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2017成都七中高三数学(文)入学试题答案


高 2017 届 2016~2017 学年度下期入学考试

数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. ACBDCDCBDDAC 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. ? 9 2? 13、?-1, 2, ?14、 4 15、 7 16、 2? ? 4 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (Ⅰ)由茎叶图知,极差为 98-52=46.……………………2 分 平均值 X =
52+65+72 ?78 ?86 ?86 ? 86 ? 87 ? 87 ? 88 ? 90 ? 98 =81.25.……………………6 分 12

(Ⅱ)设得分为优秀的班级为 A1 , A2 ,得分为良好的班级为 B1 ,B2 ,B3 , B4 ,B5 ,B6 从中任选 2 个班 级,不同的选法有:
(A1 , A2 ), (A1 , B1 ), (A1 , B2 ), (A1 , B3 ), (A1 , B4 ), (A1 , B5 ), (A1 , B6 ), (A2 , B1 ), (A2 , B2 ), (A2 , B3 ), (A2 , B4 ), (A2 , B5 ), (A 2 , B6 ), (B1 , B2 ), (B1 , B3 ), (B1 , B4 ), (B1 , B5 ), (B1, B6 ), (B2 , B3 ), (B2 , B4 ), (B2 , B5 ), (B2 , B6 ), (B3 , B4 ), (B3 , B5 ), (B3 , B6 ), (B4 , B5 ), (B4 , B6 ), (B5 , B6 ) 共 28 种.……………………10 分

选出两人不在同一年龄段的选法有 13 种,故所求概率 P ?

13 .……………………12 分 28

18、 (Ⅰ)证明:由 A1 B ? A1 D ,O 为 BD 的中点,则 A1O ? BD . 又因为 ABCD 是菱形,所以 CO ? BD .因为 AO 1 ? CO ? O , 所以 BD ? 平面 A1CO .因为 BD ? 平面 BB1D1D , 所以平面 BB1D1D ? 平面 ACO . 1 ……………………5 分
?

D1 A1

C1 B1

D O A B

C

(Ⅱ)由 ?BAD ? 60 , ABCD 是菱形,可得 BO ? 1 , AO ? 3 由 A1 B ? 2 ,可得 A1O ? 1 .
? AO ? BO ? O ,? A1O ? 底面ABCD . 在 AOA1 中,由 AA 1O . 1 ? 2 ,可得 AO ? A

由 AA1 //BB1 ,故 A1 到平面 BCB1 的距离等于 A 到平面 BCB1 的距离 h . 又 BC ? 2, BB1 ? AA1 ? 2, B1C ? A1D ? 2, 解得:S? BCB1 ? 由 VA? BCB ? ? S? BCB ? h ?
1 1

7 . 2

1 3

7 1 3 2 21 h ? VB1 ? ABC ? ? S? ABC ? A1O ? ?h? . ……………12 分 6 3 3 7

第1页

19、 (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? 1. 当 n ? 2, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ? ? 2n ? 2 an ?1 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 ,相减可得:
2n ?1 an ? (n ? 1) ? 2n ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? an ? n. 由 n ? 1, a1 ? 1 满足故 an ? n .……………6 分

(Ⅱ) bn ? tan an ? tan an ?1 ? tan n ? tan(n ? 1)
? tan1 ? tan(n ? 1 ? n) ? tan(n ? 1) ? tan n tan(n ? 1) ? tan n ? tan(n ? 1) tan n ? ? 1. 1 ? tan(n ? 1) tan n tan1

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
?Tn ?

tan 2 ? tan1 tan 3 ? tan 2 tan(n ?1) ? tan n ? ??? ?n , tan1 tan1 tan1

tan(n ? 1) ? tan1 ? n . ……………12 分 tan1

20、 (Ⅰ)由题意可知: c ? 1,

c 2 ,所以 a ? 2, b ? 1, ? a 2

所以所求的椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 2

(Ⅱ)由题意设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 AB 方程为: y ? ? x ? n .

? y ? ?x ? n ? 2 2 联立 ? x 2 ,消 y 整理可得: 3x ? 4nx ? 2n ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
2 2 2 由 ? ? ?4n ? 12 2n ? 2 ? 24 ? 8n ? 0 ,解得 ? 3 ? n ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

?

?

?

?

x1 ? x2 ?

4n 2n 2 ? 2 , x1 x2 ? , . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 3 3

x1 ? x2 2n ? , 2 3 2n n ?n? , 由点 P 在直线 AB 上得: y0 ? ? 3 3
设直线 AB 之中点为 P ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 又点 P 在直线 l 上,

n n 2n ? ? m ,所以 m ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 3 3 3

? S? QAB ?

1 1 2 2 ? 3 ? n2 2 ? (5 ? n) x1 ? x2 ? ? (5 ? n) ? ? ? (5 ? n) 2 (3 ? n 2 ) , n ? (? 2 2 3 3

3, 3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 记 f (n) ? (5 ? n)2 (3 ? n2 ), ? f '(n) ? 2(5 ? n)(n ? 3)(2n ? 1) ,故 f (n) 在 ( ? 3, ? ) 单增,

1 2

第2页

在 (? , 3) 单减,故 ?QAB 的面积最大值为

1 2

11 22 , . . . . . . . . . . . .11 分 12

此时直线 l 的方程为 y ? x ?

1 . . . . . . . . . . .12 分 6
4 x 1 x 4 x?4 ? 2 ( x ? 0) . f '( x) ? 0 ? x ? (4, ??), x2 x

21、(Ⅰ)由题意 f ( x) ? ln x ? ? 4, f '( x) ? ?

∴ f ( x) 的单调递增区间为 (4, ??) , f ( x) 的单调递减区间为 (0, 4) ..................3 分 (Ⅱ)由题意, f '( x) ?
1 a x?a ? ? 2 ( x ? 0) . x x2 x

① a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 单增,? f (1) ? 0,? x ? (0,1), f ( x) ? 0 ,不合题意; ② a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a) 单减,在 (a, ??) 单增,? f ( x)min ? f (a) ? ln a ? a ? 1 ? 0. 记 g (a) ? ln a ? a ? 1,? g '(a) ?
1 1? a ?1 ? , ∴ g ( x) 在 (0,1) 单增,在 (1, ??) 单减, a a

? g (a) ? g(1) ? 0,? a ? 1. 综上 a ? {1}. ....................8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ) ,当 a ? 1 时, ln x ?

x ?1 (*) ,当且仅当 x ? 1 时等号成立. x

11 13 1 13 ( ) ? 2 ,只需证明: e2 ? ( )13 ,两边同时取对数,可以转化为证明: 要证 13 e 11
13 ?1 13 11 2 11 13 1 13 13 2 2 ? 13ln ? ln ? ( ) ? 2 .............12 分 .由(*)式, ln ? 13 ? . ? 11 13 11 11 13 13 e 11

22 、 (Ⅰ)直线 l 的普通方程为 y ? 3 ? x ? 1? , C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 联立方程组

? ?1 3? ? y ? 3 ? x ? 1? ,解得 l 与 C1 的交点为 A ?1, 0 ? , B ? , ? ? ? 2 ? ? , AB ? 1 .............5 分 2 2 2 x ? y ? 1 ? ? ? ?
(Ⅱ)曲线 C2 为 ? 分 从而点 P 到直线 l 的距离是 d ?

? x ? cos ? (? 为参数),故点 P 的坐标是 ? cos? ,3sin? ? ............6 ? y ? 3sin ?
3 cos ? ? 3sin ? ? 3 2 3 ?? ? 2 cos ? ? ? ? ? 1 .....8 分 2 3? ?

?

由此当 cos ? ? ?

? ?

??

3 3 .............10 分 ? ? ?1 时, d 取得最大值,且最大值为 2 3?

第3页


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