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湖南省岳阳市部分重点中学2014年下期高一期中联考数学试卷


湖南省岳阳市部分重点中学 2014 年下期高一期中联考数学试卷
时量:120 分钟 分值:100 分 命题人:王广许 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A C. U ? A

?

?
<

br />?

?

?2,4? ,则
B

(

)

B

B. U ? (CU A)

(CU B)
B. ?x | 0 ? x ? 1?

D. U ? (CU A)U (CU B) )

2.已知函数 f ( x) ? 1 ? x 定义域为 M , g ( x) ? ln x 定义域为 N ,则 M ? N ? ( A. ?x | x ? 1? C. ?x | 0 ? x ? 1? D. ?x | 0 ? x ? 1? (
2

( 0, ??) 3.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为
A. y ? x
?1

)

B. y ? log 2 x

C. y ?| x |

D. y ? ? x

4.己知函数 f ( x ? 1) 是偶函数,当 x ? (??,1) 时,函数 f ( x) 单调递减,设

1 a ? f (? ) b ? f (?1) c ? f (2) ,则 a, b, c 的大小关系为 2
A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a 5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BD1 与 B1C 所成的角是 A. 60
?





( D. 45
?



B. 30

?

C. 90

?

6.设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0) ,则函数 f ( x) 3





(1, ??) 内均有零点 A.在区间 (0,1),  (1, ??) 内均无零点 B.在区间 (0,1), 
C.在区间 (0,1) 内有零点,在区间 (1, ??) 内无零点 D.在区间 (0,1) 内无零点,在区间 (1, ??) 内有零点 7.设 a ? log5 4 , b ? log0.5 5 , c ? log4 5 ,则 A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D. b ? a ? c ) ( )

2 ?5 m ?3 8. 已知函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x 是幂函数且是 ? 0, ??? 上的增函数, 则 m 的值 (

?

?

A.2 B.-1 C.-1 或 2 9.几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

D.0 ( )

第 1 页 共 4 页

1

A. 2? ? 2 3 C. 2? ?

B. 4? ? 2 3 D. 4? ?

2 3 3

2 3 3

? 1 (x ? 1) ? 10.设函数 ( ,若关于 x 的方程[f (x)] 2+ bf (x)+c=0 有三个不同的实数根 f x)= ?|x-1| ?1 (x=1) ?
x1 ,x2 ,x3 ,则 x12 +x22 +x32 等于
A.13 B.5 C. ( )

3c 2 +2 c2

D.

2b 2 +2 b2

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分)
? ?lgx,x>0, 11.设 f(x)=? x ?10 ,x≤0, ?

则 f(f(-2))=________.

12.对于一个底边在 x 轴上的正三角形 ABC ,边长 AB ? 2 ,,采用斜二测画法做出其直观 图,则其直观图的面积是 。 13.已知 a>0,且 a ? 1,若函数 f (x)=alg (x 解集为 ;
2

-2 x +3)

有最大值,则不筹式 loga (x2 -5x+7)>0 的

14.已知直线 m,n 与平面 α ,β ,给出下列三个命题: ①若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,n⊥α ,则 n⊥m; ③若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β . 其中真命题序号是______ 15 .定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 [a,b] 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”,x0 是它的 b?a
第 2 页 共 4 页 2

一个均值点,如 y ? x 4 是 [?1, 1] 上的平均值函数, 0 就是它的均值点 . 现有函数

f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上 的 平 均 值 函 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
是 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 50 分) 2 2 16.本小题 8 分)已知集合 A={x|x -3x+2≤0},B={x|x -(a+1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围;

17. (本小题 8 分) 若 f ( x) ? x 2 ? x ? b , 且 f( l o g (1)求 a, b的值和f ( x)的解析式 (2)求 f (log2 x) 的最小值及相应 x 的值;

2

a) ? b ,log2 f (a) ? 2(a ? 0且a ? 1) .

18. (本小题 8 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 1 , AA1 ? 2 , E 为 BB1 中 点. (1)证明: AC ? D1 E ; (2)求 DE 与平面 CC1 D1 D 所成角的正弦值; (3)在棱 AD 上是否存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ?若存在,求 DP 的长;若不存 在,说明理由.
D1 A1 B1 C1

E

D A B

C

第 3 页 共 4 页

3

19. (本小题 8 分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂 价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当 增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x, 年销售量也相应增加. 已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售 量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增 加的比例 x 应在什么范围内? (2)若年销售量 T 关于 x 的函数为 T=3240(3x+1), 则当 x 为何值时, 本年度的年利润最大? 最大利润为多少?

20. (本小题 8 分)如图在四棱锥 P ? ABCD 中 ,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 ,侧面

PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ?
(1) 求证: EF //平面 PAD ; (2) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (3) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值.

2 AD ,设 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2
P E D F A B C

21.(本小题10分)已知集合 D ? ?( x1 , x2 ) x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? k (1)若 k =2,设 u ? x1 x2 ,求 u 的取值范围. (2)若 k =2,对任意 ( x1 , x2 ) ? D ,求 (

? .其中 k 为正常数.

1 1 ? x1 )( ? x2 ) 的最大值。 x1 x2

(3)求使不等式 ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 ) ? ( k ? 2 ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立的 k 的范围. x1 x2 2 k

第 4 页 共 4 页

4

一、选择题 二、填空题

1-10 11、 -2

联考数学参考答案 DBCAC DDBCB 12、

6 4

13、 (2,3)

14、 (2) 、 (3) 15、 (0, 2)

三、解答题 16、 2 解:由 x -3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A={x|1≤x≤2}, 而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0},???2 分 (1)若 A 是 B 的真子集,即 A B,则此时 B={x|1≤x ≤ a},故 a>2. ???5 分 (2)若 B 是 A 的子集,即 B? A,由数轴可知 1≤a≤2. ???8 分

17、解:(1)∵f(x)=x -x+b,∴f(log2a)=(log2a) -log2a+b=b,∴log2a=1,∴a 2 2 =2.又∵log2f(a)=2,∴f(a)=4.∴a -a+b=4,∴b=2.∴f(x)=x -x+2. ???4 分 1 2 7 2 (2)f(log2x)=(log2x) -log2x+2=(log2x- ) + . 2 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . ???8 分 2 4 18、 (Ⅰ) 证明: 连接 BD ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体, ∴ D1 D ? 平面 ABCD , 又 AC ? 平面 ABCD ∴ D1 D ? AC 在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC 又 BD

2

2

D1 D ? D ∴ AC ? 平面 BB1 D1 D ,
???2 分

而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D ∴ AC ? D1 E

(Ⅱ)

3 ???4 分 3

(Ⅲ)在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ,此时 DP 的长

1 .??8 分 2

19、解:(1)由题意得:上年度的利润为(13-10)×5000=15000 万元; 本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x)万元; 本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x)万元; 本年度年销售量为 5000×(1+0.4x)辆. 因此本年度的利润为 y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+0.4x) 2 =-1800x +1500x+15000(0<x<1). 5 2 由-1800x +1500x+15000>15000,解得 0<x< . 6 5 为使本年度的年利润比上年度有所增加,则 0<x< . ???4 分 6
第 5 页 共 4 页 5

(2)本年度的利润为 f(x)=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×3240×(3x+1)=3240×(3-0.9x)(3x+1) ∴当 x= 即当 x=

3 3 时,f(x)取得最大值,f(x)max=f( )=29403 2 2

3 时,本年度的年利润最大,最大利润为 29403 万元???8 分 2

20、 (Ⅰ)证明: ABCD 为平行四边形 连结 AC BD ? F , F 为 AC 中点,

E 为 PC 中点∴在 ?CPA 中 EF // PA
且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ∴ EF // 平面PAD ???2 分

(Ⅱ)证明:因为面 PAD ? 面 ABCD 平面 PAD

面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD 所以 CD ? 平面 PAD ∴ CD ? PA
又 PA ? PD ? 且 ?PAD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2

即 PA ? PD 2 CD PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD PA ? 面 PDC 又 PA ? 面 PAB 面 PAB ? 面 PDC ???5 分 (Ⅲ) 【解】:设 PD 的中点为 M ,连结 EM , MF , 则 EM ? PD 由(Ⅱ)知 EF ? 面 PDC , EF ? PD , PD ? 面 EFM , PD ? MF , ?EMF 是二面角 B ? PD ? C 的平面角

?

P E M D F A B C

Rt ?FEM 中, EF ?

1 1 1 2 PA ? a EM ? CD ? a 2 2 2 4

2 a 2 EF 2 4 故所求二面角的正切值为 ???8 分 tan ?EMF ? ? ? 1 2 EM 2 a 2 21、 (1) u ? x1 (2 ? x1 ) ? ?( x1 ? 1) 2 ? 1 。 故 u 的取值范围为 (0,1] x x 1 1 1 (2) 变形,得 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
2 3 x2 ? x2 1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? 1 ? x1 x2 ? ?2?u? ? 2 =u ? ? 2 u x1 x2 x1 x2 x1x2 u 3 f (u ) ? u ? ? 2 在 (0,1] 上是增函数, u k 2 ?1 1 1 u ? ?2 ? 0. 所以 ( ? x1 )( ? x2 ) ? u x1 x2

? x1 x2 ?

第 6 页 共 4 页

6

即当 k ? 2 时, ( (III)令 (

1 1 ? x1 )( ? x2 ) 的最大值为 0. x1 x2

1? k 2 k 2 k2 1 1 ? 2 ? f (u ) ,则 ( ? ) 2 ? f ( ) , ? x1 )( ? x2 ) ? u ? u 2 k 4 x1 x2

k2 k2 ) 对 u ? (0, ] 恒成立的 k 的范围. 4 4 1 1 k 2 由 ( II ) 知 , 要 使 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对 任 意 ( x1 , x2 ) ? D 恒 成 立 , 必 有 x1 x2 2 k 0 ? k ? 1,
即求使 f (u ) ? f ( 因此 1 ? k 2 ? 0 ,∴函数 f (u ) ? u ? 1 ? k ? 2 在 (0, 1 ? k 2 ] 上递减,在 [ 1 ? k 2 , ??) 上递
2

u

增, 要使函数 f (u ) 在 (0,

k2 k2 k2 ] 上恒有 f (u ) ? f ( ) ,必有 ? 1 ? k 2 , 4 4 4
5?2 .

即 k 4 ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,解得 0 ? k ? 2

第 7 页 共 4 页

7


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