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江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


江西省赣州市 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每一小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1. (5 分) A.2i =() B.﹣2i C. 2 D.﹣2

2. (5 分)已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)已知 z∈C,若 z +|z|=0,则 z=() A.i B.±i C. 0 4. (5 分)已知 a>b>0,则 A. ﹣ > B. ﹣ ﹣ 与 < 的大小关系是() C. ﹣ = D.无法确定
2

D.0 或±i

5. (5 分)某程序框图如图所示,该程序运行输出的 k 值是()

A.4

B. 5

C. 6

D.7

6. (5 分)已知关于 x 与 y 之间的一组数据: x 2 3 3 6 y 2 6 6 10 则 y 与 x 的线性回归方程 y=bx+a 必过点()

6 11

A.(4,7)

B.(3.5,6.5)

C.(3.5,7.5)

D.(5,6)

7. (5 分)设直线 l:

(t 为参数) ,曲线 C1:

(θ 为参数) ,直线 l 与

曲线 C1 交于 A,B 两点,则|AB|=() A.2 B. 1 C. D.

8. (5 分)不等式 x﹣

<1 的解集是() B.(﹣1,1)∪(3,+∞) (﹣1,3) C. (﹣∞,

A.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) ﹣1)∪(1,3) D.

9. (5 分)极坐标方程(ρ﹣1) (θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是() A.两个圆 B. 两条直线 C. 一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 10. (5 分)该试题已被管理员删除 11. (5 分)不等式|2x﹣1|+|x+1|>2 的解集为() A.(﹣∞,0)∪( ,+∞) +∞) D. B.( ,+∞) (﹣∞,0) C. (﹣∞, ﹣1) ∪ ( ,

12. (5 分)设 x,y,z 均大于 0,则三个数:x+ ,y+ ,z+ 的值() A.都大于 2 C. 都小于 2 B. 至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填写在答题卷上. 13. (5 分)复数 ω=﹣ + i,则在复平面内,复数 ω 对应的点在第象限.
2

14. (5 分)

,由此猜想出第 n(n∈N+)个数是.

15. (5 分)阅读程序框图,输出的结果 s 的值为.

16. (5 分)在极坐标系中,极点为 O,曲线 C1:ρ=6sinθ 与曲线 C2:ρsin(θ+ 则曲线 C1 上的点到曲线 C2 的最大距离为.

)=



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)某地对 50 人进行运动与性别是否有关测试,其中 20 名男性中有 15 名喜欢运 动,30 名女性中 10 名喜欢运动. (Ⅰ)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (Ⅱ)判断喜欢运动是否与性别有关? 参考数据: 临界值表: P(Χ ≥k) k
2



0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5 .024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

18. (12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系. 已 知曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. 19. (12 分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名 男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析. 随机抽出 8 位, 他们的数学分数从小到大 排序是:60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排序是:72、77、80、84、 88、90、93、95. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,男女同学分别抽取多少人? ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

(Ⅱ)若这 8 位同学的数学、物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 根据上表数据用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间是否具有 线性相关性?如果具有线性相关性,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;如果不 具有线性相关性,请说明理由.

参考公式:相关系数

;回归直线的方程是:

=bx+a.

其中对应的回归估计值 b=

,a= ﹣b ;

参考数据: =77.5, =85, ﹣ )≈688, ≈32.4,

(x1﹣ ) ≈1050, ≈21.4, ≈23.5.

2

(y1﹣ ) ≈456;

2

(x1﹣ ) (y1

20. (12 分) (1)已知等差数列{an}, 等差数列;
*

(n∈N ) ,求证:{bn}仍为

*

(2)已知等比数列{cn},cn>0(n∈N ) ) ,类比上述性质,写出一个真命题并加以证明. 21. (12 分) (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围.

22. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 P(0,2)且斜率为 k 的直线与曲线 C1 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k,使得向量 说明理由. 与

(θ 为参数) ,过点

共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请

江西省赣州市 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每一小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1. (5 分) A.2i =() B.﹣2i C. 2 D.﹣2

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= =2,

故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 2. (5 分)已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 考虑“a>0 且 b>0”与“a+b>0 且 ab>0”的互推性. 解答: 解:由 a>0 且 b>0?“a+b>0 且 ab>0”, 反过来“a+b>0 且 ab>0”?a>0 且 b>0, ∴“a>0 且 b>0”?“a+b>0 且 ab>0”, 即“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的充分必要条件, 故选 C 点评: 本题考查充分性和必要性, 此题考得几率比较大, 但往往与其他知识结合在一起考 查. 3. (5 分)已知 z∈C,若 z +|z|=0,则 z=() A.i B.±i C. 0 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 解:设 z=a+bi, (a,b∈R) .
2

D.0 或±i

∵z +|z|=0,∴a ﹣b +2abi+

2

2

2

=0,





解得





则 z=0,或 z=±i. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题. 4. (5 分)已知 a>b>0,则 A. ﹣ > B. ﹣ ﹣ 与 < 的大小关系是() C. ﹣ = D.无法确定

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 平方作差可得: () ﹣() ,化简可判其小于 0,进而可得结论 解答: 解: ( ∵a>b>0, ∴ ﹣ <0, ∴( ∴ ﹣ ﹣ < ) ﹣( ,
2



)﹣ (

2

) =a+b﹣2

2

﹣a+b=2 (b﹣

) =2





) ,

) <0,

2

故选:B. 点评: 本题考查不等关系与不等式,平方作差是解决问题的关键,属基础题 5. (5 分)某程序框图如图所示,该程序运行输出的 k 值是()

A.4

B. 5

C. 6

D.7

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算 S,k 值并输出 k,模拟程序的运行过程,即可得到答案. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: S k 是否继续循环 循环前 100 0/ 0 第一圈 100﹣2 1 是 0 1 第二圈 100﹣2 ﹣2 2 是 … 第六圈 100﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 <0 6 是 则输出的结果为 7. 故选 C. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 6. (5 分)已知关于 x 与 y 之间的一组数据: x 2 3 3 6 6 y 2 6 6 10 11 则 y 与 x 的线性回归方程 y=bx+a 必过点() A.(4,7) B.(3.5,6.5) C.(3.5,7.5)
0 1 2 3 4 5

D.(5,6)

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 要求 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过的点,需要先求出这组数据的样本中心 点,根据所给的表格中的数据,求出横标和纵标的平均值,得到样本中心点,得到结果.

解答: 解:∵ = (2+3+3+6+6)=4, = (2+6+6+10+11)=7, ∴本组数据的样本中心点是(4,7) , ∴y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过点(4,7) 故选:A. 点评: 本题考查线性回归方程必过样本中心点,考查学生的计算能力,这是一个基础题.

7. (5 分)设直线 l:

(t 为参数) ,曲线 C1:

(θ 为参数) ,直线 l 与

曲线 C1 交于 A,B 两点,则|AB|=() A.2 B. 1 C. D.

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由曲线 C1: (θ 为参数) , 利用 cos θ+sin θ=1 即可化为直角坐标方程. 直
2 2

线 l:

(t 为参数) ,消去参数化为

=0.求出圆心 C1(0,0)到直线

l 的距离 d,利用|AB|=2 解答: 解:由曲线 C1:

即可得出. (θ 为参数) ,化为 x +y =1,
2 2

直线 l:

(t 为参数) ,消去参数化为 y=

(x﹣1) ,即

=0.

∴圆心 C1(0,0)到直线 l 的距离 d=

=



∴|AB|=2

=

=1.

故选:B. 点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、 直线与圆的相交弦长问题、 点到直线的距离公 式,考查了推理能力与计算能力 ,属于中档题. 8. (5 分)不等式 x﹣ <1 的解集是()

A.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) ﹣1)∪(1,3) D. 考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用分式不等式求解即可. 解答: 解:不等式 x﹣ 即: 故选:C. <1 化为:

B.(﹣1,1)∪(3,+∞) (﹣1,3)

C. (﹣∞,



,由穿根法可得:不等式的解集为: (﹣∞,﹣1)∪(1,3)

点评: 本题考查分式不等式的解法,考查计算能力. 9. (5 分)极坐标方程(ρ﹣1) (θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是() A.两个圆 B. 两条直线 C. 一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由题中条件:“(ρ﹣1) (θ﹣π)=0”得到两个因式分别等于零,结合极坐标的意义 即可得到. 解答: 解:方程(ρ﹣1) (θ﹣π)=0?ρ=1 或 θ=π, ρ=1 是半径为 1 的圆, θ=π 是一条射线. 故选 C. 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互 化. 10. (5 分)该试题已被管理员删除 11. (5 分)不等式|2x﹣1|+|x+1|>2 的解集为() A.(﹣∞,0)∪( ,+∞) +∞) D. B.( ,+∞) (﹣∞,0) C. (﹣∞, ﹣1) ∪ ( ,

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 通过对自变量 x 范围的讨论,去掉绝对值符号,即可得出不等式|2x﹣1|+|x+1|>2 的解集. 解答: 解:①当 x> 时,|2x﹣1|+|x+1|=2x﹣1+(x+1)=3x,∴3x>2,解得 x> ,又 x > ,∴x> ; ②当﹣1≤x≤ 时,原不等式可化为﹣x+2>2,解得 x<0,又﹣1≤x≤ ,∴﹣1≤x<0; ③当 x<﹣1 时,原不等式可化为﹣3x>2,解得 x<﹣ ,又 x<﹣1,∴x<﹣1. 综上可知:原不等式的解集为(﹣∞,0)∪( ,+∞) . 故选:A. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,突出考查 转化思想与分类讨论思想的综合应用, 熟练掌握分类讨论思想方法是解含绝对值的不等式的常用方法之一,属于中档题.

12. (5 分)设 x,y,z 均大于 0,则三个数:x+ ,y+ ,z+ 的值() A. C. 都小于 2 考点: 专题: 分析: 解答: 都大于 2 B. 至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2

进行简单的合情推理. 推理和证明. 举反例否定 A,B,C,即可得出答案. 解:已知 x,y,z 均大于 0,

取 x=y=z=1,则 x+ =y+ =z+ =2,否定 A,C. 取 x=y=z= ,则 x+ ,y+ ,z+ 都大于 2. 故 A,B,C 都不正确. 因此只有可能 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查了举反例否定一个命题的方法, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填写在答题卷上. 13. (5 分)复数 ω=﹣ + i,则在复平面内,复数 ω 对应的点在第三象限.
2

考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接化简复数为:a+bi 的形式,然后判断即可.

解答: 解:复数 ω=﹣ +

i,复数 ω =﹣ ﹣

2

i,对应点(﹣ ,

)在第三象限.

故答案为:三. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,考查计算能力. 14. (5 分) . ,由此猜想出第 n(n∈N+)个数是

考点: 归纳推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 根号下由两个数组成,前一个数是首项为 2,公差为 1 的等差数列,后一个数是分 数,通项是 ,从而可猜想第 n 个数.

解答: 解:∵



∴将根号下的数分成两个数的和,2,3,4…的通项是 n+1; , , …的通项是

∴由此猜想第 n 个数为



故答案为:



点评: 本题考查了归纳推理,考查了信息获取能力,先利用已知的计算,认真观察是解决 此类问题的关键.

15. (5 分)阅读程序框图,输出的结果 s 的值为



考点: 运用诱导公式化简求值;循环结构. 专题: 计算题;规律型. 分析: 由 2011 除以 6 余数为 1,根据程序框图转化为一个关系式,利用特殊角的三角函 数值化简,得出 6 个一循环,可得出所求的结果. 解答: 解:∵2011÷6=335…1, ∴根据程序框图转化得: sin =( + = . +sin + +sinπ+…+sin +0﹣ ﹣ +0)+( + +0﹣ ﹣ +0)+…+( + +0﹣ ﹣ +0)

故答案为: 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,循环结构,以及特殊角的三角函数值,认清程 序框图,找出规律是解本题的关键.

16. (5 分)在极坐标系中,极点为 O,曲线 C1:ρ=6sinθ 与曲线 C2:ρsin(θ+ 则曲线 C1 上的点到曲线 C2 的最大距离为 .

)=



考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把已知曲线极坐标方程分别化为直角坐标方程, 利用点到直线的距离公式求出圆心 到直线的距离,即可得出. 2 2 2 解答: 解:曲线 C1:ρ=6sinθ 化为:ρ =6ρsinθ,∴直角坐标方程为:x +y =6y,配方为 2 2 x +(y﹣3) =9.

曲线 C2:ρsin(θ+ 为:x+y﹣2=0.

)=

,展开为

=

,化为直角坐标方程

圆心(0,3)到直线的距离 d=

=

. .

则曲线 C1 上的点到曲线 C2 的最大距离为 故答案为: .

点评: 本题考查了把曲线极坐标方程化为直角坐标方程、 点到直线的距离公式, 考查了计 算能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)某地对 50 人进行运动与性别是否有关测试,其中 20 名男性中有 15 名喜欢运 动,30 名女性中 10 名喜欢运动. (Ⅰ)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (Ⅱ)判断喜欢运动是否与性别有关? 参考数据: 临界值表: 2 P(Χ ≥k) k .

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据所给数据得到列联表. (Ⅱ)根据列联表中所给的数据做出观测值,把观测值同临界值进行比较得到有 99.5%的把 握认为 “是否喜欢运动与性别有关”. 解答: 解: (Ⅰ)建立 2×2 列联表 喜欢运动 不喜欢运动 合计 男性 15 5 20 女性 10 20 30 合计 25 25 50 …(5 分) (Ⅱ) …(8 分)

故有 99.5%的把握认为“是否喜欢运动与性别有关”…(10 分) 点评: 独立性检验是考查两个分类变量是否有关系, 并且能较精确的给出这种判断的可靠 2 程度的一种重要的统计方法,主要是通过 Χ 的观测值与临界值的比较解决的.

18. (12 分) 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系. 已 知曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)曲线 C1: (t 为参数) ,利用 sin t+cos t=1 即可化为普通方
2 2 2 2

,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

程;C2: (Ⅱ)当 t=

(θ 为参数) ,利用 cos θ+sin θ=1 化为普通方程. 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性 即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)曲线 C1: ∴C1 为圆心是(﹣4,3) ,半径是 1 的圆. C2: (θ 为参数) ,化为 . (t 为参数) ,化为(x+4) +(y﹣3) =1,
2 2

C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (Ⅱ)当 t= 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7, M 到 C3 的距离 d= 从而当 cossinθ= ,sinθ=﹣ 时,d 取得最小值 = |5sin(θ+φ)+13|, .

点评: 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的 距离公式公式、三角函数的单调 性、椭圆与圆的参数与标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (12 分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名 男同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析. 随机抽出 8 位, 他们的数学分数从小到大 排序是:60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排序是:72、77、80、84、 88、90、93、95. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,男女同学分别抽取多少人? (Ⅱ)若这 8 位同学的数学、物理分数对应如下表:

学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 根据上表数据用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间是否具有 线性相关性?如果具有线性相关性,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;如果不 具有线性相关性,请说明理由.

参考公式:相关系数

;回归直线的方程是:

=bx+a.

其中对应的回归估计值 b=

,a= ﹣b ;

参考数据: =77.5, =85, ﹣ )≈688, ≈32.4,

(x1﹣ ) ≈1050, ≈21.4, ≈23.5.

2

(y1﹣ ) ≈456;

2

(x1﹣ ) (y1

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)按分层抽样原理,计算应抽取的男生、女生各是多少; (Ⅱ)根据题目中的公式,计算相关系数 r,判断线性相关性;求出线性回归方程中的系数, 得出回归方程. 解答: 解: (Ⅰ)按男女生分层抽样的结果是, 女生应抽取 男生应抽取 (人) , (人) ;…(4 分)

(Ⅱ)变量 y 与 x 的相关系数是

r=

=

=

≈0.99;…(6 分)

可以看出,物理与数学成绩是高度正相关;…(8 分) 【若以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标做散点图, 从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近,并且在逐步上升, 所以物理与数学成绩是高度正相关; 】

设 y 与 x 的线性回归方程是 根据所给的数据,可以计算出



b=

=

=0.66,

a= ﹣b =85﹣0.66×77.5=33.85;…(10 分) 所以 y 与 x 的回归方程是 .…(12 分)

点评: 本题考查了线性回归方程的应用问题, 也考查了线性相关系数的计算问题, 是基础 题目.
*

20. (12 分) (1)已知等差数列{an}, 等差数列;
*

(n∈N ) ,求证:{bn}仍为

(2)已知等比数列{cn},cn>0(n∈N ) ) ,类比上述性质,写出一个真命题并加以证明. 考点: 等差关系的确定;类比推理. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)由求和公式可得 bn= 判为等差数列;

=

,进而可得 bn+1﹣bn 为常数,可

(2)类比命题:若{cn}为等比数列,cn>0, (n∈N ) ,dn=

*

,则{dn}为等比数

列,只需证明

为常数即可.

解答: 解: (1)由题意可知 bn=

=



∴bn+1﹣bn=



=



∵{an}等差数列,∴bn+1﹣bn=

= 为常数, (d 为公差)

∴{bn}仍为等差数列; * (2)类比命题:若{cn}为等比数列,cn>0, (n∈N ) , dn= ,则{dn}为等比数列,

证明:由等比数列的性质可得:dn=

=





=

=

为常数, (q 为公比)

故{dn}为等比数列 点评: 本题考查等差数列的定义,涉及类比推理和等比数列的定义,属中档题. 21. (12 分) (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法;函数单调性的性质. 专题: 压轴题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数 y 的图象,数形结合可得结论. (Ⅱ)不等式化即 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2 对 都成立.故﹣ ≥a﹣2,由此解

得 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.

设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=

,它的图象如图所示:

结合图象可得,y<0 的解集为(0,2) ,故原不等式的解集为(0,2) . (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 2对 都成立. 时,f(x)=1+a,不等式化为 1+a≤x+3,故 x≥a﹣

故﹣ ≥a﹣2,解得 a≤ ,故 a 的取值范围为(﹣1, ].

点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,函数的单调性的应用,体 现了数形结合以及转化的数学思想,属于中档题.

22. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 P(0,2)且斜率为 k 的直线与曲线 C1 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k,使得向量 说明理由. 考点: 直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆. 与

(θ 为参数) ,过点

共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请

分析: (Ⅰ)曲线 C1 的方程可写成(x﹣6) +y =4,过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方 2 2 程为 y=kx+2,代入曲线 C1 的方程可得(1+k )x +4(k﹣3)x+36=0,直线与圆交于两个不 同的点 A,B 等价于△ >0,解出即可. (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 , 与 共

2

2

线 等价于﹣2(x1+x2)=6(y1+y2) ,利用根与系数的关系代入解出即可判断出. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)曲线 C1 的方程可写成(x﹣6) +y =4, 过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2, 2 2 代入曲线 C1 的方程得 x +(kx+2) ﹣12x+32=0, 2 2 整理得(1+k )x +4(k﹣3)x+36=0,① 2 2 2 直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于△ =﹣4×36(1+k )=4 (﹣8k ﹣6k)>0, 解得 ,即 k 的取值范围为 . ,

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

由方程①, 又 y1+y2=k(x1+x2)+4,③ 而

,②







共线等价于﹣2(x1+x2)=6(y1+y2) , . ,故没有符合题意的常数 k.

将②③代入上式,解得 由(Ⅰ)知

点评: 本题考查了圆的参数方程化为直角坐标方程、直线与圆相交问题、向量共线定理、 根与系数的关系应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.



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