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空间中的平行与垂直


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高三年级尖子班

空间的平行与垂直关系
1 . (高三研(一)数学试题)已知, m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下

列四个命题: 则所有正确命题的序号是_________. ①若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? ; ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l //

? ;④若 ?

? ? m ,且 l // m ,则 l // ? .

2 .给出下列命题: 其中,所有真命题的序号为______.

(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直.
3 . (高三第三次模拟考试数学试卷)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面.

①若 m?α ,m⊥β ,则 α ⊥β ; ③若 m?α ,n?β ,α ∥β ,则 m∥n;

②若 m?α ,α ∩β =n,α ⊥β ,则 m⊥n; ④若 m∥α ,m?β ,α ∩β =n,则 m∥n.

上述命题中为真命题的是________(填写所有真命题的序号).
4 . (高三10月摸底考试)设

m, n 是两条不同的直线, ? 是一个平面,有下列四个命题:

①若 m ? n, m ? ? ,则 n ? ? ; ②若 m ? ? , n ∥ m ,则 n ? ? ; ③若 n ∥

? , m ? ? ,则 n ∥ m ;④若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n .

其中真命题是________(写出所有真命题的序号). 5 . (高三年级第一次模拟考试数学试题) 现有如下命题:①过平面外一点有且只有一条直线 与该平面垂直;②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;③如果两个平行平面 和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行;④如果两个平面相互垂直, 那么经过第 一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内. 则所有真命题的序号是 . 6 .在空间中,用 a,b,c 表示三条不同的直线, ? 表示平面,给出下列四个命题: (1)若 a b, b c ,则 a c (2)若 a ? b, b ? c ,则 a ? c (3) 若 a ? , b ? ,则 a b (4)若 a ? ? , b ? ? ,则 a b
7 .已知 α ,β 为平面,m,n 为直线,下列命题:

①若 m∥n,n∥α ,则 m∥α ; 名师堂免费热线:4008-333-272

②若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β ; 1 公众微信号:lzmst2391126

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③若 α ∩β =n,m∥α , m∥β ,则 m∥n; ④若 α ⊥β ,m⊥α ,n⊥β ,则 m⊥n. 其中是真命题的有_______.(填写所有正确命题的序号)
8 .已知两个平面 a , b ,直线 l ^ a ,直线 m ?

b ,有下面四个命题:

① ? // ? ? l ? m ; ② ? ? ? ? l // m ; ③ l ? m ? ? // ? ;④ l // m ? ? ? ? . 其中正确的命题是____.
9 .设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列命题:

①若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ②若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 ?

? ? m,?

? ? n , m//n ,则 ? // ? .

上面命题中,真命题 的序号是_______(写出所有真命题的序号). ...
10.以下 5 个命题: 其中正确命题的 序号是______________.

(1)设 a , b , c 是空间的三条直线,若 a ? c , b ? c ,则 a // b ; (2)设 a , b 是两条直线, ? 是平面,若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; (3)设 a 是直线, ? , ? 是两个平面,若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? ; (4)设 ? , ? 是两个平面, c 是直线,若 c ? ? , c ? ? ,则 ? // ? ; (5)设 ? , ? , ? 是三个平面,若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? .
11.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的序号是____.

①.若 m // n ,m ? ? , 则 n ? ? ; ③. 若m // ? ,m // ? ,则? // ? ;

②.若 m // n ,m // ? , 则 n // ? ; ④.若n ? ? ,n ? ? ,则? ? ? .

12. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)设 a、b 是两条不同的直

线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若 a ? b, a ? ? ,则 b / /? , ③若 a // ? , a ? ②若 a ? ? , ? ? ? ,则 a / /? , ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? ,

? , 则? ? ?

其中正确的命题序号是____. 13.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O . (Ⅰ)证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)设 E 为线段 PC 上一点,若 AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED

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14.在三棱锥 S-ABC 中,SA ? 平面 ABC,SA=AB=AC=

3 BC ,点 D 是 BC 边的中点,点 E 是线段 3

AD 上一点,且 AE=4DE,点 M 是线段 SD 上一点, (1)求证:BC ? AM (2)若 AM ? 平面 SBC,求证:EM 平面 ABS

15.如图,四棱锥 P-A BCD 中,底面 ABCD 为菱形,BD⊥面 PAC,A C=10,PA=6,cos∠PCA=

4 ,M 5

是 PC 的中点. (Ⅰ)证明 PC⊥平面 BMD; (Ⅱ)若三棱锥 M-BCD 的体积为 14,求菱形 ABCD 的边长.

16.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AD⊥AB,CD∥AB, AB ? 2 AD ? 2 , CD ? 3 ,

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直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60°,点 M、N 分别是 PA,PB 的中点. (1)求证:MN∥平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证: DN ? 平面 PCB .

17.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点.

(1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.
A1 B1 C1

A B (第 16 题)

C D

18.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1 上,且

AC1=4AF.
(1)求证:平面 ADF⊥平面 BCC1B1;(2)求证:EF //平面 ABB1A1. A1 C1 B1

F C
(第 16 题图)

A B E

D

19. 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB // CD , AB ? AD , ?PAB 和 ?PAD 是

两个边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 的中点, E 为 PA 的中点. (1)求证: OE // 平面 PDC ; (2) 求证:平面 PBD ? 平面 ABCD . 4 名师堂免费热线:4008-333-272 公众微信号:lzmst2391126

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P

E

A O D

B

C

20.如图, AB , CD 均为圆 O 的直径, CE ? 圆 O 所在的平面, BF

CE .求证:

⑴平面 BCEF ? 平面 ACE ; ⑵直线 DF 平面 ACE . E

F C A O
(第 15 题图)

B D

21.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=λ EO

(1)若 λ =1,求异面直线 DE 与 CD1 所成的角的余弦值; (2)若平面 CDE⊥平面 CD1O,求 λ 的值.

22 . ( 江 苏 省 苏 锡 常 镇 四 市 2013 届 高 三 教 学 情 况 调 研 ( 一 ) 数 学 试 题 ) 如 图 , 在 三 棱 柱

A1 B1C1 ? ABC 中 , 已 知 E , F , G 分 别 为 棱 AB , AC , A1C1 的 中
点, ?ACB ? 900 , A1 F ? 平面 ABC , CH ? BG , H 为垂足.求证: (1) A1 E // 平面 GBC ; (2) BG ? 平面 ACH . 5 公众微信号:lzmst2391126

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C1 G A1 B1

C F A E

H B

23.如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF

⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求三棱锥 D-AEC 的体积; (3)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在 线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

D

C

F M A B

E P ? ABC D中 , PA ? 平面 ABC D , 四边形 ABC D 是平行四边形 , 且 24 . 如图 , 在四棱锥

AC ? CD , PA ? AD , M , Q 分别是 PD , BC 的中点. (1)求证: MQ 平面 PAB ; (2)若 AN ? PC ,垂足为 N ,求证: MN ? PD .

P M

N
A

D

B

(第 16 题图)
25.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A= 2AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的中点.

Q

C

(1)证明:EF∥平面 ABC;(2)证明:C1E⊥平面 BDE.

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C1 B1

A1

E F D

C

A B

(第 16 题)

26 . 如 图 , 在 三 棱 锥

P ? ABC 中 , BC ? 平 面 PAB . 已 知 PA ? AB , 点 D , E 分 别 为

PB , BC 的中点. (1)求证: AD ? 平面 PBC ;
(2)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求

AF 的值. FC

P

D A F E B
27.如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点.

C

求证:(1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC . (3)若 G 为 ?ADC 的重心,试在线段 AE 上确定一点 F, 使得 GF//平面 CDE. A E G

B

C

28.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的

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交点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1) EF // 平面 ABC;(2)平面 AEF⊥平面 A1AD. A1 B1 E F A B C C1

D
(第 15 题)

29 . 如 图 , 四 边 形 A B C D为 正 方 形 , 在 四 边 形 A D P Q中 , PD // QA . 又 QA ⊥ 平 面

ABCD , QA ? AB ?

1 PD . 2

(1)证明: PQ ⊥平面 DCQ ; (2) CP 上是否存在一点 R ,使 QR // 平面 ABCD ,若存在,请求出 R 的位置,若不存在, 请说明理由.

30 . ( 2011 年 高 考 ( 江 苏 卷 ) ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D中 , 平 面 PAD ? 平 面

ABCD , AB ? AD , ?BAD ? 60? , E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证: (1)直线 EF // 平面 PCD ; E BEF ? PAD . (2)平面 平面
A

P

F C

D

B

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