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江苏省扬州中学2015届高三10月质量检测数学试题


一、填空题(共计 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1.设全集 U={1,2,3,4},集合 A={ 1,3,4},则?UA= .

2.写出命题:“若 x ? 2 ,则 x ? 1 ”的否命题:

.

3.复数 (1 ? i)(2 ? i) 的模等于

.

4.设

a ? R ,则“ a ? ?2 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ?1 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行” 的 条件.

5. 已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________. 6.曲线 C: y ? cos x ? ln x ? 2 在 x ?

?
2

处的切线斜率为____

____.

7. 已知 tan( ? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan( ? ? ) ? 3 4 7 4

.

2 8. 圆 心 在 曲 线 y ? ( x ? 0 ) 上 , 且 与 直 线 2 x ? y ? 1 ? 0 相 切 的 面 积 最 小 的 圆 的 方 程 x 为 .

? x 2 ? ax, x ? 0 ? 9. 已知函数 f ( x) ? ? 2 为奇函数,则不等式 f ( x) ? 4 的解集为 ? ?bx ? 3 x, x ? 0

.

x+y-2≤0, ? ? 10.实数 x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 ... ? ?2x-y+2≥0. a 的值为 . .

2 11.设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 [(a ?1) x ?1]( x ? ax ?1) ? 0 ,则 a ?

12.设函数 f ( x) ? 围是

3 sin
.

?x
m

2 2 ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x2 0+[f(x0)] <m ,则 m 的取值范

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2-6x+5=0,点 A,B 在圆 C 上,且 AB → → =2 3,则| OA + OB |的最大值是 .

14. 已知 x,y,z∈R,且 x+y+z=1,x2+y2+z2=3,则 xyz 的 最大值是________. 二、解答题(共计 6 小题,第 15,16,17 题每题 14 分,第 18,19,20 题每题 16 分,共计 90 分) 15.已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x?R . 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间; ( 2 ) 设 △ ABC 的 内 角 A , B, C的 对 边 分 别 为 a , b, c 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若

s i nB ? 2 s i A n ,求 a , b 的值.

16.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3), C(3,2),点 P(x,y)在△ABC 三边围 成的区域(含边界)上. → → → → (1)若PA +PB+PC=0,求|OP|; → → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.

18. 如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tanα=-2.在 该块土地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现 要过点 P 修建一条直线公路 BC,将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园.为尽量减少 耕地占用,问如何确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.

19.已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1 , 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为圆 H . (1)若直线 l 过点 C ,且被圆 H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P , 若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N , 使得点 M 是线段 PN 的中点,求圆 C 的半径 r 的取值范围.

[来源:学科网 ZXXK]

20.已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1 )内有零点,求 a 的取值范围.

高 三 数 学 附 加 题
2014.10 选修 4-2:矩阵与变换
[来源:Z。xx。k.Com]

21.变换 T1 是逆时针旋转 是 M2 ? ?

? 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M 1 ;变换 T2 对应的变换矩阵 2

?1 1? ?. ?0 1?

(Ⅰ)求点 P(2,1) 在变换 T1 作用下的点 P ' 的坐标; (Ⅱ)求函数 y ? x 的图象依次在变换 T1 , T2 作用下所得曲线的方程.
2

选修 4—4:坐标系与参数方程 22.已知圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x

? ?x ? ? 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?
若直线 l 与圆 C 相切,求实数 m 的值。
[来源:学科网]

2 t?m 2 (t 是参数) 。 2 t 2

23.在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某 明星判 断正确的概率为 p ,判断错误的概率为 q ,若判断正确则加 1 分,判断错误则减 1 分, 现记“该明星答完 n 题后总得分为 S n ”.

(I)当 p ? q ?

1 时,记 ? ?| S 3 | ,求 ? 的分布列及数学期望; 2 1 2 (II)当 p ? , q ? 时,求 S 8 ? 2且S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 的概率. 3 3

江苏省扬州中学 2014-2015 学年第一学期质量检测













2014.10

由 2k? ?

3? , (k ? Z ) ,得 2 6 2 ? 5? ], k ? Z , f ( x ) 的单调递减区间 [k? ? , k? ? 3 6 ? 2x ? ? 2k? ?

?

?

(2) f (C ) ? sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?
6

) ?1 ? 0,

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? , 6

所以 2C ?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

, ① ②

因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a , 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?
3

2 2 2 ,即 c ? a ? b ? ab ? 3

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 .

→ → → 16. 解:(1)方法一:∵PA+PB+PC=0, → → → 又PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),

?6-3x=0, ?x=2, ? ? ∴? 解得? ? ? ?6-3y=0, ?y=2,

→ → 即OP=(2,2),故|OP|=2 2. → → → 方法二:∵PA+PB+PC=0, → → → → → → 则(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0, → 1 → → → ∴OP= (OA+OB+OC)=(2,2), 3 → ∴|OP|=2 2. → → → (2)∵OP=mAB+nAC, ∴(x,y)=(m+2n,2m+ n),
? ?x=m+2n, ∴? ?y=2m+n, ?

两式相减得,m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大 值为 1.

2 17. (1)由不等式 mx ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 (?1, n) 知 2 关于 x 的方程 mx ? 2 x ? 3 ? 0 的两根为-1 和 n,且 m ? 0

2 ? ?1 ? n ? ? ? m 由根与系数关系,得 ? ? ?1 ? n ? ? 3 ? m ?
所以原不等式化为 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 ,

∴?

?m ? 1 , ?n ? 3

①当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,且 2 ?

2 a

2 2 ,解得 x ? 或 x ? 2 ; a a

2 ②当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2) ? 0 ,解得 x ? R 且 x ? 2 ;③

④当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,且 2 ? 综上所述 当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 ? x | x ?

2 a

2 2 ,解得 x ? 或 x ? 2 ; a a

2 或 x ? 2 ?; a

当 1 ? a ? 2 时,原不等式的解集为 ?x | x ? 2 或 x ?

2 a

?.

(2)

5 ?1 2

18. 解: (方法一) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角 坐标系. 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0) . 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, 得 ∣2x0+y0∣ = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5

所以点 P(1,3). 显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1- . k
?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . y =- 2 x k+2 ?

-k2+6k-9 8k-9 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . 2 k2+2k k +2k 由 S?= -2(4k+3)(k-3) 3 =0 得 k=- 或 k=3. 4 (k2+2k)2

3 3 当-2<k<- 时,S?<0,S 单调递减;当- <k<0 时,S?>0,S 单调递增.13 分 4 4 3 所以当 k=- 时,即 AB=5 时,S 取极小值,也为最小值 15. 4 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2. (方法二) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0). 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3.

由 P 到直线 AN 的距离为 5, 得 ∣2x0+y0∣ = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5

所以点 P(1,3). 显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1- . k
?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . k+2 ?y=-2x

-k2+6k-9 8k-9 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= ?xB?yC= =-1+ 2 . 2 2 k +2k k +2k t+9 令 8k-9=t,则 t∈(-25,-9),从而 k= . 8 t 64t 64 因此 S=-1+ =-1+ 2 =-1+ . 225 t+9 2 t+9 t +34t+225 34 + t + ( ) +2× t 8 8 因为当 t∈(-25,-9)时,t+ 225 ∈(-34,-30], t

225 当且仅当 t=-15 时,此时 AB=5,34+t+ 的最大值为 4.从而 S 有最小值为 15. t 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2. (方法三) 如图 2,过点 P 作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足为 E、F,连接 PA.设 AB=x,AC=y. 因为 P 到 AM,AN 的距离分别为 3, 5, 即 PE=3,PF= 5. 由 S△ABC=S△ABP+S△APC 1 1 1 = ?x?3+ ?y? 5 = (3x+ 5y). ① 2 2 2 因为 tan?=-2,所以 sin?= 1 2 所以 S△ABC= ?x?y? . 2 5 ② 2 . 5
F A E B (第 17 题图 2) M N C P ·

1 2 1 由①②可得 ?x?y? = (3x+ 5y). 2 5 2 即 3 5x+5y=2xy. ③ 因为 3 5x+5y≥2 15 5xy,所以 2xy≥2 15 5xy . 解得 xy≥15 5. 当且仅当 3 5x=5y 取“=” ,结合③解得 x=5,y=3 5.

1 2 所以 S△ABC= ?x?y? 有最小值 15. 2 5 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2.

19. (1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x ? 0 ,线段 BC 的垂直平分线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,所 以外接圆圆心 H (0,3) ,半径 12 ? 32 ? 10 , ? H 的方程为 x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 . 设圆心 H 到直线 l 的距离为 d ,因为直线 l 被 ? H 截得的弦长为 2,所以 d ? ( 10)2 ? 1 ? 3 . 当直线 l 垂直于 x 轴时,显然符合题意,即 x ? 3 为所求; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 3) ,则
3k ? 1 1? k
2

? 3 ,解得 k ?

4 , 3

综上,直线 l 的方程为 x ? 3 或 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . (2) 直线 BH 的方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ,设 P(m, n)(0 ? m ? 1), N ( x, y ) , 因为点 M 是点 P , N 的中点,所以 M (
m? x n? y , ) ,又 M , N 都在半径为 r 的 ? C 上, 2 2

2 ?( x ? 3)2 ? (y ? 2) ?r2 , 2 2 2 ? ? ?( x ? 3) ? ( y ? 2) ? r , 所以 ? m ? x 即 ? n? y 2 2 2 2 ? 3)2 ? ( ? 2) ?r2 . ? ?( ?( x ? m ? 6) ? ( y ? n ? 4) ? 4r . ? 2 2

因为该关于 x, y

的方程组有解, 即以 (3, 2) 为圆心 r 为半径的圆与以 (6 ? m, 4 ? n) 为圆心 2r 为半径的圆有公共 点,所以 (2r ? r )2 ? (3 ? 6 ? m)2 ? (2 ? 4 ? n)2 ? (r ? 2r )2 ,
12m ? 10 ≤9r 2 对 ?m ? [0 , 1] ]成立. 又 3m ? n-3 ? 0 ,所以 r 2 ≤10m2-

32 32 而 f ? m? ? 10m2- 12m ? 10 在[0,1]上的值域为[ ,10],故 r 2 ≤ 且 10 ≤ 9r 2 . 5 5
1] 成立,即 r 2 ? 又线段 BH 与圆 C 无公共点,所以 (m ? 3)2 ? (3 ? 3m ? 2)2 ? r 2 对 ?m ? [0 ,

32 . 5

故 ? C 的半径 r 的取值范围为 [

10 4 10 , ). 3 5

20. 解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1,得 g(x)=f′(x)=ex-2a x-b. 所以 g′(x)=ex-2a. 当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b;

1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1),所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调 2 2 递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增, 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 2 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2 (2)设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点, 则由 f(0)=f(x0)=0 可知,f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2. 故 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

1 由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点; 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意. 2 1 e 所以 <a< . 2 2 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 因此 x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0 得 a+b=e-1<2, 则 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0, 解得 e-2<a<1.

附加题答案: 21. (1) M1 ? ?

?0 ?1? ?2? ?0 ?1? ?2? ? ?1? , M1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 0 ? ? 1 ? ?1 0 ? ? 1 ? ? 2 ?

所以点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标是 P '(?1, 2) . (2) M ? M 2 M1 ? ?

?1 ?1? ?, ?1 0 ?

设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是 ?

?x? ? y?

? x0 ? ? x0 ? ? x ? ,则 M ? ? ? ? ? , ? ? y0 ? ? y0 ? ? y ?

也就是 ?

? x0 ? y0 ? x ? x0 ? y ,即 ? ,所以,所求曲线的方程是 y ? x ? y 2 . x ? y y ? y ? x ? 0 ? 0

22. 解:由 ? ? 4cos? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,
? x2 ? y 2 ? 4x ,即圆 C 的方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ,
2

? ?x ? ? 又由 ? ? y? ? ?

2 t ? m, 2 消 t ,得 x ? y ? m ? 0 , 2 t, 2
2?m 2 ? 2 ,? m ? 2 ? 2 2 .

? 直线 l 与圆 C 相切,?

23. 解: (1)?? ?| S 3 | 的取值为 1,3,又 p ? q ?

1 ; 2 1 3 1 1 1 1 1 故 P(? ? 1) ? 2C3 ( ) ? ( ) 2 ? , P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? . 2 2 4 2 2 4
∴ξ 的分布列为:

3 1 3 +3× = ; 4 4 2 (2)当 S8=2 时,即答完 8 题后,回答正确的题为 5 题,回答错误的题是 3 题
所以: E? =1× 又已知 S i ? 0(i ? 1,2,3,4) ,若第一题和第二题回答正确,则其余 6 题可任意答对 3 题; 若第一题和第二题回答错误,第三题回答正确,则后 5 题可任意答对题. 1 2 30 ? 8 80 80 3 3 此时的概率为 P ? (C6 ? C5 ) ? ( )5 ? ( )3 ? 8 ? 7 (或 ). 3 3 2187 3 3 24. (Ⅰ)由 (k ? 1) ak ?1 ? p( k ? p) ak 得 即

ak ?1 k?p , k ?1 , 2, 3, ?,p ?1 ? p? ak k ?1

a a2 4?2 8 4 ?1 ? ?4 ? ? ?6 , a2 ? ?6a1 ? ?6 ; 3 ? ?4 ? ? ? , a3 ? 16 a2 3 3 a1 2

a4 4?3 ? ?4 ? ? ?1 , a4 ? ?16 ; a3 4
(Ⅱ)由 (k ? 1) ak ?1 ? p( k ? p) ak 得:

ak ?1 k?p , k ?1 , 2, 3, ?,p ?1 ? p? ak k ?1

[来源:Z_xx_k.Com]



a a2 p ? 1 a3 p ? (k ? 1) p?2 , ,?, k ? ? p ? , ? ?p? ? ?p? a1 2 ak ?1 k a2 3 ak ( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3)? ( p ? k ? 1) ? (? p)k ?1 ? a1 k!
( p ? 1)( p ? 2)( p ? 3)? ( p ? k ? 1) k!

以上各式相乘得

k ?1 ∴ ak ? (? p) ?

? (? p)k ?1 ?

( p ? 1)! (? p)k ?1 p! ? ? k !( p ? k )! p k !( p ? k )!
1 k C p (? p)k , k ? 1, 2, 3, ?,p 2 p

k ? ?(? p)k ?2 ? C p ??

∴ a1 ? a2 ? a3 ? ?? a p

??

1 1 2 3 p p [C p (? p)1 ? C p (? p ) 2 ? C 3 p (? p ) ? ? ? C p (? p ) ] 2 p 1 [ ( 1 ?p p) ? 1 ] p2

? ?


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