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2014-2015学年第二学期高一数学期中试卷(理科)2015.5


2014-2015 学年第二学期高一数学期中试卷(理科)2015.5
一、填空题(本大题共有 14 小题,每题 5 分,共 70 分.请将答案填在答题卡上) 1.在等比数列{an}中,已知 a2017

? 8a2014 ,则公比 q=



. ▲ . ▲ . ▲ ▲ . .

2.在△

ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则△ABC 的形状是

3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 3 ,则数列 ?an ? 的通项公式为
2

4. 若 直线 l1: ax+2y+6=0 与直线 l2: x+(a-1)y+(a -1)=0 平行, 则实数 a= a1 5.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 a1,a3,a7 成等比数列,则 的值为 d 6.不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集是 (3,4) ,则 a ? b 的值是 ▲ . ▲

7.在△ABC 中,若 A ? 60? , AC ? 4, BC ? 2 3 ,则△ABC 的面积等于



? x ? 1, 8.若实数 x, y 满足不等式组 ? 则目标函数 z ? 2x ? y 的取值范围是 ? y ? 2, ? x ? y ? 2, ?





9. 在数列 ?an ?中,若点 ?n, an ? 在经过点 ?5,3? 的定直线 l 上,则数列 ?an ?的前 9 项和 S 9 ▲ .

?

10.已知点 P(1,3) 和点 Q(?2,?1) ,若直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 1与线段 PQ 相交,则实数 k 的取 值范围是 ▲ .
A B

11.为了测量河对岸两点 A、B 之间的距离,在河岸 这边选取相距

3 km 的 C、D 两点,并且测得
C D

?ACB ? 75 ? , ?BCD ? 45 ? , ?ADC ? 30 ? ,
?

?ADB ? 45 ,设 A,B,C,D 在同一平面内,则 A、B 之间的距离为
12.若函数 f ( x) ? 13. 已知 f ( x ) ? 则 a11 14.若

l


▲ ▲

km.

x ? x ? c ? 3 的定义域为 R,则实数 c 的取值范围是

1 , 各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 若 a2014 ? a2016 , an?2 ? f (an ) , 1? x
▲ .

? a12 的值是

a2x ?1 ? 0 (a ? 0) 对一切 x ? 9 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ax ? 1





二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. )

15. (本小题满分 14 分) 已知直线 l 过点 P(2,3) ,根据下列条件分别求出直线 l 的方程: (1)直线 l 的倾斜角为 120o ; (2) l 与直线 x-2y+1=0 垂直; (3) l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于 0.

16. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,已知 AB=3,AC=6,BC=7,AD 是 ?BAC 的平分线. (1)求证:DC = 2BD ; (2) 求 AB ? DC 的 值 . A

B

D

C

17.(本小题满分 15 分)

设 Sn 是等比数列 的前 n 项和,且 S 3 {an} (1)求数列 的通项公式; {an} (2)若 bn ? an ?
2

7 63 ? , , S6 ? . 2 2

1 ,求数列 的前 n 项和 Tn . {bn} (log2 an? 2 )(log2 an?3 )

18.(本小题满分 15 分) 某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产一种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得 的利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问该厂应怎样选取生产速度?并求最大 利润.

3 x

19.(本小题满分 16 分) 已知函数

f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 .

(1)若不等式 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 1的解集为 R,求实数 a 的取值范围; (2)如果对任意的 x ? ?? 3,1?, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若不等式 f ( x) ? ax ? a ? 1对一切 a ? (0, 恒成立,求 x 的取值范围. 4)

20.(本小题满分 16 分) 已知等差数列 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列. {an} (1)求数列 的通项公式; {an} (2)求 m, k (m, k ? N ? ) 的值,使得 am (3)令 b ? (?1) n ?1 n

? am?1 ? am? 2 ? ? ? ? ? am? k ? 65 ;

4n ,设数列 的前 n 项和为 Tn ,是否存在最大的正整数 k, {bn} an an?1

k 使得对于任意的正整数 n,有 Tn> 恒成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说 12 明理由.

参考答案及评分说明
一、填空题: (本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

1. 5.

2 2

2.等腰三角形 6. 1

? ?1, n ? 1 3. an ? ? n ?1 ?2 , n ? 2

4. -1 8. 12.

2
? 2?

7. 2 3 11.

?2,4?
c?3

9. 27
3 ? 13 5 26

10. ?? 2, 1 ? ? ? 14. a ? ? 1 3

5

13.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.)
15. (1)直线 l 的方程为

3x ? y ? 3 ? 2 3 ? 0 ……………4 分[来

(2)直线 l 的方程为 2 x ?

y ? 7 ? 0 ………………8 分[来源:学#科#网]

(3) ①当直线 l 经过原点时在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于 0, 此时直线 l 的方程为 y ?

3 x 2

………………………………10 分

②当直线 l 经不过原点时,设直线 l 的方程为

x y ? ?1 a ?a

?a ? 0?

因为 P(2,3) 在直线 l 上,所以

2 3 ? ? 1 , a ? ?1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 ……………13 分 a ?a

综上所述直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ……………………………14 分
学#科

[来源:

16. (1) 设 ?ADB ? ? ,则 ?ADC ? ? ? ? 在△ABD 中,由正弦定理得:

BD AB ? ? sin ?BAD sin ?

BD ?

AB 3 sin ?BAD ? sin ?BAD , sin ? sin ?
DC AC ? ? sin ?DAC sin(? ? ? )

在△ACD 中,由正弦定理得:

DC ?

AC 6 sin ?DAC ? sin ?DAC sin ? sin ?
∵ ?BAD ? ?DAC ,∴ DC ? 2 BD ………………………7 分
[来源:学#科

第(1)小题也可以用面积的方法来证明. (2) 在△ABC 中,由余弦定理得: cos B ? 9 ? 49 ? 36 ? 11 ,

2 ? 3? 7

21



2 2 2 2 AB ? DC ? AB ? BC ? AB ? BC ? ? BA ? BC ? ? ? 3 ? 7 ? cos B 3 3 3 3 2 11 22 ? ? ? 3? 7 ? ? ? 3 21 3
……………………14 分
[来源:学#科

17.(1) 若 q=1,则 S6 分

7 63 ? 2S3 ,这与已知 S 3 ? , S 6 ? 2 2

矛盾,不合题意;………2

若 q≠1,从而 S 3

?

a1 (1 ? q 3 ) 7 a (1 ? q 6 ) 63 ? , S6 ? 1 ? ,两式相除得: 1? q 2 1? q 2


1 ? q3 ? 9
a1 ? 1 2

,

q?2
………………6 分
[ 来 源 : 学 # 科

∴ ∴

1 an ? ? 2 n?1 ? 2 n?2 2

[来

………………8

(2)∵

bn ? an2 ?

1 1 1 1 ? 4 n?2 ? ? 4 n?2 ? ( ? ) (log 2 an ? 2 )(log 2 an ?3 ) n(n ? 1) n n ?1
……………

…11 分 ∴

[来

1 (1 ? 4 n ) 1 1 1 1 1 4n ?1 1 4 ………15 分 Tn ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? )? ?1? 1? 4 2 2 3 n n ?1 12 n ?1

[来源:

18.(1) 根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 (2) 设利润为 y 元,则 y ? 分 故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元. 分

3 x

3 ?0 x

…………3 分 …………7 分

900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] ………13 x x x 6 12

…………15

19.(1)由题得不等式 (1 ? a) x 2 当1 ? a 当1 ? a

? 2(a ? 1) x ? 3 ? 0 的解集为 R.

? 0 时,不等式化为 3 ? 0 ,符合题意;
1? a ? 0 ? 0 时,则满足 ? ? ? 2 ? a ?1 ? 2 ? ? 4 ( a ? 1 ) ? 12 ( 1 ? a ) ? 0 ?
…………4 分[

综上, a 的取值范围是 ?? 2 , 1? (2) ∵

f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? ( x ? a ? 2) 2 ? 4a ? a 2



?? (a ? 2) ? ?3 ? ? f (?3) ? 0



? ? 3 ? ?(a ? 2) ? 1 ? 2 ? f (?a ? 2) ? 4a ? a ? 0



?? (a ? 2) ? 1 ? ? f (1) ? 0

………7 分[

解得 a ? ? 或1 ? a ? 4 或 ? 11 分

1 ? a ? 1, 2

综上, a 的取值范围为 ( ?

1 , 4)……… 2

第(2)小题也可以用参变分离的方法来求解. (3) 原不等式化为

a( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,令 g (a) ? a( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,

由题得只需 ? ∴

? g (0) ? 0 , ? x ? 3或x ? ?1, ? g (4) ? 0
x 的 取 值 范
[来源:学#科





?x x ? 3, 或x ? ?1?.

………………16 分

20. (1) an 分[来 (

? 2n ? 1

……………4

2



am ? am?1 ? am?2 ? ? ? ? ? am? k ? (k ? 1)am ?
? (k ? 1)(2m ? k ? 1)
分[来

(k ? 1)k ? 2 ? (k ? 1)( 2m ? 1) ? (k ? 1)k 2
……………6

∴ (k ? 1)( 2m ? k ? 1) ? 65 .由 m, k ? N ? 知 2m ? k ? 1 ? k ? 1 ? 1 ,故

?2m ? k ? 1 ? 13, 所以 ?m ? 5 ? ? ? k ? 1 ? 5, ?k ? 4
分[来 (3) b ? (?1) n ?1 n 当

……………9

4n 4n 1 1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n ?1 ( ? ), a n a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
n 为 偶 数 时 ,

1 1 1 1 1 1 1 , Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
? 1?


1 , 2n ? 1
n 为 奇 数 时 ,

1 1 1 1 1 1 1 , Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
1 , 2n ? 1 1 ? ?1 ? 2n ? 1,n为奇数 ∴ Tn ? ? 1 ?1 ? ,n为偶数 ? 2n ? 1 ? 1?
[来 ∴ 当 n 为奇数时,1 ? T

…………… 13 分

n

?

4; 3

当 n 为偶数时,

4 ? Tn ? 1, 5



Tn 的最小值为

4 ,∴由 T > k n 12 5

恒成立,只需 k ? 4 , ? k ? 48 ,

12

5

5

∵ k 为正整数, ∴ 存在最大的正整数 k ? 9

……………16 分[来


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