ? x0 2 ? ? 2 y0 2 ? ? 2 ∴ Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的的圆上.即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上.……6 分 2 y0 又 A ? ?2,0? ,∴直线 AQ 的方程为 y ? ? x ? 2? . x0 ? 2
? 8 y0 ? ? 4 y0 ? 令 x ? 2 ,得 M ? 2, ? .又 B ? 2,0 ? , N 为 MB 的中点,∴ N ? 2, ? .……8 分 x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? ? ???? ? ???? 2x y ? ∴ OQ ? ? x0 ,2 y0 ? , NQ ? ? x0 ? 2, 0 0 ? . x0 ? 2 ? ?

???? ???? x0 ? 4 ? x02 ? 2x y 4x y 2 ∴ OQ ? NQ ? x0 ? x0 ? 2? ? 2 y0 ? 0 0 ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 0 0 ? x0 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

? x0 ? x0 ? 2? ? x0 ? 2 ? x0 ? ? 0 .
???? ???? ∴ OQ ? NQ .∴直线 QN 与圆 O 相切.

1-ln x 1-ln x 20. 解:(1)定义域为(0,+∞),f′(x)= ,令 f′(x)= =0,则 x=e,当 x2 x2 x变 化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,e) + ? e 0 1 e (e,+∞) -

?

∴f(x)的单调增区间为(0,e);单调减区间为(e,+∞). (2)由(1)知 f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以,

7

e 当 4a≤e,即 a≤ 时,f(x)在[2a,4a]上单调递增,∴f(x)min=f(2a); 4 e 当 2a≥e,即 a≥ 时,f(x)在[2a,4a]上单调递减,∴f(x)min=f(4a) 2 e e 当 2a<e<4a 时,即 <a< 时,f(x)在[2a,e]上单调递增,f(x)在[e,4a]上单调递减, 4 2 ln a ∴f(x)min=min{f(2a),f(4a)}.下面比较 f(2a),f(4a)的大小,∵f(2a)-f(4a)= , 4a e ln 2a e ∴若 <a≤1,则 f(2a)-f(4a)≤0,此时 f(x)min=f(2a)= ;若 1<a< , 4 2a 2 ln 4a 则 f(2a)-f(4a)>0,此时 f(x)min=f(4a)= , 4a ln 2a ln 4a 综上得:当 0<a≤1 时,f(x)min=f(2a)= ;当 a>1 时,f(x)min=f(4a)= . 2a 4a (3)正确,a 的取值范围是 1<a<e.

8



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