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合肥市2014年第一次教学质量检测数学(理)


合肥市 2014 年第一次教学质量检测
数学(理)
第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知复数 z ? 3 ? 4i , z 表示复数 z 的共轭复数,则

z =() i

开始 n=12,

i=1

A. 5 B.5C. 6 D.6 2.设集合 S ? {0, a}, T= {x ? ? | x ? 2}, 则“ a ? 1 ”是“ S ? T ”的
2

n 是 3 的倍数? 是 n=n ? 4



) 否

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是() A.5 B.6 C.7 D.8 4. 过坐标原点 O 作单位圆 x ? y ? 1的两条互相垂直的半径 OA、OB ,
2 2

n=4n+1

i=i+1 n>117? 是 输出 i 结束 否

若在该圆上存在一点 C ,使得 OC ? aOA ? bOB ( a、b ? R ) ,则以下 说法正确的是() A.点 P ? a , b ? 一定在单位圆内 C.点 P ? a , b ? 一定在单位圆外 B.点 P ? a, b ? 一定在单位圆上

??? ?

??? ?

??? ?

D.当且仅当 ab ? 0 时,点 P ? a, b ? 在单位圆上

5.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于 A,B 两点,若线段 AB 的长 a 2 b2

度恰等于焦距,则双曲线的离心率为() A.

5 ?1 2

B.

10 2
2 2 正视图 2 1 俯视图 1 侧视图

17 ? 1 C. 4

22 D. 4

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是() A. 18 ? 2 5 C. 24 ? 4 5 B. 24 ? 2 5 D. 36 ? 4 5

7、已知函数 f ( x) ?

?
4

? sin x ?

?
4

? sin x ,则一定在函数 y ? f ( x) 图像上的点是()

A. ? x , f ( ? x ) ?

B. ? x , ? f ( x ) ?

C. ?

? ? ?? ? x, ? f ( x ? ) ? 4 ? ?4
2

D. ?

? ?? ? ? x, ? f ( ? x ) ? 4 ?4 ?

8.在 ?ABC 中,已知 2a cos B ? c , sin A sin B(2 ? cosC ) ? sin A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形

C 1 ? ,则 ?ABC 为() 2 2
D.钝角三角形

? x ?1 x y ? (a ? b ? 0) 的最大值为 1,则 a ? b 的最小值为() 9.已知 x, y 满足 ? y ? 1 时, z ? ? a b ?x ? y ? 5 ?
10.对于函数 f ? x ? ,若 ? a, b, c ? R , f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 为某一三角形的三边长,则称 f ? x ? 为“可构造 三角形函数”.已知函数 f ? x ? ? A. ? 0, ?? ? A.7 B.8 C.9 D.10

ex ? t 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是() ex ? 1 ?1 ? B. ? 0,1? C. ?1, 2 ? D. ? , 2 ? ?2 ?

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若随机变量 ? ~ N (2, 1) ,且 P(? ? 3) =0.1587,则 P(? ? 1) ? __________. 12.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? 2an (n ? N ? ) 且 a2 ? 1 ,则 log 2 a2014 ? . 13.若 ( x ? ) 展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为_____________.
n

3 x

14.某办公室共有 6 人,组织出门旅行,旅行车上的 6 个座位如图所示, 其中甲、乙两人的关系较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排方 法有种 15.已知直线:

sin? cos? x? y ? 1 ( a, b 为给定的正常数, ? 为参数, a b

? ? [0,2? ) )构成的集合为 S,给出下列命题:
①当 ? ?

?
4

时, S 中直线的斜率为

b ; a

② S 中所有直线均经过一个定点; ③当 a ? b 时,存在某个定点,该定点到 S 中的所有直线的距离均相等; ④当 a > b 时, S 中的两条平行直线间的距离的最小值为 2b ; ⑤ S 中的所有直线可覆盖整个平面. 其中正确的是(写出所有正确命题的编号).

三、解答题:本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 cos(

?

(Ⅰ) sin 2? ; (Ⅱ) tan ? ?

? 1 ? ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? , ? ? ( , ), 求: 6 3 4 3 2
1 . tan ?
1 AB.直角梯形 ACEF 中, 2

17. (本小题满分 12 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是梯形,且 AD=DC=CB=

1 AC , ?FAC 是锐角,且平面 ACEF⊥平面 ABCD. 2 (Ⅰ)求证: BC ? AF ; 1 (Ⅱ)若直线 DE 与平面 ACEF 所成的角的正切值是 , 3 试求 ?FAC 的余弦值. EF //
18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 4, ( x ? R) 在 x ? 2 处取得极
3 2

E

F

小值. (Ⅰ)若函数 f ( x) 的极小值是 ? 4 ,求 f ( x) ; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的极小值不小于 ? 6 ,问:是否存在实数 k,使 得函数 f ( x) 在 ? k , k ? 3? 上单调递减.若存在,求出 k 的范围; 若不存在,说明理由. 19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

D

C

A

B

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 右 焦 点 为 F ( 1,0 ) , 设 左 顶 点 为 A , 上 顶 点 为 B, 且 a2 b2

OF ? FB ? AB ? BF ,如图.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 F (1, 0) ,过 F 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,试确定 FM ? FN 的取值范围. y B A x

O

F

20. (本小题满分 13 分) 某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检,现将 9 个进口品牌奶粉的样品编号为 1,2,3,4,…,9; 6 个国产品牌奶粉的样品编号为 10,11,12,…,15,按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样,从其中 抽取 5 个样品进行首轮检验,用 P(i, j ) 表示编号为 i, j (1 ? i ? j ? 15) 的样品首轮同时被抽到的概率. (Ⅰ)求 P (1, 15) 的值; (Ⅱ)求所有的 P(i, j ) (1 ? i ? j ? 15) 的和. 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f n ( x) ? x ?

n , ( x >0,n ? 1, n ? Z ) , 以点 (n, f n (n)) 为切点作函数 y ? f n ( x) 图像的切线 l n , x

记函数 y ? f n ( x) 图像与三条直线 x ? n, x ? n ? 1, ln 所围成的区域面积为 a n 。 (Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)求证: a n <

1 ; 3n 2 5 . 9

(Ⅲ)设 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,求证: S n <

合肥市 2014 年第一次教学质量检测数学(理)
参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B 9 D 10 D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.0.8413 12. 2012 13.-15 14.144 15.③④ 三、解答题:本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) 【答案解析】 (Ⅰ) cos( 即 sin(2? ?

?

? ? ? 1 ? 1 ? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? sin(2? ? ) ? ? , ……2 分 6 3 6 6 2 3 4
?
1 ? ? ? 4? ? 3 , ) ? ? ,注意到 ? ? ( , ) ,故 2? ? ? (? , ) ,从而 cos(2? ? ) ? ? 3 2 3 2 3 2 3 3
……5 分

? ? ? ? 1 ? sin 2? ? sin(2? ? ) cos ? cos(2? ? ) sin ? 3 3 3 3 2
2 2

……7 分

3 1 sin ? cos ? sin ? ? cos ? ?2 cos 2? (Ⅱ) tan ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? 2 3 . 1 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? 2 ?
(或者? 2? ?

……12 分

?
3

?

7? 5? 5? 1 ? , ?? ? ? sin 2? = sin 12 6 6 2

cos 2? ? cos

5? 3 ?? 6 2

? tan ? ?

1 sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos 2? = =2 3) ? ? ? 1 sin ? cos? tan ? cos? sin ? sin 2? 2
1 AB,∴AD、BC 为腰,取 2

17.(12 分) 【答案解析】 (Ⅰ)证明:在等腰梯形 ABCD 中,∵AD=DC=CB= AB 得中点 H, 连 CH, 易知, 四边形 ADCH 为菱形, 则 CH=AH=BH, 故△ACB 为直角三角形,? BC ? AC ,…3 分

E

F

? 平面 ACEF ? 平面 ABCD ,且平面 ACEF ? 平面 ABCD

? AC ,? BC ? 平面 ACEF ,而 AF ? 平面 ACEF ,故 BC ?
AF .……6 分 (Ⅱ)连结 DH 交 AC 于 M D, 再连结 EM 、 FM .易知四边形 ∴DM⊥AC, 注意到平面 ACEF ? 平面 ABCD , ADCH 为菱形, 故 DM⊥平面 ACEF .于是, ?DEM 即为直线 DE 与平面 ACEF
所成的角.

D M
A

C

B
……9 分

设 AD=DC=BC= a ,则 MD= 依题意, tan ?DEM ?

1 3 a a , MC ? 2 2

DM 1 3 ? ? ME ? a 2 EM 3 3 a MC 3 在 Rt?ECM 中, cos?EMC ? ? 2 ? 3 ME 3 a 2 1 ∵ EF // AC =AM,?四边形 AMEF 为平行四边形? ME // AF ? ?FAC ? ?EMC 2

? cos?FAC ? cos?EMC ?

3 ………12 分 3
? f / ( 2) ? 0 ? f ( 2) ? ?4

2 18.(12 分) 【答案解析】 (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ,由 ?

知?

? 12 ? 4a ? b ? 0 ? a ? ?2, ,解得 ? ,……4 分 ? b ? ?4 ?8 ? 4a ? 2b ? 4 ? ?4
3 2

检验可知,满足题意. f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 4, ( x ? R) .……6 分 (Ⅱ)假设存在实数 k,使得函数 f ( x) 在 ? k , k ? 3? 上单调递减.
2 设 f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b =0 两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 x2 ? 2

由 f ( x) ? 0 得 x ? ( x1 , x2 ) ? f ( x) 的递减区间为 [ x1 , x2 ]
'

由 x1 ? 2 ? ?

2a 2a 2a ? 2 ? f ( x) 的递减区间为 [? ? 2, 2] 解得 x1 ? ? 3 3 3

? f / (2) ? 0 3 ? ? ?a ? ? , 由条件有 ? f (2) ? ?6 ,解得 ? 2 ,……10 分 ? ?x ? x ? 3 ? b ? ?6 ? 2 1

?函数 f ( x) 在 ?? 1,2? 上单调递减
由?

?k ? ?1 ? k ? ?1 ?? ? k ? ?1 ?k ? 3 ? 2 ? k ? ?1

所以,存在实数 k ? ?1 ,满足题意。……12 分 19.(13 分) 【答案解析】 (Ⅰ)由已知, A(?a, 0) , B(0, b) , F (1,0) ,则 由 OF ? FB ? AB ? BF 得: b ? a ? 1 ? 0 ∵ b ? a ? 1∴ a ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 ,
2 2 2 2

∴ a ? 4, b ? 3 所以椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ……4 分 4 3

(Ⅱ)①若直线 l 斜率不存在,则 l : x ? 1 ,此时 M (1, ) , N (1,? ) , FM ? FN = ? ②若直线 l 斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则

3 2

3 2

9 ; 4

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 y2 ? ?1 ? 3 ?4
∴ x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2

∴ FM ? FN ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y 2 ) ? (1 ? k )[ x1 x2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1] =

?9 1 4? 1? k 2

1 1 ? 1 ∴3 ? 4 ? ?4 2 1? k 1? k 2 9 综上, FM ? FN 的取值范围为 [?3, ? ] .……13 分 4
∵k ? 0 ∴0 ?
2

∴ ? 3 ? FM ? FN ? ?

9 4

20.(13 分) 【答案解析】 (Ⅰ)由分层抽样可知:首轮检验从编号为 1,2,3,…,9 的洋品牌奶粉的样品 中抽取 3 个,从编号为 10,11,…,15 的国产品牌奶粉的样品中抽取 2 个,故

P(1, 15) =

1 C82 C5 1 ? = .……4 分 3 2 C9 C 6 9 1 C7 1 2 = ,而这样的 P(i, j ) 有 C9 =36 个; 3 C9 12

(Ⅱ)①当 1 ? i ? j ? 9 时, P(i, j ) =

②当 10 ? i ? j ? 15 时, P(i, j ) =

1 1 2 ? ,而这样的 P(i, j ) 有 C6 =15 个; 2 C6 15
1 C82 C5 1 1 1 ? = ,而这样的 P(i, j ) 有 C9 ? C6 =54 个. 3 2 C9 C 6 9

③当 1 ? i ? 9 ? j ? 15 时, P(i, j ) =

所以,所有的 P(i, j ) (1 ? i ? j ? 25) 的和为

1 1 1 ×36+ ×15+ ×54=10.……13 分 9 12 15 n n / 21. (13 分)解: (Ⅰ)易知 f n ( x) ? 1 ? 2 ,切点为 (n, n ? 1) ,则 l n 方程为 y ? (n ? 1) ? (1 ? 2 )( x ? n) x n 1 即 ln : y ? (1 ? ) x ? 2 n n?1 n?1 x n 1 n 1 1 ?1 ∴ an ? ? [ x ? ? (1 ? ) x ? 2]dx ? ? ( ? ? 2)dx = n ln(1 ? ) ? n n x n n x n 2n 1 2 1 3 (Ⅱ)构造函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x ? x , ( x ≥0) 2 3

1 ? x3 2 则 h ( x) ? ?1 ? x ? x ? ?0 1? x 1? x
/

即函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

1 2 1 3 ( x ≥0)单调递减,而 h(0) ? 0 x ? x , 2 3

∴ h( x) ? 0 ,等号在 x ? 0 时取得,

1 2 1 3 x ? x 成立 2 3 1 1 1 1 2 1 1 3 ∴知 ln(1 ? ) < ? ( ) ? ( ) n n 2 n 3 n 1 1 1 ∴ an = n ln(1 ? ) ? ?1 < 2 n 2n 3n 1 1 2 1 1 1 ? ?( ? ) (Ⅲ) an < 2 < ? 3 n 2 ? 1 3 2n ? 1 2n ? 1 3n 4 1 5 ∴当 n ? 1时, Sn ? a1 = < ; 3 9
∴当 x >0 时, ln(1 ? x) < x ? 当 n ? 2 时, S n ?
n 1 2 1 1 1 1 1 1 a ? a ? ak < ? ( ? ? ? ? ?? ? ? ) ? ? k 1 3 3 3 5 5 7 2 n ? 1 2n ? 1 k ?1 k ?2 n

?
方法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同方法一; (Ⅲ)由(Ⅱ)知 a n <

5 5 2 1 < ? ? 9 3 2n ? 1 9

1 , 3n 2

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ?

1 1 1 1 ? ? ?L ? 2 2 2 2 3 ?1 3 ? 2 3 ? 3 3n 1 1 1 1 1 1 5 1 1 ? ( 2 ? 2 ? 2 ?L ? 2 ) ? ( ? 2 ?L ? 2 ) 3 1 2 3 n 3 4 3 n
1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ( n ? 3, n ? N ? ) 2 n n ? 1 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1

Q

1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? [ ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? )] 3 4 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 n ?1 n ? 1 1 5 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 ? [ ? ( ? ? ? )] ? ? ( ? )? 3 4 2 2 3 n n ?1 9 6 n n ?1 9 1 5 1 1 5 5 ? ? , 又 S1 ? a1 ? ? , S2 ? a1 ? a2 ? ? 2 3 9 3 3 ? 2 12 9 5 * ∴综上所述:对一切 n ? N ,都有 S n < . 9


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